Textversion des Videos

Transkript Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

Hallo! Ich bin euer Physik-Siggi. Heute werde ich euch die wichtigste Formel der kinetischen Gastheorie erklären. Ihr werdet die exakte Herleitung verstehen und alle weiteren Varianten dieser Formel kennenlernen. Ihr benötigt dafür ein Verständnis vom Impuls, der Kraft, vom idealen Gas und vom Gasgesetz. Das Gasgesetz könnt ihr euch in meinen Filmen "Grundlagen Temperatur, Druck, Volumen - das Gasgesetz" und "Grundlagen atomistischer Aufbau" veranschaulichen. Dies ist der 3. Film in dieser Reihe. Wir betrachten ein ideales Gas in einem Gefäß. Ideal bedeutet, dass das Gas kein Eigenvolumen hat und die Stöße untereinander bzw. mit der Wand elastisch sind. Wir wissen bereits, dass mit zunehmender Temperatur der Druck im Gas steigt. T ist proportional zu p, falls das Gefäß, das Volumen des Gases, konstant groß bleibt. Dies liegt daran, dass die Gasteilchen mit steigender Temperatur immer schneller werden und somit stärker gegeneinander und gegen die Wand des Gefäßes prallen. Das bedeutet, der Druck wird größer. Wie hängt nun der Druck mit der Geschwindigkeit der Teilchen genau zusammen? Zunächst müssen wir verstehen, dass nicht alle Teilchen gleich schnell sind, außerdem aufgrund von Stößen immer wieder abgebremst und beschleunigt werden. Deswegen wird im Folgenden immer von einer mittleren Geschwindigkeit gesprochen, da die Teilchen keine konstante Geschwindigkeit haben. Zeichnen wir nun einen beliebigen Geschwindigkeitsvektor auf, so sehen wir, dass man ihn in seine 3 Richtungskomponenten zerlegen kann. Da die Teilchen aber ständig in unterschiedliche Richtungen fliegen, mitteln sich die Beträge der einzelnen Richtungskomponenten so, dass jede Richtung den gleichen Betrag hat. Somit betrachten wir auch nur den Betrag der mittleren Geschwindigkeit und machen uns keine Gedanken über ihre Richtung. Mithilfe des Satzes von Pythagoras erkennen wir: vx2+vy2+vz2=v2. Also ist vx2=1/3v2. Der Druck eines Gases ist der Druck an der Wand, der deswegen entsteht, weil die Gasteilchen gegen die Wand prallen und somit einen Impuls auf die Wand übertragen. Dieser Impuls entspricht einer Kraft, welche wieder, bezogen auf die Fläche der Wand, einen Druck entstehen lässt. Betrachten wird dies genauer. Ein Teilchen stößt nun gegen die Wand. Diese hier steht senkrecht zur x-Achse. Für den Impuls ist also nur die x-Komponente der Geschwindigkeit verantwortlich. Nach der Impulserhaltung ist p(vorher)=p(nachher). Da die Wand steht, erhalten wir: m×vx=m×-vx. Also ist die Impulsänderung p=p(vorher)-p(nachher)=2mvx. Wir wissen, dass die Änderung eines Impulses in einer bestimmten Zeit der Kraft entspricht. Die Ableitung des Impulses ist also die Kraft oder m×vPunkt=m×a. Also ist die Ableitung der Geschwindigkeit gleich der Beschleunigung. Ihr kennt dies bereits aus der Lehre der Beschleunigung. Der zurückgelegte Weg während einer Beschleunigung ist in Abhängigkeit von der Zeit: ½×a×t2+ die Anfangsgeschwindigkeit v0×t+ die Anfangsstrecke x0. Leiten wir dies ab, so erhalten wir: xPunkt=a×t+v0. Und dies ist genau die Formel für die Geschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit während einer Beschleunigung. Leiten wir noch einmal ab, so gilt: xPunkt-Punkt, also vPunkt=a. Also ist die Ableitung der Geschwindigkeit dv/dt gleich der Beschleunigung a. Der Impuls p=m×v. Leiten wir ihn ab, so erhalten wir: Die Änderung eines Impulses während eines Zeitintervalls entspricht also einer Kraft. Die Kraft, die auf die Gefäßwand wirkt, ist also gleich (2m×vx)/Δt. M ist die Masse des Teilchens. Diese Kraft kommt aber nur von einem Teilchen. Wollen wir die Gesamtkraft ausrechnen, die auf diese Fläche wirkt, so müssen wir uns überlegen, wie viele Teilchen gegen die Wand prallen. Also müssen wir bestimmen, wie viele Teilchen vor dieser Wand sind, also wie groß die Dichte der Teilchen an dieser Stelle ist. Die Dichte der Teilchen ist die Teilchenzahl durch das Volumen. Die Teilchenzahl in einem bestimmten Volumen V1 = der Dichte × diesem Volumen. Ist die Dichte der Teilchen zum Beispiel 3 Teilchen/m³, dann sind in einem Raum mit 5m³ genau 15 Teilchen. Wir benötigen also ein Volumen V1. Wir zeichnen es so ein, dass die Breite des Volumens so klein ist, dass die Teilchen nur entweder zur Fläche A fliegen oder zu der gegenüberliegenden. Die Teilchen, die zu den anderen 4 Außenwänden fliegen, sind so wenige, dass wir sie vernachlässigen können. Gegen die rechte Wand fliegen im Mittel genau die Hälfte der vorhandenen Teilchen. Also erhalten wir als Teilchenzahl ½×N/V×V1. V1 ist genau die Fläche A × der Breite s. s können wir folgendermaßen bestimmen: Wir betrachten ja alle Teilchen, die während einer bestimmten Zeit einen Impuls an der rechten Wand auslösen. Das sind natürlich all die, die diese Strecke s in der Zeit Δt zurücklegen können. vx=s/Δt, also gilt für die Strecke: s = die mittlere Geschwindigkeit in x-Richtung ×Δt. Setzen wir dies oben ein, so erhalten wir: V1=A×vx×Δt. Und somit wird die Teilchenzahl N1 zu: ½×N/V×A×vx×Δt. Die Kraft aller Teilchen, die gegen die Wand stoßen, ist die Kraft eines Teilchens × die Anzahl N1 der Teilchen. Also die 2 kürzt sich heraus, genauso das Zeitintervall Δt. Die gesamte Kraft F(gesamt) ist also Teilchenzahl pro Volumen × der Fläche A × der Masse eines Teilchens × das mittlere Geschwindigkeitsquadrat in x-Richtung. Dies ist jedoch 1/3 des gesamten Geschwindigkeitsquadrats. Also erhalten wir: Die gesamte Kraft =m×(N/V)×A×1/3v2. Als letzten Schritt müssen wir noch von der Kraft zum Druck kommen. Das ist einfach. Der Druck p=(F(gesamt)/Fläce A, wobei wir das p des Drucks nicht mit dem p des Impulses verwechseln dürfen. Also p=(N/V×A×m×1/3v2)/A. Also N/V×m×1/3v2. Dies ist die wichtigste Formel der kinetischen Gastheorie. Wiederholung: Zunächst haben wir eine mittlere Geschwindigkeit bestimmt, dann die Impulsänderung eines Teilchens. Danach festgestellt, dass die Änderung des Impulses pro Zeit einer Kraft entspricht. Danach haben wir die Gesamtkraft aller wirkenden Teilchen bestimmt und letztendlich daraus den Druck errechnet. 2 weitere Formeln möchte ich euch kurz zeigen. Wir wissen, dass die Massendichte gleich der Gesamtmasse pro Volumen ist: ρ=M/V. Die Gesamtmasse = m × die Teilchenzahl. Also ist (m×N)/V die Massendichte, also die Dichte des Gases. In unser Ergebnis für den Gasdruck eingesetzt erhalten wir: Der Druck=1/3 × die Dichte × mittleres Geschwindigkeitsquadrat der Teilchen. In der nächsten und letzten Formel können wir die kinetische Energie eines Teilchens in Abhängigkeit von der Temperatur des Gases bestimmen. Wir wissen, dass sie ½m×v2 ist. Wir können Gleichung 1 so umstellen, dass dies dasteht. Aus der Gasgleichung wissen wir jedoch, dass Druck × Volumen = Teilchenzahl × Boltzmann-Konstante × Temperatur ist. Setzen wir beide gleich und stellen um, so ergibt sich: Die kinetische Energie eines Teilchens =3/2kB × die Temperatur. Im nächsten Film werden wir dazu eine Beispielaufgabe rechnen. Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Nikolai

