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Transkript Energiedichte von Feldern

Hallo und herzlich willkommen! Ich erkläre hier, was die Energiedichte in elektrischen und magnetischen Feldern ist und wie man sie berechnet. Du solltest wissen, wie sich Arbeit und Energie zueinander verhalten, den Unterschied von Energieformen kennen und natürlich wissen, wie elektrische und magnetische Felder entstehen. Mit dem Aufbau des Plattenkondensators und der langen Spule solltest du gut vertraut sein. Du weißt, dass man physikalische Arbeit verrichtet, um den Energiezustand eines Systems zu verändern. Hebt man etwa einen Körper in die Höhe, wird an ihm mechanische Arbeit gegen die Kraftwirkung des Schwerefeldes der Erde verrichtet. Hält man ihn auf dieser Höhe, indem man ihn zum Beispiel auf einem Seil balanciert oder auf eine Plattform legt, dann kann er selbst Arbeit verrichten, sobald er sich wieder mit der Schwerkraft bewegen kann. Wenn wir ihn etwa von der Plattform herunterkippen, dann wird seine potenzielle Energie in kinetische verwandelt, die sich beim Auftreffen auf den Boden wieder in eine andere verwandelt, meist Wärmeenergie. Natürlich muss man auch Arbeit verrichten, wenn man nicht Körper, sondern Ladungen bewegt. Das weißt du vom Aufladevorgang des Plattenkondensators. Es muss ein Strom fließen, damit wir Ladungsbewegung haben. Daher kann man ja die elektrische Leistung einsetzen, um die elektrische Arbeit zu berechnen, denn wir wissen, dass die elektrische Leistung das Produkt von anliegender Spannung und erzeugtem Stromfluss ist, aber auch, dass Leistung immer Arbeit pro Zeiteinheit ist. So ergab sich für die elektrische Arbeit beim Aufladen des Plattenkondensators die Formel W=Integral über UdQ, weil die Leistung P das Produkt von U und I ist und der Strom die Ladungsänderung pro Zeiteinheit. Damit erhalten wir für die Arbeit, die beim Aufladen des Plattenkondensators zu leisten ist, den Ausdruck für W, der lautet: W=½Q2/C. Die Größe der geleisteten Arbeit ist nun exakt gleich der Energie, die im Plattenkondensator gewissermaßen gespeichert ist. Es ist so, als könnte der Plattenkondensator jetzt eine Arbeit abgeben, die wir vorher nie investiert haben. Anders als beim Körper, den wir angehoben haben, steckt aber die Energie des elektrischen Feldes gewissermaßen im ganzen Feld, nicht einfach in den bewegten Ladungen. Denn wenn Energie die Fähigkeit ist, Arbeit zu verrichten und diese Arbeit durch Kraftwirkung verwirklicht wird, dann muss die Energie im gesamten Feld stecken. Das Feld ist ja ein Kraftfeld. An jedem Punkt des Raumes, den es ausfüllt, übt es eine Kraft aus. Natürlich nur auf geladene Teilchen. Und weil das so ist, kann man für ein Feld die Dichte der Energieverteilung im Raum bestimmen. Das ist nichts anderes als der Energieanteil pro Volumenstück. Ihr Formelzeichen ist Rho. Beim idealen Plattenkondensator gehen wir davon aus, dass das Feld zwischen seinen Platten homogen ist, was natürlich bedeutet, dass an allen Stellen in gleich großen Volumenstücken der Energieanteil gleich groß sein muss. Dann können wir aber ganz einfach, die gesamte Energie des Feldes mit seinem Gesamtvolumen ins Verhältnis setzen. Formulieren wir den Ausdruck für die Energie etwas um, erhalten wir einen Ausdruck, in dem die Ladung Q ersetzt ist. Mit dem Ausdruck, der die Stärke des elektrischen Feldes im Plattenkondensator in Abhängigkeit von der Spannung und dem Abstand der Platten beschreibt, können wir dann auch U ersetzen. Dann ersetzen wir noch die Größe C, die Kapazität des Plattenkondensators, mit dem bekannten Ausdruck aus der Elektrizitätskonstante, Plattenfläche und Plattenabstand, und wir erhalten einen schönen bündigen Ausdruck für die Energiedichte des elektrischen Feldes im Plattenkondensator. Nun sehen wir uns noch