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Transkript Thomson'sche Schwingungsgleichung – ungedämpfte elektromagnetische Schwingung

Die Thomson'sche Schwingungsgleichung: Ungedämpfte elektromagnetische Schwingung

Hallo, wir wollen uns heute mit der Herleitung der Thomsonschen Schwingungsgleichung für ungedämpfte elektromagnetische Schwingungen beschäftigen. Dazu wiederholen wir zunächst den elektrischen Schwingkreis bevor wir uns der mathematischen Beschreibung von Schwingkreis und Pendel zuwenden. Anschließend werden wir die Differenzialgleichung des Schwingkreises aufstellen was uns als Lösung zur Thomson‘schen Schwingungsgleichung führt.

Um das Video zu verstehen, solltest du folgende Sachverhalte bereits kennen: - die Energie in elektrischen und magnetischen Feldern - die Eigenschaften von Kondensatoren und Spulen - die Energiebilanz beim Federpendel sowie - die Eigenschaften und die Beschreibung harmonischer Schwingungen.

Wiederholen wir also zunächst den Schwingkreis. Wie du in diesem Schaltplan siehst, besteht er aus einem Kondensator und einer Spule in Reihenschaltung. Der bereits geladene Kondensator hat die elektrische Feldenergie E_elektrisch gleich Einhalb mal C mal U max Quadrat gespeichert. Wenn wir den Anteil des ohmschen Widerstands vernachlässigen, dann wird die elektrische Feldenergie vollständig in magnetische Feldenergie E_magnetisch gleich Einhalb mal der Induktivität L der Spule mal I max zum Quadrat umgewandelt.

Danach wird die magnetische Feldenergie wieder abgebaut und vollständig in elektrische Feldenergie des Kondensators umgewandelt. Dieser Vorgang wiederholt sich ständig und führt harmonische Schwingungen aus, daher der Name Schwingkreis. Dabei bleibt die Gesamtenergie konstant.

Wie können wir diesen Vorgang nun mathematisch beschreiben? Für die mathematische Beschreibung betrachten wir zunächst die Gesamtenergie des Schwingkreises: E_gesamt ist gleich E_magnetisch von t plus E_elektrisch von t ist gleich konstant.

Setzen wir die bekannten Größen ein, so erhalten wir: E_gesamt ist gleich Einhalb mal L mal I_Quadrat von t plus Einhalb mal C mal U_Quadrat von t gleich konstant.

Stromstärke und Spannung können wir auch als einen Ausdruck der Ladung schreiben. Dabei ist I von t ist gleich dQ nach dt, also Q_Punkt von t. Die Spannung U von t ist gleich C mal Q von t. Damit folgt: einhalb L mal Q_Punkt zum Quadrat von t plus Eins geteilt durch 2 C mal Q zum Quadrat von t ist gleich konstant. Da dieser Ausdruck konstant ist, ist seine Ableitung nach der Zeit gleich Null.

Leiten wir also nach der Zeit ab: L mal Q_Punkt von t mal Q_zwei_Punkt von t plus Eins geteilt durch C mal Q von t mal Q_Punkt von t ist gleich Null. Das Q_Punkt von t erscheint in beiden Summanden und wir können es ausklammern: Q_Punkt von t mal in Klammern L mal Q_zwei_Punkt von t plus Eins geteilt durch C mal Q von t ist gleich Null.

Wir wissen, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Q_Punkt von t ist die Stromstärke I und die ist ja nicht ständig null. Also muss der Klammerinhalt gleich Null sein.

Dieser Klammerausdruck ist die Differenzialgleichung des ungedämpften Schwingkreises: L mal Q_zwei_Punkt von t plus Eins durch C mal Q von t ist gleich null. Nach Q_zwei_Punkt umgestellt, lautet die Gleichung dann: Q_zwei_Punkt von t gleich Minus Eins geteilt durch L und C mal Q von t.

Zur Lösung der Differenzialgleichung nutzen wir nun eine Analogiebetrachtung. Wir vergleichen die Schwingung eines Federpendels mit dem Schwingkreis. Die Differenzialgleichung des Pendels ist uns schon bekannt. Die Gleichung für das Pendel lautet: s_zwei_Punkt von t gleich Minus k geteilt durch m mal s von t.

Die Lösung der Pendelgleichung lautet: s gleich s_max mal sin in Klammern Omega mal t plus phi_null. Dabei ist Omega_Quadrat gleich k geteilt durch m und Omega somit gleich der Wurzel k geteilt durch m. Vergleichen wir den elektrischen Schwingkreis und das Pendel können wir nun folgende Analogien herstellen: die Ladung Q entspricht der Pendelauslenkung s, die Induktivität L der Spule entspricht der Kugelmasse m und der Kehrwert der Kapazität der Federkonstanten k.

Setzen wir die analogen Größen in die Lösung der Pendelgleichung ein, dann erhalten wir folgendes: Q ist gleich Q_max mal Sinus in Klammern Omega mal t plus Phi_Null. Weiter erhalten wir Omega_Quadrat gleich 1 geteilt durch L mal C und daraus schließlich Omega gleich 1 geteilt durch Wurzel L mal C.

Kommen wir nun zur Thomsonschen Schwingungsgleichung: Aus der Herleitung von eben haben wir bereits einen Ausdruck für die Kreisfrequenz Omega. Mit der allgemeinen Gleichung für die Kreisfrequenz Omega gleich zwei Pi mal f folgt dann für die Frequenz des Schwingkreises folgender Ausdruck: f gleich 1 geteilt durch 2 mal pi mal Wurzel aus L mal C.

Der Kehrwert der Frequenz ist die Schwingungsdauer T. Und somit ist T ist gleich 2 mal pi mal Wurzel aus L mal C. Dieser Ausdruck wird die Thomsonsche Schwingungsgleichung für den ungedämpften Schwingkreis genannt. Die Frequenz f wird dabei als Eigenfrequenz des Schwingkreises bezeichnet. Interessant ist, dass diese Eigenfrequenz nur von der Kapazität des Kondensators und der Induktivität der Spule abhängt.

Allerdings gilt diese Schwingungsgleichung nur für den idealisierten Fall, dass die ohmschen Widerstände im Schwingkreis vernachlässigt werden. Bei realen Schwingkreisen muss man das dann noch berücksichtigen.

Fassen wir das eben Gelernte mal zusammen: Die ungedämpfte elektromagnetische Schwingung in einem Schwingkreis stellt eine harmonische Schwingung dar. Die Thomsonsche Schwingungsgleichung für die ungedämpfte Schwingung in einem Schwingkreis lautet für die Eigenfrequenz f gleich 1 geteilt durch 2 mal pi mal Wurzel aus L mal C und anders geschrieben für die Schwingungsdauer T gleich 2 mal pi mal Wurzel aus L mal C.

Das war’s für heute – ich hoffe, Dir hat es etwas Spaß gemacht und Du hast alles verstanden – bis zum nächsten Mal!

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2 Kommentare
  1. Default

    Hierbei ist es sinnvoll dir die Kettenregel anzuschauen

    Von May Britt Franzen, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Danke, super strukturiert. Kann nur die Ableitung nach der Zeit nicht nachvollziehen, was aber eher an meinem mathematischen Unwissen liegen wird.

    Von Nooouura1980, vor mehr als einem Jahr