    @Cemie Master: Der Grund dafür das die mittlere Geschwindigkeit in allen Raumrichtungen gleich ist, ist die Isotropie. Isotropie bedeutet das alle Raumrichtungen gleichberechtigt sind, d.h. wenn keine äußeren Kräfte wirken kann man nicht zwischen oben, unten, links und rechts unterscheiden. Die physikalischen Gesetze und damit auch die Bewegung verläuft in alle Richtungen gleich. Isotropie ist eine der Grundannahmen in der Physik - man sagt das Universum ist isotrop. Wenn nun aber alle Raumrichtungen gleichberechtigt sind dann müssen die mittleren Geschwindigkeiten in allen Richtungen gleich sein. Es gibt keinen Grund warum sich die Teilchen “nach oben” schneller bewegen als “nach rechts”. Und ja, statistisch gesehen bewegen sich ⅓ der Teichen in eine Raumrichtung, bzw. ⅙ wenn du zwischen positiver und negativer Geschwindigkeit unterscheidest. Das gilt aber wieder nur statistisch, also für die Mittelwerte!

    Lg

    Von Nikolai P., vor etwa 3 Jahren
  2. Default

    Eine kurze Frage zum Video. Bei 2:31 erwähnst du, dass sich die einzelnen Beträge der Richtungskomponenten mitteln, sodass jede Richtung den gleichen Betrag hat. Kann ich das so verstehen, dass jeweils 1/3 der Teilen in x,y und z Richtung fliegt? Somit wäre die mittlere kinetische Energie der Teilchen in allen Richtungen gleich und damit auch die mittlere Geschwindigkeit?

    Von Chemie Master, vor etwa 3 Jahren