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Transkript Kreisbewegung – Bogenmaß

Hallo und herzlich willkommen zum Video der mathematischen Grundlagen der Kreisbewegung. Wir beschäftigen uns heute zuerst mit dem Bogenmaß, welches in der Physik als Winkel sehr, sehr oft verwendet wird. Hier haben wir einen Kreis mit einem Winkel. Diesen Winkel könnten wir jetzt, zum Beispiel, einfach in Grad angeben. Dann ist dieser Winkel irgendeine Zahl zwischen 0 und 360°, wobei 360° den kompletten Umfang beschreibt. Wir könnten aber genauso gut diesen Winkel eindeutig über die Länge dieses Bogens hier angeben. Wenn der Radius 1 ist, wäre das eine Zahl zwischen 0 und 2π. Warum? Weil die Formel für den Umfang U=2πr ist und der komplette Umfang mit dem Radius 1 ist ja dann 2π. Das ist im Endeffekt schon der wichtigste Unterschied zwischen Grad und Bogenmaß. Gehen wir noch mal ein bisschen weiter. Das Bogenmaß ist folgendermaßen definiert: Der Winkel φ im Bogenmaß ist gleich b/r, wobei b die Länge des Bogens ist und r der Radius. Da nämlich bei gleichen Winkeln die Länge des Bogens bei großen Kreisen größer ist als bei kleinen Kreisen, muss man noch mal durch r teilen, damit das Bogenmaß unabhängig vom Radius wird. Daher kommt das geteilt durch r. Das hat den Effekt, dass jeder Kreis als ein Kreis mit Radius 1 betrachtet werden kann. Der Radius spielt ja bei Winkeln überhaupt keine Rolle. Ein Winkel φ im Bogenmaß ist also nichts anderes als das Verhältnis der Länge des Bogens hier zum Radius. Seine Einheit nennt man rad, die aber in unserem Einheitensystem dimensionslos ist und deshalb meistens weggelassen wird. Was ja auch erlaubt ist, weil das Bogenmaß wirklich keine echte Einheit besitzt. Das sieht man schon an der Formel b/r. Oben steht Meter, unten steht Meter - das kürzt sich raus. Also hat das Bogenmaß keine wirkliche Dimension. Aber wenn es nicht ganz klar ist, dass wir uns im Bogenmaßsystem befinden, schreibt man aber rad dazu, um Missverständnisse zu vermeiden. Bei einem Winkel von 1 rad ist nach der Formel 1 rad=b/r der Bogen genauso lang wie der Radius. Wenn wir jetzt wissen wollen, wie viel rad eine komplette Umdrehung entspricht, was man auch den Vollwinkel nennt, müssen wir für den Kreisbogen b den vollen Umfang U einsetzen. Der ist U=2πr. Dann steht dran, der Vollwinkel im Bogenmaß beträgt φ(voll)=2πr/r=2π. Ein uns schon bekanntes Ergebnis. Daraus ergibt sich eine wertvolle Information. Ein Vollwinkel entspricht im Bogenmaß 2πrad und daraus können wir ganz einfach die Umrechnung zwischen Grad und Bogenmaß herleiten. Ein Vollwinkel in Grad sind 360°. Das heißt, 2π rad=360°. Diese Gleichung ist leicht zu merken und alles Wichtige, was das Bogenmaß betrifft, lässt sich daraus sehr schnell herleiten. Das ist das Einzige, was du wirklich auswendig können musst. Wenn wir das jetzt jeweils nach rad oder Grad auflösen, ergibt sich: 1 rad=180°/π und 1°=π/180 rad. Mit diesen beiden Formeln kannst du nach Belieben zwischen rad und Grad hin und her wechseln. Die wichtigsten Winkel sollte man sich trotzdem merken. Zum Beispiel π/2=90°, π=180° und 2π=360°. Was ist jetzt so toll am Bogenmaß? Wir haben doch schon ein System, um Winkel zu beschreiben, nämlich unser gutes altes Gradsystem. Was kann dieses System nicht, was das Bogenmaß kann? Die Antwort liegt in der Physik. Das Bogenmaß und zum Beispiel die natürliche und praktische Einheit der Kreisfrequenz beziehungsweise der Winkelgeschwindigkeit ω. Würde man ω in Grad angeben, müsste man immer noch einen Umrechnungsfaktor mit einbeziehen und das würde die Physik unnötig kompliziert machen. Das Bogenmaß erleichtert dir also dein Leben. Damit bedanke ich mich und viel Spaß beim Lernen.                                                      

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2 Kommentare
  1. Default

    Klar, verständlich.

    Von Libro E Musica, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Gute Arbeit.

    Von Libro E Musica, vor mehr als 3 Jahren