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Transkript Fliehkraft – Oberflächenprofil einer rotierenden Flüssigkeit

Hallo und herzlich Willkommen zum Video über das Oberflächenprofil einer rotierenden Flüssigkeit. Dies ist ein weiteres Anwendungsvideo der Fliehkraft, allerdings auf einem ein wenig höheren Niveau als die Letzten. Du solltest eine Ahnung von Differenzialrechnung haben, um dieses Video zu verstehen. Legen wir also ohne Umschweife direkt los.   Wir haben ein Gefäß, das Wasser enthält. Das soll ein zylinderförmiges Gefäß sein, sowie ein normales Glas. Das hier ist ein Querschnitt des Glases. Wir können die Aufgabe erst einmal im Querschnitt lösen und sie dann auf den Zylinder verallgemeinern. Das geht, weil ein Zylinder rotationssymmetrisch um die y-Achse ist.Wie können jetzt aber erst mal so tun, als ob das Ganze nur zweidimensional ist. Wir bringen nun auf irgendeine Art und Weise die Flüssigkeit mit der Winkelgeschwindigkeit Omega (ω) zum rotieren. Die Erfahrung sagt uns, dass sich die Wasseroberfläche nach unten zu wölben beginnt und an den Rändern dafür ein wenig ansteigt. Wenn das hier die x-Achse ist und das hier die y-Achse, so ist es unser Ziel für dieses Video, die genaue Funktionsgleichung des Oberflächenprofils y (x) zu bestimmen.   Das hört sich auf den ersten Blick wie eine schwierige Aufgabe an. Ist es aber eigentlich nicht, wenn ich es dir erkläre. Der Trick bei der Sache ist folgender: das Ganze bewegt sich zwar, dennoch befindet es sich in einem dynamischen Gleichgewicht. Das heißt, die Wasseroberfläche ordnet sich so an, sodass keine Kräfte mehr wirken, die diese Oberfläche verändern können. Ansonsten würde sie sich nämlich verändern und in ein neues Gleichgewicht übergehen. Aus dieser Überlegung folgt, dass die Vektoraddition aller angreifenden Kräfte senkrecht zu Wasseroberfläche stehen muss, sonst gäbe es ja eine Nettokomponente parallel zur Wasseroberfläche, die eine Wasserverschiebung verursachen würde. Da sich aber die Funktionsgleichung bei ansteigender Geschwindigkeit nicht ändert, befindet sich das System in einem Gleichgewicht, in dem sich alle Kräfte, die etwas beschleunigen können, zu 0 addieren müssen. Wir wissen also schon, dass die Gesamtkraft an jedem Punkt der Funktionsgleichung y (x) senkrecht zur Oberfläche stehen muss.   Jetzt überlegen wir uns, aus welchen Kräften sich die Gesamtkraft zusammensetzt. Da wären einmal die Gewichtskraft und einmal die Fliehkraft. Natürlich müssen wir darauf achten, dass die Vektoraddition der beiden Kräfte auch die Gesamtkraft ergibt. Wie kommen wir jetzt aus diesen Informationen an die Funktionsgleichung y (x)? Ein weiterer Trick bei der Sache ist: Wir versuchen erst mal, die Steigung von der Funktion y(x) zu bekommen. Wir kennen ja die Gewichtskraft und die Normalkraft, dann kennen wir auch die Gesamtkraft. Wir wissen, dass die senkrecht auf der Wasseroberfläche stehen muss. Dann wissen wir auch, wie die Tangente an die Wasseroberfläche läuft, nämlich einfach rechtwinklig zur Gesamtkraft. Und die Tangente ist ja nichts anderes als die Steigung der Funktion y (x). Also ist die erste Ableitung von y (x): y' (x).   Und wir wissen auch noch, dass der Tangens (tan) des Winkels λ hier nichts anderes ist, als die Steigung der Funktion. Das solltest du irgendwann mal in Analysis gelernt haben. Ein ganz kurzer Einschub: warum ist das so? Naja, die Steigung ist ja in einem Steigungsdreieck definiert, als y-Achsenabschnitt durch x- Achsenabschnitt. Und das sind beides auch genau die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks mit dem Winkel λ hier.  Und da der Tanges  λ = Gegenkathete durch Ankathete ist, was ja y÷x beträgt, ist ja der Tangens λ = m, also die Steigung. Außerdem ist die erste Ableitung nichts anderes als die Steigung m. Daraus folgt, dass y' (x) = tan ( λ). Das gilt übrigens allgemein für jede differenzierbare Funktion y (x). Außerdem befindet sich der Winkel λ auch hier. Und wem das nicht ganz klar ist, wieso das so ist, der drücke an dieser Stelle Pause und versuche, das selbst zu beweisen. Das ist eine sehr gute Übung und nicht besonders schwer.   Jetzt sehen wir, dass der Tangens von diesem Winkel λ = Fz/Fg ist, weil die beiden Kräfte die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks hier sind. Wenn wir nun noch die Formel für die beiden Kräfte einsetzen, das solltest du mittlerweile auswendig können, dann steht da: tan ( λ) = mv2 / x / mg = v2 / xg. Ich verwende jetzt x statt r, weil wir uns erst mal den Querschnitt hier konzentrieren und dass Koordinatensystem ja ein x-,y-System ist. R ist ja nichts anderes als der Abstand zur Drehachse und in diesem Fall ist das eben x. Wir wollen aber nicht die Bahngeschwindigkeit v sondern die Winkelgeschwindigkeit ω in der Formel stehen haben. Also ersetzen wir noch v durch ω × x. Dann ergibt das: ω2 / g × x. Wenn wir y (x) wollen, müssen wir nur die erste Ableitung von x über x integrieren. Also haben wir: y (x)= ∫ y' (x) dy = ∫ ω2 / g × xdx. Und das ist ja: ω2 / 2g × x2  + einer Integrationskonstanten c. Und da wir das Koordinatensystem so gewählt haben, dass für x=0 auch y =0 ist, können wir das c getrost weglassen. Die Funktionsgleichung ist also: y (x) = ω2/ 2g × x2, also eine Parabel.   In Wirklichkeit ist das ganze aber rotationssymmetrisch. Wir erinnern uns, das war ja in Wirklichkeit ein Zylinder. Deshalb ist das Ganze ein Rotationsparaboloid, also eine rotationssymmetrische Parabel. Wobei x der Abstand der Wasseroberfläche von der Rotationsachse ist. Damit sind wir jetzt auch schon fertig. Wir wissen jetzt die genaue Funktionsgleichung für das Oberflächenprofil einer rotierenden Flüssigkeit mit Geschwindigkeit ω. Und das nur durch die beiden Kenntnisse der Gewichtskraft und der Fliehkraft und ein bisschen Logik und Mathematik. Damit bedanke ich mich und bis zum nächsten Mal.      

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