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Transkript Veranschaulichung von Rotation und Divergenz – Aufgabe

In diesem Beitrag will ich die Ideen veranschaulichen, die ich im Veranschaulichungsbeitrag präsentiert habe. Auf dieser Seite steht ein Beitrag, wo ich die Begriffe Rotation und Divergenz veranschaulicht habe. Ich habe schön Bilder gezeichnet und nun in diesem Beispiel haben wir 3 konkrete Vektorfelder, wir wollen für diese Vektorfelder Divergenz und Rotation ausrechnen und sehen, dass die Veranschaulichung, die ich hier gegeben habe, tatsächlich stimmt. So, dann fangen wir gleich an, es gibt 3 Vektorfelder. Und der Reihenfolge nach, wir veranschaulichen als Erstes jedes Vektorfeld, dann berechnen wir die Divergenz und dann berechnen wir die Rotation. Und machen uns klar, dass das mit der Veranschaulichung im Einklang steht, die ich gegeben habe. Vektorfeld F, Veranschaulichung ist sehr, sehr einfach. Vektorfeld F ordnet jedem Punkt mit Koordinaten x, y, z immer denselben Vektor 1,1,0. So, und der Vektor 1,1,0 sieht so aus, ja, das ist die x-y Ebene. Also alle 3 Vektorfelder übrigens haben die z-Koordinate 0, damit wir halt sie schnell veranschaulichen können und der Vektor 1/1 ist der hier, das ist der Vektor 1/1, vom Ursprung aus gezeichnet und wir haben da die Information, dass das Vektorfeld F diesen Vektor 1/1/0 jedem Punkt zuordnet, das heißt aus jedem Punkt des Raumes ragt der selbe Pfeil, der selben Länge und dieselbe Richtung zeigt er und er hat dieselben Koordinaten, 1/1/0. So sieht das Vektorfeld F aus. So, ich denke das sind genug Pfeile, nun kommt die Überschrift Vektorfeld F und denkt bitte daran, was ich euch im Veranschaulichungsbeitrag präsentiert habe. Denkt euch, dass Vektorfeld F ein Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit ist. Also diese Flüssigkeit fließt sehr uninteressant im Fall des Vektorfeldes F, sie fließt gleichmäßig in eine Richtung. Von der Veranschaulichung erwarten wir, dass das Feld keine Wirbel hat, also es fließt grade, an jedem Punkt fließt es gerade vorbei, das heißt, dass das Feld F keine Wirbel hat, wir erwarten, dass die Rotation von diesem Feld gleich 0 ist. Außerdem ist die Länge von jedem Pfeil  immer die Gleiche. Das heißt, das Feld beschleunigt sich nie, das Feld fließt gradlinig und gleichmäßig und das bedeutet, dass in keinem Punkt des Raumes die Flüssigkeit entsteht. Also kein Punkt des Raumes produziert Flüssigkeit, kein Punkt des Raumes konsumiert die Flüssigkeit. Und daher erwarten wir, dass auch die Divergenz des Feldes 0 ist.
