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Transkript Transformationsformel – Aufgabe 5

In dieser Aufgabe wollen wir das Volumen des Ellipsoids berechnen. Das Ellipsoid ist der Körper, den ich hier gezeichnet habe, so ein "Ei", und indem wir eine geeignete Koordinatentransformation benutzen. Der Clou dieser Aufgabe ist, dass man hier mit einer Standard Koordinatentransformation nicht auskommt. Also Standard Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten werden uns nicht helfen. Ja, wir müssen uns etwas Besonderes hier einfallen lassen, und dieses besondere wird eigentlich eine leichte Verallgemeinerung von Kugelkoordinaten sein. Jetzt aber alles der Reihenfolge nach. So sieht das Ellipsoid aus, ein "Ei" so grob gesagt, und dieses Ei wird in den kartesischen Koordinaten durch folgende Ungleichung beschrieben. Vielleicht deute ich an, wie diese Ungleichung zustande kommt. Man kann ein Ellipsoid ansehen als Deformation einer Kugel. Einer Vollkugel. Und in den nächsten Minuten werde ich sagen wie aus der Gleichung der Kugel - oder Ungleichung der Vollkugel - die Ungleichung des Elipsoids entsteht. Also: Vollkugel mit dem Radius 1 wird bekanntlich durch folgende Ungleichung beschrieben: x2+y2+z2≤1, das ist eine Vollkugel mit dem Radius 1. Wenn wir eine Vollkugel mit einem anderen Radius als 1 wünschen, meinetwegen Radius R, dann schreiben wir auf der rechten Seite der Gleichung R2. Das ist eine Vollkugel mit dem Radius R2. Nun, diese Ungleichung kann man modifizieren, leicht modifizieren, ich teile jetzt diese Ungleichung durch R2 und bekomme Folgendes: (x2/R2)+(y2/R2)+(z2/R2)≤1. Gut, also das ist die Ungleichung der Vollkugel mit dem Radius R. Und nun machen wir Folgendes, nun wollen wir die Vollkugel mit dem Radius R in der x-Dimension stauchen oder dehnen, ja, das heißt wir wollen in der x-Dimension nicht mehr den Radius R haben, sondern eine beliebige Zahl, meinetwegen a. Und das erfolgt indem wir R2 hier unten durch a2 ersetzen. Also wenn a groß ist, dann dehnen wir die Kugel in der x-Dimension aus, wenn a klein ist, dann stauchen wir die Kugel in der x-Dimension zusammen. Und dasselbe erfolgt bezüglich der anderen Koordinatenrichtungen, also wir können die Kugel dehnen oder stauchen in Bezug auf die y-Ausdehung und in der Richtung der z-Achse machen wir dasselbe mit dem Parameter c. Und auf diese Weise aus der Standard Ungleichung der Vollkugel bekommen wir die Ungleichung, die den Ellipsoid beschreibt. Ich hoffe, das hat allen diese Ungleichung plausibel gemacht, aber viel werden wir mit dieser Ungleichung nicht zu tun bekommen, einfach nur um die Dinge plausibel zu machen habe ich das durchgenommen. Nun, wir wollen ja das Volumen berechnen. Und dazu brauchen wir erst eine geeignete Koordinatenbeschreibung für diese Ellipse, und dann, mit dieser Beschreibung wenden wir die Transformationsformel an. Okay, dann schlage ich vor, welche Koordinatentransformation wir nehmen um diese Ellipse bequem zu beschreiben. Ich wähle folgende Koordinatentransformation, die wird so aussehen: Φ von r, θ, φ - ich benutze die selben Variablen wie die Kugelkoordinaten oder ich nehme eigentlich die Kugelkoordinaten: r, sinθ, r, sinθ, r cosθ, cosφ, sinφ. Das sind ja ganz normale Kugelkoordinaten, ja, die Ellipse ergibt sich ja aus der Kugel, deswegen starte ich mit Kugelkoordinaten. Dann modifiziere ich diese Koordinatenkonstruktion mit Parametern, indem ich Parameter a, b, c an geeigneten Stellen ranmultipliziere. Also a ist für die Stauchung bzw. Dehnung in x-Richtung verantwortlich, deshalb