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Transkript Plattenkondensator – Lade- und Entladevorgang

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle! Wir wollen uns aus dem Gebiet Elektrizität und Magnetismus heute mal wieder den Plattenkondensator ansehen, genauer gesagt, seinen Lade- und Entladevorgang. Wir lernen heute, wie man einen Kondensator überhaupt lädt bzw. entlädt, wie die genaue Formel für den Entladevorgang aussieht und natürlich auch, wie die Formel für den Aufladevorgang aussieht. So, dann mal los. Was brauche ich denn nun alles, um einen Kondensator zu laden oder zu entladen, und wie gehe ich dabei eigentlich vor? Zu allererst brauche ich mal natürlich einen Kondensator. Das ist aber noch nicht alles. Hinter meinem Kondensator schalte ich einen Widerstand. Den brauche ich, damit nicht zu viel Strom auf einmal fließt, denn ein zu hoher Stromfluss kann meinen Kondensator zerstören. So und das war es auch schon. Jetzt schließe ich das Ganze an meine Spannungsquelle an, und der Kondensator fängt an, sich aufzuladen. Meine Kondensatorplatten sind nun also negativ bzw. positiv aufgeladen und bleiben das auch, wenn ich die Spannungsquelle entferne. Um meinen geladenen Kondensator zu entladen, schließe ich nun diese Schaltung einfach kurz. Dadurch fließen nun meine freien Ladungsträger über den Widerstand von einer Kondensatorplatte zur anderen, bis sich die beiden Ladungen ausgeglichen haben und mein Kondensator entladen ist. So, soweit so gut. Wir merken uns also: Ein Kondensator wird sowohl zum Laden als auch zum Entladen mit einem Widerstand in Reihe geschaltet, da ihn ein zu großer Stromfluss beschädigen kann. Als Nächstes wollen wir mal einen genaueren Blick auf die Formeln für den Entladevorgang werfen. Dazu merken wir uns: Wir nennen die Spannung am Kondensator Uc und die Spannung am Widerstand Ur. Da in unserem Kreislauf ansonsten nichts los ist, gilt Uc+Ur=0. Wir wissen außerdem, für den Kondensator gilt C, also die Kapazität, =Q/U; und für den Widerstand gilt R=U/I. Ich kann diese beiden Formeln also hier einsetzen, sodass sich ergibt: Q/C+R×I=0. Die nächste Umformung ist ein bisschen schwieriger. Wie ihr euch vielleicht erinnert, ist die Einheit der Ladung (Coulomb) C=A×s. Wenn ich also 5 Sekunden lang 1 Ampere auf eine Metallkugel fließen lasse, ist diese Kugel danach mit 5 Coulomb geladen. Wenn ich die Ladung nun nach der Zeit ableite, dann erhalte ich, A×s nach Sekunden abgeleitet, Ampere, also Strom. Das heißt: dQ/dt (die zeitliche Ableitung der Ladung) =I. Man schreibt auch QPunkt. Dieses QPunkt setze ich nun für I ein, sodass sich ergibt: QPunkt=-Q/RC. Und das ist gar nicht so leicht zu lösen, wie es aussieht. Denn in dieser Gleichung taucht sowohl die Ladung Q als auch ihre zeitliche Ableitung QPunkt auf. Man nennt so was eine Differenzialgleichung. Unser Job ist also, eine Funktion zu finden, die abgeleitet -1/RC × sich selbst ergibt. Und für alle Freunde der e-Funktion ist die Lösung gar nicht so schwer zu finden. Wenn ich e-t/RC nach t ableite, erhalte ich: -1/RC×e-t/RC. Und dann muss ich natürlich noch dafür sorgen, dass am Anfang meine Ladung auch Q ist. Das heißt, die Formel für meine Ladung abhängig von der Zeit Q(t)=Q0×e-t/RC. Nun, da ich eine zeitabhängige Formel habe, kann ich auch die anderen zeitabhängigen Formeln von ihr aus ausrechnen. Ich schreibe als erstes: Der Strom am Kondensator Uc(t) ist ja, wie ich weiß, =Q(t)/C. Ich kann also schreiben: Uc(t)=Q0/C×e-t/RC. Ich weiß ja, dass der Strom am Widerstand + der Strom am Kondensator zusammen 0 ergeben. Also kann ich schreiben: Ur(t)=-Uc(t)=-Q0/C×e-t/RC. Und zuletzt, der Vollständigkeit halber: Mein Stromfluss abhängig von der Zeit I(t)=QPunkt oder =Q0/R×C×e-t/RC, wobei ich bemerken kann, Q0/RC ist ja genau mein Stromfluss am Anfang I0. Hier seht ihr ein Beispiel für einen Entladevorgang in einem Spannung-Zeit-Diagramm für einen Kondensator mit der Entladezeit 10ms. Wie ihr seht, wird ein Großteil der Spannung sehr schnell abgebaut und dann der Rest immer langsamer. So, dann mal weiter zum Ladevorgang. Wir entfernen unseren Kurzschluss und setzen stattdessen wieder eine Spannungsquelle ein, die unseren jetzt wieder entladenen Kondensator wieder aufladen soll. Wir wissen: Wenn ich die Spannungen am Kondensator und am Widerstand addiere, muss ich die Spannung an der Spannungsquelle erhalten. Also U=Uc+Ur. Mit den gleichen Formeln wie gerade eben forme ich wieder um, sodass sich ergibt: U=Q/C+R×QPunkt. Ich erhalte also wieder eine Differenzialgleichung, diesmal: QPunkt=U/R-Q/RC. Das kann ich wieder durch die e-Funktion lösen. Diesmal erhalte ich: Q(t)=Q0×(1-e-t/RC). Wir betrachten kurz, ob das Sinn macht. Nehmen wir an, die Zeit geht gegen ?. Dann geht e-t/RC gegen e^-?, also gegen 0. Das heißt, ich erhalte Q0×1, also Q0, und das macht Sinn. Wenn ich unendlich lange auflade, sollte meine Ladung gegen Q0, also den Maximalwert gehen. Genau wie beim Entladen kann ich jetzt wieder aus der Formel für Q(t) die Formeln für U am Kondensator und am Widerstand und für den Strom errechnen. Die Spannung am Kondensator Uc(t) ist nun: U×(1-e-t/RC). Die Spannung am Widerstand ist nun die Spannung an der Spannungsquelle U - die Spannung am Kondensator Uc, ist also =U×e-t/RC. Und zum Schluss noch den Strom: I(t)=QPunkt=Q0/RC×e-t/RC. Hier seht ihr noch mal unseren Beispielkondensator von gerade eben beim Aufladevorgang. Wie ihr seht, wird auch diesmal ein Großteil der Spannung sofort aufgebaut, der Rest geht dann eher langsam. Und damit sind wir auch schon am Ende angekommen. Falls euch interessiert, wie man diese Formeln einsetzt, empfehle ich euch die Beispielrechnung zum Plattenkondensator. Jetzt wollen wir erst noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Zum Auf- oder Entladen wird ein Kondensator mit einem Widerstand in Reihe geschaltet, da ihn ein zu großer Stromfluss ansonsten zerstören kann. Die Formel für die Ladung Q, die zum Zeitpunkt t auf unseren Kondensatorplatten liegt, für die Entladung ist: Q(t)=Q0×e-t/RC. Die Formel für den Aufladevorgang ist: Q(t)=Q0×(1-e-t/RC). So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, Euer Kalle