Nun rechnen wir das nach und das ist auch unmittelbar klar. Wenn man also die Divergenz berechnet, was soll man dann machen? Man leitet nach x die erste Komponente des Feldes ab, und die erste Komponente des Feldes ist Konstante 1. Dann addiert man dazu die y-Ableitung der 2. Komponente des Feldes und die y-Ableitung, da hat man wieder eine Konstante + die z-Ableitung der 3. Komponente des Feldes ja und alles ist 0. Also die Divergenz ist 0, das heißt, das Feld ist quellen- und senkenfrei, und das ist auch anschaulich so. Ja, dann Rotation. Wir sehen auf dem Bild, das Feld ist wirbelfrei, das ist wirklich ein uninteressantes Beispiel, das ist einfach nur ein Einstieg. Rotation ist, na gut da möchte ich das nicht lang machen, ich erinnere euch, Rotation ist Kreuzprodukt von Nabla Vektor und dem Feld selbst. Das ist der Nabla Vektor x das Feld. Und das Feld hat Komponentenfunktionen 1,1,0 . Ja und es macht keinen Sinn jetzt das Produkt auszurechnen, im Kreuzprodukt werden immer die Komponenten des Feldes abgeleitet. Wie auch immer, nach irgendwelchen Variablen. Und die Tatsache ist, dass die Komponenten des Feldes konstant sind, das heißt, beliebige Ableitungen von beliebigen Komponenten des Feldes ist 0, und daraus ohne viel zu rechnen, sehen wir sofort, dass dieses Kreuzprodukt 0 ist. Ja und dieses formale Ergebnis bestätigt unsere Anschauung, das Feld ist wirbelfrei, wirbelt um keinen einzigen Punkt, und deswegen ist die Rotation erwartungsgemäß 0. Ja, das war ein uninteressantes Einstiegsbeispiel, hat unsere Interpretation anschaulich bestätigt. Nun machen wir aber etwas Interessanteres. Das Feld G, ist schon ein bisschen komplizierter, wir veranschaulichen das Feld erstens, dann berechnen wir die Divergenz und dann berechnen wir die Rotation und stellen fest, unsere Ergebnisse stehen im Einklang, mit dem, was wir aus dem Veranschaulichungsbeitrag wissen. Und dann dasselbe mit dem Feld H. Ja, Feld G. Die Komponenten des Feldes G sind nicht mehr konstant, sondern ändern sich von Punkt zu Punkt. Und wie das Feld G aussieht, das kann man sehen. Hier ist die xy-Ebene, den ersten Punkt mit den Koordinaten x und y. So, und der Vektor, den ich zeichne, hat im dreidimensionalen die Koordinaten x,y,0. So, und den Vektor, den ich gezeichnet habe, das ist eben der Vektor G an der Stelle x,y,z. Sehr gut, ja dann, wenn man Vektorfelder veranschaulicht, dann versetzt man immer den jeweiligen Vektor in den Punkt, für den er berechnet wurde. Nun mache ich das, und hier ist der Vektor mit den Koordinaten x,y wieder, also ich zeichne dasselbe Bild, bloß nun versetze ich den Vektor in den Punkt, für den der Vektor berechnet wurde. Und wir machen eine Beobachtung, der Vektor wird auf dem Strahl liegen, der vom Ursprung ausgeht und durch den Punkt x,y läuft. Ja und das ist das Vektorfeld G, dann nehmen wir noch einen Punkt und am besten einen Punkt, der den gleichen Abstand zum Ursprung hat die der vorherige Punkt, das heißt, er liegt auf der Kreislinie. So, und da zeichnen wir einen Strahl vom Ursprung aus und sehen, mit derselben Methode, mit derselben Argumentation, sehen wir, dass das Vektorfeld G in dem Punkt, in dem neuen Punkt liegt, wieder auf dem Strahl aus dem Ursprung. Der neue Vektor hat dieselbe Länge wie der alte Vektor, weil die beiden Punkte auf derselben Kreislinie liegen. Ich hoffe, das ist offensichtlich aus dem Bild, dass die Länge des Vektors G an einem bestimmten Punkt, an einer bestimmten