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Transkript Physik im Sport – Fußball „Über den Torwart ...“

Hallo liebe Freundinnen und Freunde des Fußballs und vielleicht auch Freunde der Mathematik, Physik und der Naturwissenschaften! Herzlich willkommen zum Video Nummer 7 - Fußballweltmeisterschaft! Das Thema des heutigen Videos lautet "Über den Torwart". Naja, nun wollen wir uns nicht über den Torwart unterhalten, denn laut Oliver Kahn hat Deutschland kein Torwart-Problem. Wir wollen uns unterhalten, wie der Ball über den Torwart gespielt werden könnte. Nach der bitteren Niederlage gegen Serbien hat sich Schweini für die nächsten Spiele etwas Besonderes ausgedacht. Er möchte den Ball von der Mittellinie volley aus einer gewissen Höhe über den Torwart, der 5 Meter vor dem Tor steht, spielen. Die Frage ist nun, wie groß muss der Winkel bei gegebener Anfangsgeschwindigkeit sein. Naja, um die Frage beantworten zu können, benötigen wir nicht nur einen Ball, sondern erst mal eine qualitativ gute Skizze. Ein international genormtes Fußballfeld sollte eine Länge von exakt 105 Metern haben und Schweini möchte von der Mittellinie spielen, also spielt er 52,5 Meter vom Tor entfernt. Wir werden hier alle Einheiten nicht aufschreiben, weil wir in Metern arbeiten werden. Also, alles, was hier steht, sind Angaben in Meter. 5 Meter vor dem eigenen Tor soll der Torwart stehen und Schweini drückt aus einer Höhe von exakt 0,5 Metern ab. Dann hat er eine horizontale Entfernung vom Torwart von 52,5 minus 5, also 47,5 Meter. Der Torwart soll eine Reichweite mit Sprung bis zu 2 Meter 50 haben. Der Einfachheit halber, so im Durchschnitt, denke ich, ist das normal. Dann ergibt das für das Dreieck, das wir betrachten, eine Länge von 2 Metern. Nämlich 2 Meter plus die 0,5 Meter überm Boden, aus der der Ball kommt. Noch schnell die 47,5 für die eine Kathete notiert und schon geht`s weiter. Die rote Linie ist die Wirkungslinie des Abschussvektors, den der Ball hatte, nachdem er die Anfangsgeschwindigkeit bekam. Das heißt, er muss in Richtung eines Punktes gerichtet werden, der oberhalb dieser 2 Meter 50 vom Erdboden ist, denn es wirkt ja noch die Erdanziehung. Den Vektor können wir hier als Weg oder als Geschwindigkeit mal Zeit ausdrücken. Also s=v0×t. Das weiße Stückchen, was frei gelassen wurde, ist der Abstand, der durch die Erdanziehung und die entsprechende Fallbewegung ausgefüllt wird. Nach dem Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung gilt für diesen Abstand, in blau gekennzeichnet, h=g/2×t2, wobei g die Erdbeschleunigung ist. Die eigentliche Trajektorie, das heißt der Weg des Balles, ist schematisch grob dargestellt mit orangefarbenem Stift.  Uns interessiert nun der Winkel α, den Schweini zur Erdhorizontale beim Abschuss einhalten muss, um genau über den Torwart hinaus zu kommen. Nach dem Lehrsatz des Pythagoras können wir schreiben: Kathetenquadrate in der Summe ergibt das Hypotenusenquadrat. Also (h+2)2+47,52=v02×t2. Wenn wir das Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung, blau gekennzeichnet, nach t2 umformen, erhalten wir t2=2h/g. Für t2 den Wert auf der rechten Seite der Gleichung eingesetzt, erhalten wir für diese v02×2h/g. Nun benötigen wir nur noch die Anfangsgeschwindigkeit des Balles. Wir nehmen an, dass kräftig dagegen geschlagen wurde. Er soll eine Anfangsgeschwindigkeit von v0=30 Meter pro Sekunde haben. Das ist eine Geschwindigkeit von 108 Kilometer pro Stunde. Das ist ein realer Wert. Wir multiplizieren links aus und erhalten nach der binomischen Formel: h2+4h+4. 47,52 ergibt 2256,25. Das ist die linke Seite der Gleichung. Wir subtrahieren sofort die rechte Seite der Gleichung, wobei wir vorher einsetzen, um auf der rechten Seite 0 zu erhalten. Somit ergibt sich auf der linken Seite noch der Term -(302×2h/9,81). In der nächsten Zeile fassen wir etwas zusammen, indem wir den Wert mit negativen Vorzeichen ausrechnen. Es ergibt sich -183,49h. Schließlich erhalten wir die quadratische Gleichung in Normalform. h2-179,49h+2256,25=0. Nun wenden wir die p/q-Formel an: h1,2=-p/2, also -179,49 geteilt durch 2 mit negativem Vorzeichen, ergibt 89,95± Wurzel aus, 89,95 werden quadriert und 2256,25 abgezogen, und wir erhalten unter der Wurzel 5834,7525. Es ergeben sich somit, wenn wir die Werte subtrahieren, h1=13,56 Meter, und wenn wir die Werte addieren h2=166,34 Meter. Jetzt für die linke Kathete, die wir als l bezeichnen, müssen wir die Werte von h1 und h2 zu 2 Metern addieren.  Dann haben wir die 2 möglichen Kathetenlängen. Also, ich notiere, um nicht zu vergessen, oben rechts l1=15,56 Meter und l2=168,34 Meter. Es gibt also 2 Möglichkeiten, über den Torwart zu schießen. Einmal relativ flach und einmal relativ steil. Wir berechnen nach der Formel l/47,5 Gegenkathete zur Ankathete ist gleich der Tangens von α. Im ersten Fall lautet das Verhältnis für l1=15,56 Meter 15,56/47,5=tanα1. Und weiter 0,328≈tanα1. α≈18º. Für den zweiten Fall setzen wir l2 und 47,5 in Relation. Also 168,34/47,5=tanα2. 3,544≈tanα2. Dafür ergibt sich α≈74º. Das bedeutet also, dass bei einer Abschussgeschwindigkeit v0 von 30 Meter pro Sekunde unter den gegebenen Bedingungen 2 Abschusswinkel möglich sind. Nämlich der erste, α1≈18º, ein relativ flacher Abschuss oder aber α2≈74º, das heißt, ein recht steiler Abschuss. Diese beiden Möglichkeiten hat man, den Torwart zu überwinden. Ob man dann auch ins Tor trifft mit beiden Möglichkeiten oder überhaupt nicht, das werden wir im nächsten Video klären. Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit und noch eine schöne Fußballweltmeisterschaft und viel Spaß an Mathematik und Physik! Tschüss!          

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4 Kommentare
  1. 001

    Gut, die habe ich vergessen. Da aber die Konstante groß ist, ist auch der Fehler klein. Danke für das aufmerksame Schauen.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    4: 41 bzw. 5: 23

    Von Marouan, vor mehr als einem Jahr
  3. 001

    Um zu antworten, hätte ich gerne die Angabe der Zeit ...

    Von André Otto, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Wo ist bei der Umformung der linken Seite die 4 geblieben?

    Von Marouan, vor mehr als einem Jahr