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Transkript Bohr'sches Atommodell (Expertenwissen)

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle! Wir beschäftigen uns heute aus dem Gebiet Atom- und Kernphysik mit einer Vertiefung des Bohrschen Atommodells. Für dieses Video solltet ihr bereits den Film über die Balmer-Formel gesehen haben. Es kann auch nicht schaden, wenn ihr schon ein wenig über Atommodelle bescheid wisst. Wir lernen heute, wie sich die Vorstellung vom Atom - in einer kurzen Wiederholung - über verschiedene Modelle bis hin zum Bohrschen Atommodell entwickelt hat, was die Bohrschen Postulate sind und wie man mit dem Bohrschen Atommodell die Bahnradien und Energiewerte für das Wasserstoffatom berechnen kann. Die Idee, dass alle Materie aus kleinsten Bauteilen, den sogenannten Atomen, besteht, ist nicht gerade neu. Schon die Griechen und Inder kamen viele Jahre vor Christus darauf. Es dauert aber eine ganze Weile, bis die Wissenschaftler in ihrer Vorstellung vom Atom ein wenig konkreter wurden. J. J. Thomson entwickelte das Thomsonsche Atommodell. Er war der Meinung, dass ein Atom ungefähr aussieht wie ein großer Wassertropfen, der im Allgemeinen positiv geladen ist und darin schwimmen lauter kleine negativ geladene Elektronen. Ernest Ratherford fand in seinem berühmten Streuversuch heraus, dass der Atomkern, der die gesamte positive Ladung und fast die gesamte Masse des Atoms enthält, sehr sehr viel kleiner ist als die Atomhülle, die nur aus den leichten, negativ geladenen Elektronen besteht. Und damit sind wir auch schon bei Nils Bohr, der das Ratherfordscher Atommodell um die Bohrschen Postulate erweiterte und damit für die Quantenphysik brauchbar machte. Was diese Bohrschen Postulate nun genau waren, das sehen wir uns im nächsten Kapitel an. Das erste Bohrsche Postulat besagt: Der Bahndrehimpuls der Elektronen ist gequantelt. Die Formel für diesen Bahndrehimpuls ist: L=n (für die n-te Bahn) ×h (das planksche Wirkungsquantum) /2pi. Gequantelt bedeutet, dass der Bahndrehimpuls nur diese, von der Formel festgelegten Werte annehmen kann und keine anderen. Außerdem legt das erste Bohrsche Postulat fest: Das Elektron bewegt sich auf diesen Bahnen ohne Energie abzustrahlen. Das zweite Bohrsche Postulat besagt: Geht ein Elektron von einer höheren Bahn 1 auf eine niedrigere Bahn 2 über, so wird ein Photon, dessen Energie h×f, also Energie von Bahn 1 - Energie von Bahn 2 ist, abgestrahlt. Wie man nun den Radius einer solchen Elektronenbahn und das dazugehörige Energieniveau berechnen kann, das wollen wir uns im letzten Kapitel ansehen. Wir betrachten beim Bohrschen Atommodell ja immer ein Wasserstoffatom, das heißt, 1 Elektron, Masse me, kreist um ein Proton. Dabei wird es von der Coulombkraft angezogen. Mein Ansatz ist also: Die Coulombkraft fungiert als Zentripetalkraft. Mein Ansatz ist also: (me×v2)/r=(Q1×Q2)/(4pi×Epsilon0×r2). Und da die beiden Ladungen Q1 und Q2 jeweils die Elementarladungen sind, ist das e2/(4pi×Epsilon0×r2). Ich multipliziere beiden Seiten mit r2 und erhalte mev2×r=e2/(4pi×Epsilon0). Wir schieben kurz eine kleine Zwischenrechnung ein. Wir wissen aus dem ersten Postulat: Der Bahndrehimpuls L=n×(h/2pi), und der Bahndrehimpuls ist ja immer Radius×Masse×Geschwindigkeit. Wie ihr seht, habe ich, wenn ich auf der linken Seite ein v aus dem v2 ausklammere, den Bahndrehimpuls stehen. Ich kann für mevr also einfach (n×h)/2pi einsetzen. Dann kann ich die Gleichung nach v auflösen und ich erhalte die Geschwindigkeit v des Elektrons ist e2/(2nhEpsilon0). Das setze ich vorne in mein v2 ein und damit wird meine Gleichung zu (me×r×e4)/(4n2×h2×Epsilon02)=e2/(4pi×Epsilon0). Wir kürzen natürlich erstmal, bis wir nicht mehr können, und stellen dann nach r um. Das Ergebnis ist r=(n2×h2×Epsilon0)/(me×e2×pi). Das ist also die Formel für den Bahnradius der n-ten Bahn im Wasserstoffatom. Wir können gleich für n=1 den Radius der kleinsten Bahn ausrechnen, er beträgt - wir können ja alles in der Formelsammlung nachsehen - 5,29×10-11 m. Man nennt dies den Bohrschen Atomradius. So weit, so gut. Nun wollen wir natürlich noch die Energiewerte zu unseren Bahnen wissen. Dazu müssen wir überlegen, was die Gesamtenergie unseres Elektrons ist. Sie besteht aus 2 Teilen, nämlich seiner kinetischen Energie und seiner potentiellen Energie. Die kinetische Energie eines Teilchens ist ½mev2 und die potentielle Energie einer Ladung im Coulombfeld ist (-Q1×Q2)/(4pi×Epsilon0×r). Wir setzen bei der kinetischen Energie die Geschwindigkeit von oben und bei der potentiellen Energie den Radius von oben ein und erhalten =((Masse des Elektrons×e4)/(8n2×h2×Epsilon02))-(me×e4pi)/(4pi×Epsilon02×n2×h2) (die potentielle Energie). Wie ihr seht, sind die beiden Energien, bis auf die Zahl im Nenner, genau gleich. Die potentielle Energie ist doppelt so groß wie die kinetische Energie, aber dafür negativ. Mein Ergebnis ist also -((me×e4)/(8n2×h2×Epsilon02)). Euch ist bestimmt aufgefallen, dass hier eine negative Energie herauskommt. Das ist kein Fehler und liegt daran, dass hier eine Bindung zwischen Proton und Elektron beschrieben wird. Je kleiner die Bahn, desto stärker ist das Elektron an das Proton gebunden, das heißt, desto mehr Energie müsste ich aufbringen, um es zu befreien. Wenn es befreit ist, hat es die Energie 0. Deswegen hat es, solange es gebunden ist, eine Energie kleiner als 0. Wir haben also nun eine Formel für die Energie der n-ten Bahn unseres Elektrons und sie lautet, wenn ich 1/n2 nach vorne nehme, (1/n2)×(-(me×e4)/(8h2×Epsilon02)), oder einfacher gesagt (1/n2)×das Energieniveau der ersten Bahn. Wenn ich nun etwas Zeit, eine Liste von Konstanten und einen Taschenrechner habe, kann ich mich hinsetzen und die verschiedenen Energieniveaus ausrechnen. Ich kann dann ein sogenanntes Energieniveauschema des Wasserstoffs zeichnen, das heißt, ich kann sehen, wie weit die Bahnen energietechnisch auseinanderliegen. Die erste Elektronenbahn, also für n=1, liegt bei -13,6 eV, die Zweite bei -3,4. Die dritte liegt bei -1,5 eV und so rücken meine Bahnen energietechnisch immer näher zusammen, bis sie bei n=unendlich bei 0 ankommen und dort ist das Elektron frei vom Proton. Mehr dazu hören wir aber im Video über Termschema. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Im Bohrschen Atommodell ist der Bahndrehimpuls gequantelt, das heißt, das Elektron bewegt sich nur auf Bahnen, in denen der Bahndrehimpuls der Gleichung L=n×(h/2pi) gehorcht. Springt ein Elektron von Bahn 1 auf Bahn 2 und Bahn 1 hat eine höhere Energie als Bahn 2, dann wird ein Photon, dessen Energie gleich der Energiedifferenz der beiden Bahnen ist, ausgesendet. Mithilfe des Bohrschen Atommodells kann ich Bahnradien und Energieniveaus berechnen. Für den Bahnradius ergibt sich rn=n2×(h2×Epsilon0)/(pi×me×e2). Für das Energieniveau der n-ten Bahn ergibt sich (1/n2)×(-(me×e4)/(8h2×Epsilon02)). So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank für das Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle.