Stelle, gleich dem Abstand dieser Stelle zum Ursprung ist. Das heißt, wenn ich hier einen kleineren Kreis nehme, und ich will die Punkte dieses Kreises des Vektor G berechne, dann werden hier die Pfeile kurz sein, die Pfeile werden genauso lang sein wie der Radius des jeweiligen Kreises. So, hier ist das Vektorfeld G. Also, wir sehen, dass das Vektorfeld G immer radial nach außen zeigt, liegt in der xy-Ebene, das heißt, es ist immer parallel zu der xy-Ebene, weil die Koordinate z=0 ist. Dann habe ich nichts hinzuzufügen, am besten zeichne ich ein schöneres Bild mit dem Vektorfeld G und wir beschäftigen uns mit der Divergenz und der Rotation des Feldes G. Also wir sehen, da muss man schon viel mehr tun, um mit dem Feld G klarzukommen. Also, schönes Bild erst mal. Dann mache ich hier 2 Kreise, am besten einen kleinen Kreis und einen großen Kreis. Und wir haben ja gesehen, dass das Vektorfeld G radial nach außen zeigt und immer länger wird mit der Vergrößerung des Abstandes vom Ursprung. In der Nähe vom Ursprung sind die Vektoren kurz, relativ kurz und dann, wenn wir uns vom Ursprung entfernen, dann werden die Vektoren länger, aber sie zeigen immer radial nach außen. Und ich werde da nicht überall hier die Vektoren G zeichnen, ich weiß nicht, noch vielleicht 4 Stück, 4 Pfeile male ich, und dann ist basta. So dann ist das Feld veranschaulicht, so hier ist x, hier ist y, hier ist 0, ja dann noch ein paar Pfeile, also immer radial nach außen, die Pfeile sollen aber gleichlang sein, wenn sie auf der gleichen Kreislinie stehen. Ja, das ist das Feld G. Nun, wenn wir dieses Bild haben, dann ergeben sich daraus bestimmte Erwartungen an Divergenz und Rotation. Also wie sehen in der Nähe vom Ursprung fließt die Flüssigkeit relativ langsam, je näher zum Ursprung desto kürzer sind die Pfeile und die Länge des Pfeils entspricht der Geschwindigkeit der Flüssigkeit. Also im Ursprung, in der Nähe vom Ursprung, fließt die Flüssigkeit sehr langsam. Dann, wenn wir uns vom Ursprung entfernen, fließt die Flüssigkeit immer schneller. Also von alleine wird die Flüssigkeit sich nicht beschleunigen, das heißt, es muss dann in jedem Punkt des großen Kreises Nachschub geben. Es muss Flüssigkeit erzeugt werden, die dann die Flüssigkeit mit einer größeren Geschwindigkeit nach außen schiebt. Und ihr sollt euch vorstellen, dass auf jeder Kreislinie die neue Flüssigkeit erzeugt wird, die dann die Flusslinien beschleunigt. So, wir haben diese Interpretation, je weiter wir uns um Ursprung entfernen, desto schneller fließt die Flüssigkeit und das liegt daran, dass die Flüssigkeit immer intensiver erzeugt wird, je weiter wir uns vom Ursprung entfernen, desto intensiver wird die Flüssigkeit erzeugt. Und deswegen werden die Pfeile auch länger. Ja, aus dieser anschaulichen Betrachtung, schließen wir die Erwartung, dass die Divergenz des Feldes G von 0 verschieden sein wird, sie wird sind auch positiv sein, weil die Flüssigkeit erzeugt wird. Ja, das ist die Erwartung an die Divergenz. Erwartung an die Rotation ist, die Folgende: Wenn wir irgendwo einen Punkt nehmen, dann fließt die Flüssigkeit vorbei an dem Punkt. Sie wirbelt nicht um den Punkt, an keinem Punkt gibt es Wirbel, auch im Ursprung nicht. Da gibt es auch keinen Wirbel. So, und dann erwarten wir, dass die Rotation des Feldes gleich 0 ist. Ja und nun rechnen wir formal nach und überzeugen uns davon, dass unsere Erwartungen von der Anschauung her auch formal bestätigt werden. Also