Textversion des Videos

Transkript Fußball - WM (5) "Wind im Spiel"

Hallo liebe Freundinnen und Freunde des Fußballs und vielleicht Interessierte an der Mathematik und der Physik. Herzlich willkommen zum Video Fußball WM 2010. Das 5te Video heißt: Wind im Spiel. Trotz modernster Stadien in Südafrika könnte es durchaus einmal möglich sein, dass es windig wird. Wir haben Wind im Spiel. Wie wirkt sich das auf das Spiel aus? Wollen wir dazu einmal einige Experten hören. Was sagt der Poldi: Aja das Spiel wird schneller. Was meint Schweini - oh Verzeihung - Bastian Schweinsteiger: Also das Spiel bleibt gleich schnell. Und was meint der Bundes-Jogi? Also das Spiel wird glaube ich doch langsamer. Um die Frage zu beantworten, schaffen wir uns ein einfaches Modell. Wir gehen davon aus, dass der Wind ständig in eine Richtung bläst, und zwar von einem Tor zum anderen. Dann soll es so sein, dass für unsere Mannschaft in der 1. Halbzeit das Wind gepuste helfend ist. In der 2ten Halbzeit stört natürlich dann der Wind. Die Windgeschwindigkeit sei Delta v, in der 1. Halbzeit also + Δv, denn der Wind hilft. In der 2ten Halbzeit stört er uns in gleichem Maße, also - Δv. Nun wollen wir die Bezeichnung der Größen einführen, die wir bei der Rechnung benötigen werden. L2 sei der Weg, den ein Spieler pro Halbzeit zurücklegt. Wir gehen davon aus, dass in jeder Halbzeit der gleiche Weg L2 zurückgelegt wird. Wir gehen von einer gewissen Durchschnittsgeschwindigkeit des Fußballers aus. Wir bezeichnen diese Geschwindigkeit als V. ΔV kennen wir schon, das ist die Windgeschwindigkeit. t1 und t2 sind die Laufzeiten des Fußballers in der 1. bzw. 2. Halbzeit. Nun wollen wir die gesamte Zeit ausrechnen, die ein Spieler in beiden Halbzeiten im Ganzen läuft. In der 1. Halbzeit ist das t1, in der 2. Halbzeit t2. Die Gesamtzeit ist folglich die Summe aus t1 und t2. Wir schauen nun nach rechts, nach dem Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Beschleunigung gilt v=s/t - Geschwindigkeit ist gleich Weg durch Zeit. Wenn wir diese Gleichung mit der Zeit multiplizieren und durch die Geschwindigkeit teilen, erhalten wir t=s/v. Die Zeit ist gleich der Weg geteilt durch die Geschwindigkeit. Wir schreiben also auf der rechten Seite unserer Gleichung: L/2 - das ist der Weg, der in der 1. Halbzeit zurückgelegt wird, geteilt durch  die Geschwindigkeit in der 1. Halbzeit. Wir schauen nach rechts, die Geschwindigkeit in der 1. Halbzeit Vg, soll die Gesamtgeschwindigkeit aus  den Geschwindigkeiten des Fußballers v und der Windgeschwindigkeit Δv sein. Also schreiben wir links weiter. Im Nenner: ×(v+ Δv). Der Term ist der Quotient aus Weg und Zeit in der 1.Halbzeit. Wenn wir rechts unten statt + ein -  zwischen v und Δv schreiben, das ist nämlich die Gesamtgeschwindigkeit in der 1. Halbzeit, erhalten wir analog für t2: L/2×(v-Δv). Wir machen weiter, die Zeile darunter, und bilden nun den Hauptnenner. Der Hauptnenner ist 2×(v+Δv)×(v-Δv). Im Zähler klammer ich das L= aus, es muss für den 1. Term mit v-Δv multipliziert werden. Der 2. Zähler muss mit v+Δv multipliziert werden. Wir schließen den gesamten Zähler mit einer Klammer ab. Die Ausdrücke -Δv und +Δv in der Klammer heben sich gegenseitig auf. Wir erhalten somit, Zeile darüber: L×2v im Zähler und im Nenner bleibt 2×(v+Δv  )×(v-Δv) übrig. Wir kürzen nun die 2en aus Zähler und Nenner gegeneinander und schreiben den erhaltenen Ausdruck darunter auf. Der Nenner Ausdruck ist interessant, denn hier können wir eine binomische Formel verwenden. Es ist nämlich der Ausdruck a+b×a-b für den man a2-b2 schreiben kann. Also erhalten wir, Zeile darüber: t1+t2=L×v/v2-Δv2. Anmerkung: ich muss das Δv nicht unbedingt in eine Klammer schreiben. Aus Gründen der Übersichtlichkeit tue ich es aber. Wir dividieren nun Zähler und Nenner des Terms durch v und erhalten im Zähler: L×v/v und im Nenner: v2/v-(Δv2)/v. Nun kürzen wir, was zu kürzen geht, und erhalten einen relativ einfachen Ausdruck. Im Zähler: L, und im Nenner v-(Δv2)/v. t1+t2 ist die gesamte Zeit, die ein Fußballer während eines Spiels mit Wind läuft. Dafür schreiben wir t(w) und verwenden rote Farbe. Oben links wird jetzt die Formel für die Zeit t(w), für die Zeit mit Wind, notiert. Uns bleibt jetzt nur noch, die Zeit ohne Wind zu berechnen. Dafür verwende ich t mit Index durchgestrichenes w. Wir erhalten für die 1. Halbzeit: L/2/v und für die 2. Halbzeit ebenfalls L/2/v. Diese beiden Werte werden addiert, man kann dafür auch schreiben ½ L/v+½ L/v, das heißt L/v. Ich notiere oben rechts mit grüner Farbe: t(w)=L/v. Welche der beiden Zeiten ist nun größer? Die linke mit Wind oder die rechte ohne Wind. Oder sind sie beide gleich? Der Nenner des linken Ausdrucks ist kleiner als der Nenner des rechten Ausdrucks, denn von v wird noch ein Wert abgezogen. Die Zähler beider Brüche sind gleich. Demzufolge ist die Zeit t(w) größer als die Zeit t(w)durchgestrichen. Wir wollen nun ein Beispiel betrachten. Und zwar nehmen wir an, dass der Spieler im Laufe des Spiels, 12 km läuft. Seine Durchschnittsgeschwindigkeit dabei betrage 20 km/h. Der Wind, der ihm hilft, bzw. der ihn dabei stört, soll 4 km/h stark sein. Ich rechne ohne Einheiten, da muss ich am Ende folgerichtig Stunden erhalten. Ich schreibe: 12/20-42/20. Zähler und Nenner werden durch 4 dividiert, ich erhalte im Zähler 3 und im Nenner 5-4/20. Der Bruch im Nenner wird gekürzt und wir erhalten: 3÷5-1/5. Ganz unten rechts. Wir machen weiter in der Zeile darunter. t(w)=3÷24/5, denn 5 sind 25/5-1/5 sind 24/5. Ist gleich: 15/24. Die 5 von unten kommt als Faktor nach oben und ergibt mit der 3 eine 15. Ich schreibe jetzt die Stunden als Einheit auf. Ich multipliziere nun Zähler und Nenner mit 2,5, ich erweitere gewissermaßen. Die Einheit Stunde, h, lasse ich stehen. In der oberen Zeile fahre ich fort. t(w)= ich berechne nun für den Nenner: 24×2,5=60 und für den Zähler 15×2,5=37,5. Einheit: Stunden. Hier kann man direkt die Minuten ablesen. t(w) ist also 37,5 Minuten. Wir erhalten also mit Wind eine Gesamtzeit von 37,5 Minuten. Die Zeit ohne Wind ergibt sich ganz einfach als Quotient aus dem zurückgelegten Weg L und der Geschwindigkeit v, also 12/20, als Einheit müssen wir erhalten: Stunden, h. Ich erweitere nun Zähler und Nenner mit 3, und erhalte: 36/60 Stunden, und das sind genau 36 Minuten. Ohne Wind braucht man für die 12 km 1,5 Minuten weniger. Also resümieren wir: Der Poldi hatte unrecht, der Schweini ebenso. Der Einzige, der hier den Durchblick behielt, war der Bundes-Jogi. Aber das alleine nützt ihm nichts, er muss übermorgen mit seiner Mannschaft gegen Ghana gewinnen, das ist das Allerwichtigste. Hauptsache der Ball rollt, weiter und in die richtige Richtung. Ich bedanke mich für eure Aufmerksamkeit, wünsche euch alles Gute und viel Erfolg! Tschüss.