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7 Kommentare
  1. Default

    Kompliziert, werde es nochmal später gucken, wenn ich mehr Physik gelernt habe, nichtsdestotrotz sehr interessant!

    Von Dw 69, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Großartiges Video! :)

    Von Felix Thon, vor fast 3 Jahren
  3. Nikolai

    @ChemieMaster: Du hast den Faktor 1/2 vergessen. Für die Geschwindigkeit gilt v=e^2/2*n*h*epsilon. Also ist E_kin=1/2*m*v^2=m*e^4/8*n^2*h^2*epsilon^2. Viele Grüße, Nikolai

    Von Nikolai P., vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    Vielen Dank für die schöne Erklärung! Ich habe nur eine kurze Frage: Du setzt in der Gleichung für die kinetische Engerie, genau genommen für den Faktor v2, die Formel e4 / 8n2*h2*Eo2 ein, wie kommst du auf die Zahl 8 ? Vielen Dank für deine Antwort!

    Von Chemie Master, vor mehr als 3 Jahren
  5. Nikolai

    @Aaronorkan: Eine Abituraufgabe könnte z.B. lauten berechne den Atomradius des Wasserstoffatoms im Grundzustand oder ein Photon wurde von einem Wasserstoffatom im Grundzustand absorbiert. Nach der Absorbtion befindet sich das H-Atom im ersten angeregten Zustand. Welche Wellenlänge hatte das Photon?
    Wie dir vielleicht auffällt lassen sich beide Aufgaben mit den Formeln für den Bahnradius und die Energieniveaus lösen (bei der zweiten müsstest du noch aus der Energie die Wellenlänge des Photons berechen). Man kann mit dem Bohr'schen Atommodell nämlich keine anderen physikalisch sinvollen Größen berechnen außer dem Bahnradius und den Energieniveaus. Also wenn du verstanden hast wie man diese berechnet sollte es keine Aufgabe geben die dir Probleme bereitet. Es ist auch noch eine Übungsvideo zu Atommodellen in Planung. Ich kann dir allerdings noch nicht sagen wann diese online sein wird.
    Lg

    Von Nikolai P., vor mehr als 3 Jahren
  1. Default

    sehr schön erklärt, gibt es aber vielleicht hier noch Probe aufgaben auf Abitur Niveau? Mir fehlt ein wenig der Bezug auf die Umsetzung bei einer Aufgabe.

    Gruß

    Von Aaronorkan, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    wo finde ich das video zu dem termschema?

    Von Aminadaca, vor fast 4 Jahren
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