bekommt die x-Achse bei der Koordinatentransformation den Parameter a. b ist für y zuständig, deswegen bekommt die y-Komponente den Faktor b, und entsprechen c. So, ich schlage vor das wir so eine Koordinatentransformation benutzen, so und wieso ist das sinnvoll? Also wenn wir keine Parameter a, b, c haben, und dann die Variable r von 0 bis R-groß laufen lassen, und dann die Variable θ in ihrem ganz normalen Definitionsbereich von 0 bis π und die Variable φ in ihrem normalen Definitionsbereich von 0 bis 2π. Ja, jetzt konzentrieren wir uns aber auf den Radius, wenn wir r von 0 bis R-groß laufen lassen, dann beschreiben wir im Kugelkoordinatensystem die vorliegende Kugel mit dem Radius r. Nun machen wir folgendes: Wenn ich hier vorne groß R anschreibe, und R ist eine Konstante. Und so, wenn ich hier r klein von 0 bis R laufen lasse, und diese modifizierte Koordinatentransformation nehme, dann beschreibe ich trotzdem eine Vollkugel mit dem Radius R. Ja, wenn R hier vorne ranmultipliziert ist. Nun weiß ich das die Ellipse einfach nur eine Deformation der Vollkugel ist, ja, und die für die Deformation sind die Parameter a, b, c zuständig. Wenn ich dann in diesem Ansatz immer den Faktor R - also den Radius der Vollkugel - immer durch die Parameter a, b, c, durch die Deformationsparameter, ersetze, die dann aus der Vollkugel ein Ellipsoid machen, dann bekomme ich die Beschreibung des Ellipsoids. Wenn ich r von 0 bis 1 variiere und vorne die Faktoren a, b, c stehen, dann habe ich mit dieser Koordinatentransformation in diesem Transformationsbereich mein Ellipsoid beschrieben. Und das ist das wesentliche was wir brauchen. Mit dieser Koordinatentransformation und mit diesen Grenzen für die Variablen haben wir das Ellipsoid beschrieben und nun können wir das Volumen berechnen. Also, nun werde ich bischen formaler dieses Ergebnis festhalten. So wir wählen folgende Koordinatentransformation: Die Menge Ω besteht aus den Tripeln r, θ, φ und wie wir uns gerade überlegt haben, r läuft von 0 bis 1, θ läuft in den Standardgrenzen von 0 bis π und φ läuft von 0 bis 2π. Bitte nicht verwechseln, also θ läuft nicht bis 2π sondern bis π. Und φ läuft bis 2π. Hier ist π, hier ist 2π. Bitte nicht verwechseln. Bei Kugelkoordinaten sind das immer die maximalen Bereiche. Also diese Menge wird unter der Koordinatentransformation Φ wie hier mit den Faktoren a, b, c, also im Wesentlichen bijektiv auf das Ellipsoid E abgebildet. Gut und das gibt uns das Recht, die Transformationsformel anzuwenden mit dieser Koordinatentransformation, also Volumen der Ellipse E - wir wollen ja das Volumen ausrechnen, das ist die Aufgabenstellung - ist gleich das dreifache Integral über die Ellipse E in kartesischen Koordinaten. So und nun wende ich die Transformationsformel an. Also das dreifache Integral über Omega. Und nun hier steht Volumenelement in den entsprechenden Koordinaten. Das Problem ist, dass diese Koordinaten nicht die Standard Kugelkoordinaten sind sondern leicht modifizierte Kugelkoordinaten. Ja, und wir müssen uns noch Gedanken machen, wie das Volumenelement hier aussieht. Deswegen schreibe ich den Ansatz, den uns die Theorie liefert, ganz allgemein für beliebige Koordinatentransformationen, hier hat man folgende Formel: Der Wert der Determinante, der Ableitungsmatrix der Koordinatentransformation, dr, dθ, dφ. Also in echten Kugelkoordinaten ist dieser Betrag dieser Determinante bekanntlich r2 sinθ, in echten Kugelkoordinaten. Aber das sind keine echten Kugelkoordinaten, das sind modifizierte Kugelkoordinaten. Deswegen