die Verhältnisse im magnetischen Feld an. Dort verhält es sich mit der Energiedichte ganz analog. Wir setzen auch hier bei der Bewegung von Ladungsträgern an, aber an solchen, die nicht durch ein elektrisches Feld bewegt werden, sondern durch die Veränderung eines magnetischen. Konkret betrachten wir den Fall der Selbstinduktion. Schalten wir einen durch eine Spule fließenden Gleichstrom ab, ändert sich das Feld dieser Spule und diese Änderung induziert eine Spannung in der Spule. Diese Spannung bewirkt einen Stromfluss, sodass hier eine Leistung umgesetzt wird, P=U×I. Außerdem gilt natürlich, wie allgemein, die Leistung P ist Arbeit pro Zeiteinheit. Wir stellen den zweiten Ausdruck hier wieder um, weil wir ja die Arbeit W berechnen wollen, ersetzen die Leistung P durch das entsprechende Produkt aus induzierter Spannung und Strom, setzen noch für die induzierte Spannung den äquivalenten Ausdruck, das Produkt der Induktivität der Spule und der Änderung des Stromflusses, und erhalten diesen Integralausdruck für die Arbeit, die das magnetische Feld der Spule bei seinem Abbau verrichtet. Wenn dieses Feld eine solche Arbeit verrichten kann, hat es selbstverständlich zuvor eben dieselbe Energie, die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten. Wir nahmen ja bei der langen und geraden Spule immer an, dass praktisch das gesamte Feld im Inneren der Spule liegt. Außerdem nehmen wir auch hier an, dass das Feld im Inneren der Spule homogen ist, das heißt, dass die gesamte Energie gleichmäßig über das ganze Feld verteilt sein muss, also auch hier wieder in gleichen Volumenstücken der gleiche Energieanteil zu finden sein muss, ganz gleich an welchem Ort. Wir können also auch hier die Energiedichte, das Verhältnis von Energieanteil zu Volumenstück über das Verhältnis der Gesamtenergie zum Gesamtvolumen berechnen, ganz ähnlich wie beim Plattenkondensator. Setzen wir für die Induktivität L noch den bekannten Ausdruck aus Permeabilität, Windungszahl, Querschnittsfläche und Länge der Spule an, und für den induzierten Strom den Ausdruck, der ihn als Funktion der magnetischen Flussdichte B zeigt, dann erhalten wir hier einen etwas modifizierten Ausdruck für die Energie des magnetischen Feldes in der langen geraden Spule. Für die Energiedichte Rho als Verhältnis der Gesamtenergie zum Gesamtvolumen des magnetischen Feldes ergibt sich also dieser Ausdruck. Fassen wir noch einmal kurz zusammen: Wir haben für den Plattenkondensator die Energie, die in ihm gespeichert ist, darüber berechnet, dass wir die Arbeit ermittelt haben, die verrichtet wird, wenn er aufgeladen wird. Da wir angenommen haben, dass das Feld zwischen den Platten des Plattenkondensators homogen ist, konnten wir die Energiedichte, das heißt, den Energieanteil pro Volumenstück, über die Gesamtenergie im Verhältnis zum Gesamtvolumen des Feldes zwischen den beiden Platten berechnen. Für die lange gerade Spule haben wir die in ihrem magnetischen Feld gespeicherte Energie über die Arbeit ermittelt, die dieses Feld verrichtet, wenn wir den Strom, der das Feld aufgebaut hat, abschalten und durch die Veränderung des Feldes eine Spannung induziert wird und ein Strom angetrieben wird. Mit den beiden Näherungen, dass sich das gesamte Feld der Spule in ihrem Inneren befindet und homogen ist, das heißt, überall gleich dicht, konnten wir die Energiedichte des magnetischen Feldes einer langen geraden Spule als das Verhältnis der Gesamtenergie dieses Feldes zu seinem Gesamtvolumen berechnen. Das war ein sehr komplexes Thema, aber wenn du mit den Verhältnissen Plattenkondensator und der langen geraden Spule gut vertraut warst, wird das nicht so schwer gewesen sein. Viel Vergnügen bei der Anwendung und beim Berechnen und bis zum nächsten Video!

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