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5 Kommentare
  1. Karsten

    @Mrgf19

    Achte bitte auf den Index, dort steht nicht Q sonder Q_0 also die anfängliche Ladung des Kondensators. Diese wird dann mit der Zeit Kleiner, dieses wird durch die folgende negative Exponentialfunktion bewirkt.

    Von Karsten Schedemann, vor etwa einem Jahr
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    Warum muss bei der Gleichung für I(t) (bei 4:48) kein Minus vor das Q/R*C?
    Bei Q Punkt steht ja auch
    "-Q/RC"...

    Von Mrgf19, vor etwa einem Jahr
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    Ja, durch den Elektronenfluss verringert sich die Ladung in den Platten und damit die "Anziehungskraft".
    Mathematisch: Die Änderung der Ladung in den Platten ist gleich der fließende Strom, als dQ/dt=I.
    Die Lösung dieser Differentialgleichung ist eine Exponentialfunktion, der Strom nimmt also exponentiell ab.

    Von Jakob Köbner, vor mehr als 4 Jahren
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    Nur wie kann man die exponentielle Funktion des Entladevorgangs physikalisch erklären? Also warum fließen anfangs die Elektronen ganz schnell zum Pluspol und anschließend viel langsamer? Liegt das nur daran, dass sie nicht mehr so stark angezogen werden?

    Von Kleinbode, vor mehr als 4 Jahren
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    Klasse Erklärung danke!!!

    Von Kleinbode, vor mehr als 4 Jahren