Divergenz des Feldes G ist gleich die x-Ableitung der ersten Komponente des Feldes, die erste Komponente ist x, + die y-Ableitung der 2. Komponente des Feldes, das ist y, + die z-Ableitung der 3. Komponente des Feldes, das ist 0. Ja und x nach x abgeleitet gibt 1, y nach y abgeleitet gibt wieder 1, 1+1=2. Also Divergenz des Feldes G ist in jedem Punkt 2, das heißt in jedem Punkt wird Flüssigkeit mit der Intensität 2 erzeugt. Gut, nun Rotation. Rotation des Feldes G ist wie gehabt, Kreuzprodukt des Nabla Vektors mit dem Feld selbst, x, y, 0. Ja dann berechnen wir Kreuzprodukt nach den bekannten Regeln, die Determinanten Regel. Das ist D nach Dy(0)-D nach Dz(y). Ja, das dauert ein bisschen, Rotationsberechnung ist anstrengend. Dann D nach Dz(x) - D nach Dx(0) und dann schließlich D nach Dx(y) - D nach Dy(x). Ja ich habe die berühmte Determinanten Regel benutzt, um das Kreuzprodukt auszurechnen und alles stimmt. (D nach Dy×0)-(D nach Dz×y), dann D nach Dz(x)-D nach Dx(0) und schließlich D nach Dx(y) - D nach Dy(x). So, und wir sehen hier Ableitung, die hier gleich steht, ist 0. Und deswegen, der Rotationsvektor ist identisch 0. Und das war auch unsere Erwartung. Das Feld wirbelt um keinen einzigen Punkt, Rotation des Feldes ist 0. Ja, das war das Feld G, nun ziehen wir dasselbe für das Feld H durch. Veranschaulichung – Divergenz – Rotation. Ja und das Feld H ist die Krone von diesem Beispiel, das wird am längsten dauern. Als Veranschaulichung, Divergenz und Rotation. Wir sehen die Formel ist schon komplizierter, da muss man schon viel machen, um mit dem Feld klarzukommen. Und die Zeit haben wir auch dazu. Erstens, Veranschaulichung ist nicht so billig wie mit dem Feld F oder G, weil wir haben hier einen Vorfaktor und –y und x, also die Variablen sind irgendwie vertauscht, da tritt ein Vorzeichen auf, da müssen wir uns Gedanken machen, was das alles bedeutet. Und ich schlage euch vor, also ich weiß natürlich wie das alles aussieht um euch dahin zuleiten, dann schlage ich euch vor, das Skalarprodukt von G und H zu berechnen. Ja, das wird nützlich sein, das wird informativ sein. Zur Veranschaulichung des Feldes H berechnen wir erst mal das Skalarprodukt und G und H. Und erst nachdem wir mit der Rechnung fertig sind, dann werdet ihr sehen, warum das genutzt hat. So und Skalarprodukt Vektorfeld G hat die Komponenten x, y, 0 und Vektorfeld H hat die Komponenten –y÷\sqrt(x2+y2) dann x÷\sqrt(x2+y2) und 0. So jetzt hat das Vektorfeld ja eine andere Form als die, die ich ja hier gezeichnet habe. Den Vorfaktor kann man natürlich in den Vektor hinein multiplizieren, komponentenweise, ich hoffe, ihr wundert euch nicht darüber. Vielleicht habe ich hier die Zahlen unter der Wurzel zu klein geschrieben,  ja das sind immer x2+y2, ich hoffe, man sieht es. Also wenn man das nicht sieht, dann hab ich es gesagt ja. So, ja dann rechnen wir das Skalarprodukt aus, das ist –xy÷\sqrt, jetzt schreibe ich die Wurzel anständig, sodass man das sieht und +xy÷\sqrt. Na also, das Skalarprodukt ist 0. Das heißt die Vektoren G und H stehen senkrecht aufeinander und das ist eine wertvolle Information. Die Vektoren G haben wir, das heißt, wenn Vektoren H senkrecht draufstehen, dann gibt es nur 2 Möglichkeiten für den Vektor H, entweder zeigt er in eine Richtung senkrecht zu G oder in eine andere Richtung senkrecht zu G. Das ist sehr gut und darin bestand auch der Sinn dieser Rechnung. Dann berechnen wir die Länge des Vektorfeldes