Massenbestimmung mit dem Gravitationsgesetz

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle!
Wir wollen uns heute die Massenbestimmung mit dem Gravitationsgesetz ansehen. Für dieses Video kann es nicht schaden, wenn ihr bereits den Film über das Gravitationsgesetz gesehen habt.
Wir lernen heute, wie der Titel schon sagt, eine Methode zur Massenbestimmung mit dem Gravitationsgesetz. Genauer gesagt, die beiden Punkte: Was brauche ich dazu und wie funktioniert das Ganze dann?
Mit der Formulierung des Gravitationsgesetzes durch Newton gab es endlich eine Methode, um die Masse von Himmelskörpern zu bestimmen. Wie ihr wahrscheinlich wisst, war die Beobachtung und Erforschung unseres Sonnensystems schon lange Zeit ein großer Teilbereich der Physik.
Im Bild unten seht ihr maßstabsgetreu die verschiedenen Planeten unseres Sonnensystems zum Vergleich vor der Sonne. Nun lassen sich durch genaue Beobachtung viele Dinge über einen Planeten herausfinden, wie Aussehen oder Umlaufdauer, mit dem Gewicht tut man sich da allerdings ein wenig schwerer.
Wir wollen uns nun eine Methode ansehen, die auf sehr einfachem Wege die Massen von Himmelskörpern bestimmen kann. Als Beispiel wollen wir die Masse der Sonne ausrechnen.
Im nächsten Kapitel wollen wir dazu erst einmal alle Sachen, die wir brauchen, oder anders gesagt, alle Größen, die wir schon kennen und einsetzen müssen, sammeln. Wir sammeln erst einmal, was wir für die Berechnung brauchen.
Seit der Bestimmung der Gravitationskonstanten durch Cavendish war die Masse der Erde bekannt. Wir können das ja alles einfach auf Wikipedia nachschlagen und benutzen für die Masse der Erde 5,97×10^24kg.
So, wir malen gleich auch eine kleine Skizze. Wir haben also die Erde, die Masse der Erde kennen wir, und die Sonne. Für die Masse der Sonne benutzen wir den Buchstaben M. Was uns nun noch fehlt, ist der Abstand r zwischen den beiden. Der mittlere Abstand zwischen Erde und Sonne, den man auch eine astronomische Einheit nennt, beträgt 149,6 Mio.km oder 1,496×10^11m.
Innerhalb eines Jahres kreist unsere Erde einmal um die Sonne. Die Umlaufdauer ist also 1 Jahr. Und, da wir ganz genau sind und auch Schaltjahre mit einrechnen, nehmen wir für die Umlaufdauer ungefähr 365,25 Tage.
Wir schreiben uns noch einmal kurz zur Erinnerung die Formel für die Gravitationskraft auf:
FG=G×(mErde×M)/r².
Dabei fällt uns auf, das haben wir auch alles, bis auf G. Deswegen schreiben wir es uns, der Vollständigkeit halber, noch einmal hin. Die Gravitationskonstante G ist 6,67×10(hoch)-11Nm²/kg².
So, dann schnappt euch einmal, wenn ihr selber rechnen wollt, Papier und Stifte und schaut, wie ihr das Ganze hinbekommt. Drückt den Pauseknopf, dann könnt ihr gleich, wenn ihr fertig seid, überprüfen, ob ihr das Gleiche herausbekommt wie ich.
Mein Ansatz ist: Da die Erde durch die Gravitationskraft der Sonne auf ihrer Kreisbahn gehalten wird, kann ich die Gravitationskraft FG als Zentripetalkraft ansetzen. Ich schreibe also:
FG=FZ oder G×(m×M)/r²=mv²/r. Oder, da ?×r=v ist, m?²×r.
? ist in diesem Fall die Winkelgeschwindigkeit, mit der die Erde um die Sonne rotiert.
Wie ihr gleich seht, kürzt sich da schon einmal die Masse der Erde heraus. Die spielt also gar keine Rolle. Umso praktischer. Übrig bleibt:
(G×M)/r²=?²×r.
Ich brauche also die Winkelgeschwindigkeit der Erde. Zum Glück weiß ich, ? ist einfach 2?/T (Umlaufdauer), und die kenne ich ja. Ich setze also ein, löse nach M auf und erhalte:
Die Masse der Sonne M=(4?²×r³)/(T²×G). 
Ich setze ein und erhalte:
M=(4?²×(1,496×10(hoch)11m)³)/((365,25×24×60×60s)²×G). Die Umlaufdauer rechne ich in Sekunden um.
Das ergibt:
M=1,989×10(hoch)30(m³×kg²)/(s²×Nm²).
Und die Einheiten wollen wir uns kurz noch genauer ansehen. N (Newton) sind ja kgm/s². Wenn ich das einsetze, erhalte ich für die Einheiten:
(m³×kg²×s²)/(s²×kgm×m²). Die Meter kürzen sich oben und unten heraus, die Sekunden genauso, und von den kg bleibt oben genau eines übrig. Wunderbar, die Einheiten stimmen also auch.
Unser Ergebnis lautet also:
1,989×10^30kg.
Die Masse der Sonne beträgt also 1,989 Quintillionen kg. Das ist ungefähr 1/3 Mio. mal so schwer wie die Erde.
Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben.
Ich kann mit dem Gravitationsgesetz die Masse von Himmelskörpern berechnen, indem ich die Gravitationskraft als Zentripetalkraft ansetze. Der Ansatz lautet also:
G×(m×M)/r²=mv²/r=m?²×r.
Wir haben berechnet: Die Masse der Sonne beträgt 1,989×10^30kg.
 
So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen.
Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal,
Euer Kalle