Informationen zum Video
3 Kommentare
  1. 001

    Lieber Stephan,
    schön, dass du dich für diese Aufgabe inreressierst.
    Mit Wind:
    t1 = l/2(v+deltav), t2 =l/2(v-deltav)
    l ist der Zähler.
    Wir bilden den Hauptnenner:
    t1 + t2 = l(v-deltav + v+deltav)/2(v+deltav)(v-deltav)
    bis zum Teiler /: Zähler
    nach dem Teiler /: Nenner
    Hier habe ich folgenden Trick angewendet, der im Video nicht genannt wird:
    Da beide Brüche die Länge l im Zähler aufweisen, habe ich dieses l in dem Schritt kurzerhand ausgeklammert.
    Im Zähler heben sich nun -deltav und +deltav auf. Es bleibt:
    t1 + t2 =2lv/2(v+deltav)(v-deltav)
    Hier und im weiteren teilt / jeweils Zähler und Nenner.
    Die Zweien werden herausgekürt und für den Nenner die dritte binomische Formel angewendet:
    t1 + t2 = tw = lv/v**2-(deltav)**2
    Die beiden Sterne ** bedeuten "hoch", **2 heißt "hoch zwei" oder "Quadrat".
    Nun wird gekürzt, Zähler und Nenner werden durch v geteilt:
    tw = l/v -[(deltav)**2/v]
    Die eckigen Klammern muss ich hier setzen, um den Nebenbruch vom Hauptbruch zu unterscheiden.
    Das habe ich im Video alles sehr ausführlich gemacht. Ich verstehe nicht, wo es hier Unklarheiten geben kann.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor fast 2 Jahren
  2. 001

    Ich muss dich auf etwas später (morgen vielleicht) vertrösten.
    Viele Grüße

    Von André Otto, vor fast 2 Jahren
  3. Default

    Hallo, wäre es möglich die komplette Aufstellung der rechten Seite der t_W Gleichung inklusive ausführlicher Darstellung des Erweiterns der Brüche bis hin zur fertigen Gleichung zu bekommen ? Ich habe versucht den Weg nachzuvollziehen, jedoch nachdem ich die Brüche erweitert habe um sie addieren zu können, komme ich nicht weiter :-/

    Von Stephan M Gabriel, vor fast 2 Jahren