H, ich hoffe manche von euch sehen dann die Länge sofort. Die Länge des Vektors H ist = \sqrt(-y÷\sqrt(x2+y2)2+ die 2te Komponente x÷sqrt(x2+y2)2+ die 3. Komponente 02). Und das ist offensichtlich ja, wenn man das alles zusammenrechnet, dann bekommt man (x2+y2)÷(x2+y2), man bekommt 1. Ich hoffe die Rechnung war nicht zu schnell, also vielleicht in dieser Phase soll man das auch schon sehen. Ja, also das Vektorfeld H hat immer die Länge 1 und steht senkrecht auf dem Feld G, perfekt. Und das reicht schon für die Veranschaulichung. Na also, hier sind die Achsen, vorübergehende Zeichnung, hier sind die Achsen. So, hier ist der Kreis, ja ist sehr hilfreich, unsere Vektoren orientieren sich am Kreis und hier ist das Vektorfeld G und wir haben ja gesehen, dass das Vektorfeld H senkrecht auf dem Vektorfeld G steht, weil das Skalarprodukt von beiden 0 ist. Also das heißt, dass der Vektor H auf der punktierten Linie stehen  wird, tangential zum Kreis. Und der Vektor H wird die Länge 1 haben. Jetzt sollen wir noch sehen, in welche Richtung zeigt der Vektor H, und das kann man so sehen: In dem Punkt, den ich hier an die Tafel gezeichnet habe, der Punkt hat die positive Y-Koordinate. Der Punkt hat positive Y-Koordinate, das heißt, Vektorfeld H hat die 1. Komponente –y durch die Wurzel, das heißt, die 1. Komponente des Feldes H wird negativ sein. Wenn die erste Komponente des Feldes H negativ ist, dann zeigt er, im Bezug auf die X-Achse, nach hinten. Wenn negativ dann nach hinten zeigt, dann wird er positiv nach vorne zeigen. Die erste Komponente des Feldes heißt negativ, das heißt er zeigt in Bezug auf die X-Achse nach hinten. Hier ist die x-Achse, hier ist die Y-Achse und das Feld H zeigt nach hinten. Also wir haben dann diese Richtung hier, vielleicht nehme ich eine andere Farbe, und die Länge des Vektors H ist gleich 1. Ja und der Kreis, den ich hier gezeichnet habe, muss nicht unbedingt die Länge 1 haben. Ja und dasselbe passiert in jedem Punkt, also das Feld H ist immer tangential zu den Kreisen und im Ursprung tangential zu konzentrischen Kreisen zum Ursprung und zeigt gegen den Uhrzeiger und hat die Länge 1. So, das ist die Veranschaulichung, das ist das Probebild, nun zeichne ich ein schönes Bild, vollständiges Bild. Hier habe ich konzentrische Kreise um den Ursprung, die Achsen heißen natürlich x und y. 2 konzentrische Kreise, das reicht und nun das Feld H, dass wir so mühsam uns veranschaulicht haben, ist immer tangential zu den konzentrischen Kreisen, das Vektorfeld H hat konstante Länge 1, ja noch ein paar Pfeile und das reicht. So, das ist das Vektorfeld H. Ja, mir gefällt es die Pfeile zu malen. Irgendwann höre ich auf, jetzt höre ich auf, so. Ja, es ist ja nicht umsonst, dass ich so viele Pfeile gemalt habe, also wir sehen, das Vektorfeld rotiert wunderbar um den Ursprung. Unsere Erwartung an die Rotation ist, dass sie von 0 verschieden ist und wir denken daran, dass die Rotation der rechten Hand gehorcht, also meine Finger deuten die Feldlinien ein, das heißt, wenn das so ist, dann wird der Daumen, der ausgestreckte Daumen, die Richtung des Rotationsvektors anzeigen. Wir erwarten, dass der Rotationsvektor senkrecht auf der xy-Ebene steht und Richtung euch zeigt, Richtung Kamera zeigt, Richtung außen, ja, von der Tafel weg. Gut, das ist unsere Erwartung an die Rotation, das ist klar. Also das Feld wirbelt ganz offensichtlich um den Ursprung. Dann Divergenz. So, wir sehen, dass die Pfeile