Das elektrische Potential - Spannung zwischen zwei Punkten im elektrischen Feld

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle!
Wir wollen uns heute wieder aus dem Themengebiet Elektriztiät und Magnetismus das elektrische Potential genauer ansehen. Für dieses Video solltet ihr am besten schon die Videos zum Coulombschen Gesetz und zur elektrischen Feldstärke gesehen haben.
Dann wollen wir mal. Wir lernen heute, was das elektrische Potential ist, wie man es herleiten kann und wie man eine Potentialdifferenz berechnen kann.
Dann mal auf zu Frage 1. Was ist denn das elektrische Potential? Einfach gesagt gibt das elektrische Potential an einem bestimmten Ort r an, welche Spannung zwischen diesem Punkt r und einem festen Bezugspunkt, üblicherweise in unendlicher Entfernung, herrscht. Da Spannung ja Arbeit pro Ladung ist, kann man also sagen: Das Potential ist ein Maß dafür, inwiefern das Feld imstande ist, Arbeit an einer Ladung zu verrichten, unabhängig davon, wie groß sie ist.
Als Nächstes wollen wir uns ansehen, wie man eine Formel für das Potential im Punkt r herleiten kann. Wir haben gerade gehört: Das Potential ist ein Maß für die Fähigkeit des Feldes, Arbeit an einer Ladung zu verrichten, egal, wie groß diese Ladung ist. Und diesen Satz (egal, wie groß die Ladung ist) haben wir schon mehrfach gehört, und zwar bei der elektrischen Feldstärke.
Deshalb zeichne ich ein Koordinatensystem, in dem der Abstand die x- und die Feldstärke die y-Achse ist, auf. Als Beispiel nehmen wir, denn die kennen wir schon, die elektrische Feldstärke einer Punktladung: E=(1/4πε)×(Q/r^2). Wir wissen, einfach gesagt: Arbeit = Kraft × Weg. Und wir wissen auch: Unsere Feldstärke × die Ladung = Kraft. Also ist die Arbeit: Feldstärke × Ladung × Weg. Damit ergibt sich, da unser Potential ja eine Spannungsdifferenz ist und Spannung = Arbeit / Ladung:  Potential = Feldstärke × Weg. Das ist aber gar nicht so einfach zu berechnen, wie es sich anhört, wie ihr gleich im Beispiel sehen werdet.
Nehmen wir mal an, unser Feld wird von einer positiven Ladung erzeugt. Wenn ich also nun das Potential im Punkt r0 berechnen möchte, muss ich also quasi ausrechnen, wie viel Arbeit pro Coulomb nötig wäre, um eine 2. positive Ladung aus unendlicher Entfernung bis zum Punkt r0 zu bringen. Das gesuchte Ergebnis ist also diese rot schraffierte Fläche. Falls ihr die Integralrechnung noch gut im Kopf habt, könnt ihr das eigentlich schnell ausrechnen. Das ist nämlich das ∫ von r0 bis ∞ über die Feldstärke dr. Für unser konkretes Beispiel der Punktladung heißt das: Ihr müsst erst eine Stammfunktion von E finden, zum Beispiel (-1/4πε)×(Q/r), und dann erst ∞ und dann r0 einsetzen, und dann Zweiteres von Ersterem abziehen. Das ergibt dann, da Q/∞=0 ist, für ∞: 0-(-1), also insgesamt 0+(1/4πε)×(Q/r). Und das ist die Formel für das Potential im Feld einer Punktladung.
Als Letztes wollen wir uns noch ansehen, was passiert, wenn nicht einer meiner Punkte in unendlicher Entfernung liegt, also wenn ich eine Potentialdifferenz zwischen 2 Punkten A und B berechnen möchte. Dazu wollen wir uns schnell erinnern: Eine Potentialdifferenz ist eine Spannung zwischen 2 Punkten. Die Berechnung ist eigentlich ganz einfach. Da ich ja die Potentialdifferenz zwischen einem Punkt und ∞ berechnen kann, berechne ich einfach für beide Punkte die Potentialdifferenz (oder Spannung) zwischen dem Punkt und ∞, und ziehe sie dann voneinander ab. Die Spannung Uab zwischen den Punkten A und B ist also: ΦA-ΦB (Potential von A - Potential von B). Wenn wir als Beispiel wieder eine Punktladung nehmen (wie im Bild links), ergibt sich also: Die Spannung zwischen A und B = Q/4πε×(1/ra-1/rb).
Da wir uns hier in einem konservativen Kraftfeld befinden (was übrigens so viel heißt wie: ein Körper, der unsere Ladung auf einer Äquipotentiallinie umrundet, gewinnt weder Energie noch verliert er sie), ist es übrigens egal, welchen Weg wir von A nach B nehmen. Es muss immer die gleiche Arbeit verrichtet werden.
So, zuletzt wollen wir noch kurz auf die Einheiten des Potentials eingehen. Wie wir mehrfach gehört haben, gibt das Potential uns einen Spannungsunterschied zwischen 2 Punkten an. Es ist also selbst eine Spannung und hat damit die gleiche Einheit wie die Spannung, nämlich V (Volt)  oder J/C (Joule/Coulomb). So, und damit sind wir schon wieder am Ende.
Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Das Potential gibt uns die Spannung zwischen einem Punkt und einem bestimmten Bezugspunkt an und ist ein Maß für die Fähigkeit eines elektrischen Feldes, Arbeit zu verrichten. Das Potential am Punkt r ist das ∫ über die Feldstärke von r bis ∞. Bei dieser Rechnung ist der Bezugspunkt in unendlicher Entfernung und dort das Potential gleich 0. Natürlich kann man aber auch eine Potentialdifferenz zwischen 2 Punkten A und B berechnen oder anders gesagt, die Spannung zwischen diesen beiden Punkten. Diese Spannung ist einfach ΦA-ΦB (das Potential im Punkt A - das Potential im Punkt B). Auf welchem Weg die von uns betrachtete Ladung dann von A nach B gelangt, ist egal. In konservativen Kraftfeldern ist die verrichtete Arbeit wegunabhängig.
So, und das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, hoffentlich bis zum nächsten Mal.
Euer Kalle