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Transkript Von den reellen zu den komplexen Zahlen

Hallo, liebe Schüler und Studenten. Hier ist Dr. Vodopivec. Wir wollen heute den Weg von den reellen zu den komplexen Zahlen darstellen, also eine Einführung in die komplexen Zahlen. Anschließend geben wir auch eine graphische Darstellung und einige grundlegenden Eigenschaften der komplexen Zahlen an. Die Menge der reellen Zahlen bezeichnen wir mit R und stellen wir graphisch an einer Zahlengerade dar, also eine eindimensionale Darstellung. Andererseits stellen wir die Menge R×R in einem zweidimensionalen Koordinatensystem dar. Jede Koordinate ist eine Zahlengerade, die die Menge der reellen Zahlen darstellt. Die Elemente von R×R sind die Punkte der Zahlenebene bzw. geordnete Paare a, b, wobei a und b reelle Zahlen sind. Die Zahl a liegt an der waagerechten und die Zahl b an der senkrechten Achse. Also notieren wir: R×R ist die Menge der geordneten Paare a, b mit der Eigenschaft a und b sind Elemente von R.  Nun definieren wir Addition in R×R: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), Multiplikation: (a,b)×(c,d)=(ac-bd,ad+bc), wobei a, b, c und d reelle Zahlen sind. Es lässt sich zeigen, dass R×R mit der angegebenen Addition und Multiplikation ein Körper ist, den wir als Körper der komplexen Zahlen benennen und mit C bezeichnen. Um das umständliche Rechnen mit komplexen Zahlen als geordnete Paare zu vermeiden, führen wir jetzt eine besser geeignete Darstellung ein, nämlich die sogenannte arithmetische Darstellung der komplexen Zahlen. Dazu bezeichnen wir i=(0,1) und a=(a,0) für ein beliebiges a aus R. Dann gilt: a+bi=(a,0)+(b,0)×(0,1)=(a,0)+(0,b)=(a,b) für a,b Elemente von R. Also können wir jede komplexe Zahl bzw. das geordnete Paar a, b in der arithmetischen Form a+bi mit (a,b Elemente von R) darstellen. Das heißt, alle komplexen Zahlen lassen sich als Summe einer reellen Zahl und einem Vielfachen von i darstellen. Da i2=(0,1)×(0,1)=(-1,0)=-1 gilt, wird i oft als \sqrt(-1) bezeichnet.  Nun kommen wir zur geometrischen Darstellung der komplexen Zahlen. Es sei z=a+bi eine beliebige komplexe Zahl. Das heißt, z ist ein Punkt der Zahlenebene. Mit Betrag z bezeichnen wir den Abstand des Punktes z vom Ursprung. Nach dem Satz von Pythagoras gilt |z|^2=a2+b2. Andererseits bezeichnen wir den Winkel zwischen |z| und der reellen Achse mit φ. Dann gilt: z=|z|(cosφ+isinφ), die sogenannte trigometrische Darstellung. Und z=|z|×eiφ, die sogenannte exponentielle oder Eulersche Darstellung, wobei e die Eulersche Zahl ist.  Heute haben wir die Menge der reellen Zahlen mit der Menge der komplexen erweitert und eine geometrische Darstellung angegeben. Wir haben gelernt, dass C, die Menge der komplexen Zahlen, die Menge der Elemente a+bi mit der Eigenschaft a und b aus R ist.  Vielen Dank für die Aufmerksamkeit. Viel Spaß beim Lernen und bis zum nächsten Mal. Euer Dr. Vodopivec.

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5 Kommentare
  1. Default

    In Minute 2:45 steht a+bi=(a,0)+(b,0)(0,1)!
    Dabei gilt b=(b,0), da b eine reelle Zahl ist.
    Zudem ist (b,0)(0,1)=(0,b) nach der Multiplikationsregel.

    Minute 3:30.
    Nach der Multiplikationsregel ist (0,1)(0,1)=(-1,0).
    Zudem ist (-1,0)=-1=i^2 oder (0,1)(0,1)=i*i=i^2=-1=(-1,0)

    Von Dr. Vodopivec, vor etwa 3 Jahren
  2. Default

    Müsste es in Minute 2:45 nicht heißen: a+bi=(a,0)+(0,b)(0,1)=(a,0)+(0,b)=(a,b)?

    Von Christianbiegler, vor etwa 3 Jahren
  3. Default

    Wiso ist (0,1)*(0,1)=(-1,0)=i^2? (min 3:30)

    Von Christianbiegler, vor etwa 3 Jahren
  4. Default

    Eine komplexe Zahl ai+b kann man auch als ein geordnetes Paar (a,b) darstellen. Man multipliziert wie mit reellen Variablen, nämlich so:
    (a,b)∙(c,d) =(a+bi)∙(c+di) =ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd
    =ac-bd+(ad+bc)i =(ac-bd,ad+bc)

    Von Dr. Vodopivec, vor fast 4 Jahren
  5. Default

    Hallo, ich frage mich was das für eine Art von Multiplikation ist. Können sie mir erklären, wie sie darauf kommen?
    Sonntagsgrüße
    Miriam

    Von Miriamjetzt, vor fast 4 Jahren