immer dieselbe Länge 1 haben, das haben wir ausgerechnet. Das heißt, die Flüssigkeit dreht sich im Kreis, immer mit derselben Geschwindigkeit, sie beschleunigt sich nicht. Das heißt, es ist plausibel, dass sie nirgendswo erzeugt wird, weil sie drehen sich im Kreis, immer mit der gleichen Geschwindigkeit, in jedem Abstand vom Ursprung immer mit der gleichen Geschwindigkeit, sie wird nirgendswo erzeugt, sie verschwindet nicht, sie dreht einfach nur sich im Kreis. Und daraus erwarten wir, dass die Divergenz 0 ist. Ja, das sind unsere Erwartungen, Divergenz ist 0, Rotation ist senkrecht auf der xy-Ebene und zeigt von der Tafel weg. Das sind unsere Erwartungen, von der Anschauung her, nun wollen wir diese Erwartungen durch explizite Berechnungen bestätigen. Gut, so und weil die Formel hier nicht so förmlich aussieht, wird es bisschen mehr Rechnerei geben, ich möchte das nicht in die Länge ziehen, also Divergenz. Divergenz des Feldes H nach der Definition in kartesischen Koordinaten hat man eine Formel, die man sich leicht merken kann, das ist die X-Ableitung der ersten Komponente, und die erste Komponente lautet –y÷\sqrt(x2+y2)+ die Y-Ableitung der 2. Komponente x÷\sqrt(x2+y2)+ die Z-Ableitung der 3 Komponente und 3. Komponente ist 0. So jetzt, die Formeln sehen ein bisschen ekelhaft aus, wir sollen dann die Kernregel anwenden, also wenn wir nach X ableiten, dann –y ist eine Konstante ziehen wir nach außen, dann \sqrt(x2+y2), weil wir 1 durch die Wurzel haben, dann können wir die Potenz als ^-1/2 darstellen, deswegen wenn ich das ableite, dann haben wir -1/2 vorne und dann  (x2+y2)-3/2, ja das war die äußere Ableitung. Die innere Ableitung, wir sollen x2+y2 nach x ableiten, das ist 2x. Da das war der erste Term, nun berechnen wir den 2ten Term völlig analog. X nach vorne ziehen, dann die äußere Ableitung ist (-1/2×(x2+y2)-3/2), das ist die äußere Ableitung nach der Kettenregel und die innere Ableitung x2+y2 müssen wir nach y ableiten. Die innere Ableitung ist 2y. So, ich rechne das alles bisschen zusammen, vorne haben wir den Term -×- ergibt +, 2 kürzt sich, ich habe hier xy÷ (x2+y2)3/2, dann im zweiten Term habe ich das Vorzeichen -, 2 oben, 2 unten kürzen sich, also ich habe –xy÷(x2+y2)3/2. Und das heißt im Ergebnis kommt 0 raus. Also Divergenz von diesem Feld ist gleich 0. Und unsere Erwartung hat sich bestätigt, das Feld rotiert sich, rotiert gleichmäßig auf  den Kreisen und es wird nirgendswo Flüssigkeit erzeugt, es verschwindet auch nirgendswo Flüssigkeit, also deswegen ist die Divergenz 0 und nach dieser längeren Rechnung sehen wir ja, unsere Erwartung wurde bestätigt. Nun die Rotation. Ja, jetzt berechnen wir den Rotationsvektor, erstens bestätigen wir unsere Erwartung, dass der Rotationsvektor so zeigt wie mein Daumen jetzt und zweitens gibt es noch eine sehr hübsche Interpretation, was die Stärke der Rotation betrifft. Also gut, Rotation von H ist gleich Kreuzprodukt von Nabla Vektor und das Feld. Ja und die Formel, durch die das Feld gegeben ist, ist ein bisschen hässlich, und diese hässliche Formel müssen wir noch ableiten, ja also da müssen wir durch. So, hier ist der Ansatz für die Rotation und nun berechnen wir das Kreuzprodukt, das ist gleich die gute, alte Determinanten Regel, D nach D(y) von 0-D nach D(z) von x÷\sqrt(x2+y2). Dann D nach d(z) von –y÷-\sqrt(x2+y2)-D nach D(x) von 0. Ich hoffe die Determinanten Regel für die Berechnung des Kreuzproduktes ist geläufig, wenn nicht, dann