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Transkript Impulserhaltung – Schneesturm in der Antarktis

Hallo und herzlich willkommen zu einem Video über die Impulserhaltung. Heute geht es um veränderliche Massen. Die Geschichte lautet folgendermaßen: Mr. Pinguin fährt mit einem Tieflader in die Antarktis, plötzlich befindet er sich auf einer riesigen, eisglatten Eisfläche und merkt, dass seine Bremsen praktisch wirkungslos sind und er wahrscheinlich mehrere Stunden oder auch Tage mit konstanter Geschwindigkeit dahingleiten wird. Auf einmal fängt es dazu noch an wie wild zu schneien. Erst ist Mr. Pinguin verzweifelt, aber dann bekommt er eine Idee, wie er den Schneefall für sich ausnutzen kann, und lehnt sich erst mal zurück und macht gar nichts. Nach einer Zeit spürt er, wie der Wagen langsamer wird. Der Schnee erhöht nicht die Reibung. Pausiere an dieser Stelle und überlege selbst. Was passiert hier? Hier die Lösung: Der Impulserhaltungssatz hilft uns mal wieder. Der Wagen hat ja einen Impuls p=m×v. Durch den Schnee, der hier in die Ladefläche des Tiefladers fällt, erhöht sich die Masse des Wagens, damit der Impuls erhalten bleibt, muss ich um die erhöhte Masse zu kompensieren dessen Geschwindigkeit verringern. Nimm an, dass der Schnee mit einer konstanten Geschwindigkeit Vs und gleichmäßiger Dichte Ρs in die Ladefläche des Tiefladers fällt. Die Ladefläche hat eine Querschnittsfläche von A. Leite eine Formel her, die die genaue Geschwindigkeit des Wagens als Funktion der Zeit angibt. Bekannt sind außerdem die Anfangsgeschwindigkeit V0 und die Masse des Tiefladers ohne Schnee m0. An dieser Stelle kannst du pausieren und nachdenken. Hier die Lösung: Schreiben wir erst mal den Impulserhaltungssatz auf: Wenn keine Kräfte wirken, gilt p0=m0×V0, also der Anfangsimpuls ist gleich die Anfangsmasse mal der Anfangsgeschwindigkeit. Und der Impuls zu einem beliebigen Zeitpunkt p(t)=m(t)×v(t), also der Impuls zu irgendeinem Zeitpunkt ist die Masse zu diesem Zeitpunkt mal der Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt. Die Impulserhaltung sagt nun, dass der Impuls zu jedem beliebigen Zeitpunkt, dem Impuls am Anfang entsprechen muss, also m0×V0=m(t)×V(t). Und nach V(t) aufgelöst landen wir bei V(t)=V0×m0/m(t). Das hier nenn ich Gleichung 1. Und m(t) ist ja die Masse des Tiefladers in Abhängigkeit von der Zeit. Da die Schneefallgeschwindigkeit und die Dichte und die Querschnittsfläche des Tiefladers konstant sind, ist auch die Änderung der Masse konstant. Diese Änderung der Masse mit der Zeit nennen wir mal m., dann ist m(t)=m0×m.×t, also die Masse in Abhängigkeit von der Zeit ist die Anfangsmasse plus die Änderung der Masse pro Zeit mal die Zeit. Diese Gleichung nenn ich mal Gleichung 2. Setzen wir Gleichung 2 in Gleichung 1 ein, erhalten wir V(t)=V0×m0/(m0+m.xt). Das m. ist ja nichts anderes als die Änderung der Masse des Wagens mit der Zeit. Wir wissen ja bereits, dass diese konstant ist. Sie berechnet sich folgendermaßen m.=Ρs×Vs×A, also Dichte des Schnees mal Fallgeschwindigkeit des Schnees mal Querschnittsfläche des Wagens. Warum ist das so? Naja, Masse ist ja Dichte mal Volumen und das Volumen ist ja eine Länge mal eine Fläche, also V=x×A. Jetzt teilen wir mal auf beiden Seiten durch die Zeit, auf der linken Seite steht Masse durch Zeit, also m. und auf der rechten Seite ist die Dichte konstant und die Querschnittsfläche des Wagens ist auch konstant. Also bekommen wir m.=Ρs×(xs/t)×A und xs/t ist ja nichts anderes als Vs, also der Weg, den der Schnee pro Zeiteinheit zurücklegt und sich auf der Ladefläche niederschlägt. Setzen wir das Ergebnis in die Gleichung 1 ein: V(t)=V0×(m0/(m0+Ρs×Vs×A×t)). So fertig, wir haben jetzt die Geschwindigkeit des Tiefladers zu jedem Zeitpunkt. An dieser Stelle gibt es noch eine Bonusaufgabe für Fortgeschrittene: Berechne den Ort des Tieflader zu jedem Zeitpunkt. Hier kannst du erneut pausieren. Hier die Lösung: Wenn du die Geschwindigkeit eines Körpers in Abhängigkeit der Zeit hast, bekommst du den Ort durch Integration über die Zeit. Wir integrieren also von 0 bis t. x(t)=∫V(t)×dt, ist gleich eingesetzt x(t)=∫Vo×(m0/(m0×ρs×Vs×A×t))dt. Die Stammfunktion dieser Funktion ist eine Logarithmusfunktion, wir müssen nur aufpassen, dass mit den Vorfaktoren alles passt. x(t)=((v0×m0)/(Ρs×Vs×A))×ln×(m0+ρs×VS×A×t), und das ganze ausgewertet an der Stelle 0 und t. Testen wir das mal. Die Ableitung des Logarithmus ist 1 geteilt durch sein Argument mal das Nachdifferenzieren, also die Ableitung des Arguments. 1/Argument passt, durch das Nachdifferenzieren kommt ein weiterer Faktor ΡsVsA heraus, welches sich mit dem Vorfaktor kürzt und es steht genau die Funktion dran, die integriert werden sollte. Passt also. Jetzt werten wir noch die Grenzen aus, eingesetzt ergibt das x(t)=((V0×m0)/(Ρs×Vs×A))×(ln×(m0+ρs×VS×A×t)-ln(m0)). Wenn wir 2 Logarithmen voneinander subtrahieren, können wir das auch als Bruch in einen Logarithmus schreiben, also ergibt das (v0×m0)/(ρs×Vs×A)×ln×(m0+Ρs×Vs×A×t)/m0 und damit ist das Argument auch einheitenlos. Beachte, dass ρs×Vs×A war ja m., also hat als Einheit kg/s, damit steht vor dem Logarithmus so etwas wie eine Geschwindigkeit mal eine Zeit, was eine Strecke ergibt. Also passt auch das von den Einheiten her. Damit sind wir fertig und zufrieden und ich bedanke mich, bis zum nächsten Mal.

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