wiederholt es. Also ich benutze das einfach nur, ohne zu kommentieren, und dann D nach D(x) von x÷\sqrt(x2+y2)- D nach D(y)-y÷(\sqrt(x2+y2). Ja das ist die Rotation, und ja, also man sieht wunderbar, dass in den ersten 2 Komponenten die Ableitungen 0 sind. Man leitet nach z einen Ausdruck, der von z unabhängig ist, dann erhält man 0 nach irgendwas ab, alles ist 0, die erste Komponente. Dasselbe gilt für die 2. Komponente. Die 3. Komponente, da sind Ableitungen, die man nach Kettenregel ausrechnen muss, und die Rechnung wird dann 2 Minuten oder 3 Minuten dauern, ich empfehle euch, macht die Rechnung selbst und überzeugt euch davon, die will ich jetzt nicht vor der Tafel machen, sonst zieh ich den Beitrag unnötig in die Länge, also bitte macht diese Rechnung selbstständig und überzeugt euch davon, dass die 3. Komponente =1÷\sqrt(x2+y2) ist. So, das ist die Rotation, und ich möchte diesen Faktor 1 durch die Wurzel vor den Vektor ziehen und dadurch bekommt die Rotation eine bequemere Form, also das ist der Einheitsvektor 0 0 1 mit einem Vorfaktor. Also wir sehen tatsächlich, also der Rotationsvektor hat in den ersten 2 Koordinaten 0, das heißt er steht senkrecht auf der XY-Ebene und die Z-Koordinate vom Rotationsvektor ist positiv, das heißt, er zeigt Richtung von der Tafel weg. Und das hat unsere Erwartung bezüglich der Richtung des Rotationsvektors bestätigt, also erst mal ist von 0 verschieden, weil das Vektorfeld wunderbar rotiert. Nun gibt es interessante Definitionen der Länge der Rotation und es ich habe das noch nicht explizit erwähnt aber ich glaube, das ist plausibel. Je länger der Rotationsvektor ist, desto stärker erfolgt die Rotation. Je kürzer der Rotationsvektor wird, desto schwächer rotiert das Feld. Und wir wollen uns klar machen, was das für dieses Beispiel bedeutet und am besten zeichne ich ein dreidimensionales Bild. Zuvor vielleicht mache ich euch darauf aufmerksam, dass der Vorfaktor leicht interpretierbar ist. \sqrt(x2+y2), das ist Abstand zum Ursprung. Ja und 1 durch diesen Abstand, ja ist ein Vorfaktor, er wird sehr groß, wenn der Abstand klein ist und der Vorfaktor wird klein, wenn der Abstand groß ist. Also wir haben eine Abhängigkeit. Und auf dem Bild sieht es so aus. Also hier ist unsere Ebene, wo das Feld rotiert, ja, hier sind die Kreise, um den Ursprung herum und hier ist das Feld. So hier ist das Feld H, immer dieselbe Geschwindigkeit und was haben wir berechnet? Also, wenn die Rotation von H 1 durch Abstand vom Ursprung × der Einheitsvektor, das heißt, in der Nähe vom Ursprung hat man eine längere Rotation, so weit weg vom Ursprung hat man einen kürzeren Rotationsvektor. Ja und das ist wieder plausibel, in der Nähe vom Ursprung wirbelt es stark, ja, wenn wir uns vom Ursprung entfernen, dann gehen die Kreise fast also weniger gekrümmt an dem Punkt vorbei und deswegen in der Nähe von diesen entfernten Punkten wird weniger rotiert. Deswegen ist auch der Rotationsvektor kürzer. Ja, nun haben wir auch diese Anschauung und ja, da habe ich ja alles gesagt, was ich sagen wollte.

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1 Kommentar
  1. Default

    Das H(x,y,z) sieht ja fast so aus wie das Magnetfeld, bloß mit Wurzel. Das Magnetfeld ist aber wirbelfrei (rot H = 0) Wie kann ich mir das anschaulich erklären, die Vektorpfeile liegen ja auch auf einem Kreis um den Ursprung, nur dass ihre Länge nicht überall 1 ist.

    Von Mc Poker1990, vor mehr als 6 Jahren