müssen wir uns noch Gedanken machen darüber, wie diese Determinante aussieht. Und das ist der nächste Teil unserer Aufgabe. Gut, und die gute Nachricht ist, wenn diese Koordinatentransformation die wir gerade benutzen sich aus den Kugelkoordinaten ergibt, dann wird die Determinante der Ableitungsmatrix der neuen Koordinaten ziemlich ähnlich sein wie die alte Determinante. Und diesen Punkt möchte ich jetzt ausführen. Also viel Neues kommt nicht hinzu, viel rechnen müssen wir gar nicht. Ok, also, noch einmal: hier ist die modifizierte Koordinatentransformation, a, b, c, r, r, r, sinθ, sinθ, cosθ, cosφ, sinφ. Und wir interessieren uns für die Determinante der Ableitungsmatrix dieser Koordinatentransformation. Also, Determinante der folgenden Matrix. Ich erinnere euch vorsichtshalber daran, wie die Ableitungsmatrix erklärt ist, dΦ1,  Φ1 ist die erste Zeile hier, in der Transformations Φ, ja, die erste Komponentenfunktion. dΦ1/dr; dΦ1/dθ dΦ1/φ. Und das selbe auch für die zweite Komponentenfunktion und die dritte Komponentenfunktion. Einfach nur als Erinnerung, schreibe ich das hin. Möglichst schnell, dr, dr, dθ, dθ, dφ, dφ. Nun verteile ich die Indizes, in der zweiten Zeile steht die zweite Komponente, in der dritten Zeile steht die dritte Komponentenfunktion der Koordinatentransformation. So sieht halt die Ableitungsmatrix aus. Ja nun nehme ich die Mühe auf mich, diese Ableitungen wirklich zu bilden, dafür bräuchte ich ein bischen mehr Platz, also ich führe diese Rechungen weiter. Ach ja. Also die Determinante, okay, und nun müssen wir diese Funktionen, alle drei Funktionen nach r ableiten, also a sinθ cosφ; b sinθ sinφ; c cosθ. Dann nach θ ableiten: a r cosθ; b r cos θ; -c r sinθ. Und dann: cosφ, sinφ und dann sollten wir diese Wirtschaft nach φ ableiten, also, die dritte Komponente ist von φ unabhängig, deswegen steht hier 0, ja, dann habe ich -a r sinθ sinφ; und b r sinθ cosφ. Nun der springende Punkt. Also jetzt werdet ihr sehen, weswegen ich den Umstand betrieben habe, es war ziemlich aufwendig das alles anzuschreiben. Wir sehen, die erste Zeile dieser Matrix hat den gemeinsamen Faktor a. Die zweite Zeile dieser Matrix hat den gemeinsamen Faktor b, und die dritte Zeile hat den gemeinsamen Faktor c. Die letzte Zeile kann ich auch gern als c mal 0 darstellen.
So, und nach den Eigenschaften der Determinante, kann ich den gemeinsamen Faktor einer Zeile oder einer Spalte nach vorne rausziehen. Also, diese Determinante kann ich wie folgt modifizieren: Den gemeinsamen Faktor der ersten Zeile, a, schiebe ich ganz nach vorne. Den gemeinsamen Faktor der zweiten Zeile, b, schiebe ich auch ganz nach vorne. Und dasselbe mache ich mit dem gemeinsamen Faktor c in der dritten Zeile, schiebe ich nach vorne. Nun ist das angenehmer. Die Determinante, die hier verblieben ist ist die Determinante der Ableitungsmatrix der Transformation auf Kugelkoordinaten. Die Standard Determinante. Und diese Determinante kennt man ja. Oder diese Determinante habe ich ja ausführlich vorgerechnet im theoretischen Teil zum Thema Transformationsformel. Da gabs zwei Videos zu diesem Thema und am Ende vom zweiten Video habe ich diese Determinante ausgerechnet. Und hat man diese Rechnung nachvollzogen oder nicht, also, dass ihr euch das nicht angeschaut habt, das ist ja kein Problem, also es ist genug zu wissen, diese  große Determinante ist r2 sinθ. Das hat man ausgerechnet. Ja, und das ist der einzige Unterschied. Bei Standardkugelkoordinaten hat man r2 sinθ, bei diesen modifizierten Kugelkoordinaten hat man a b c r2 sinθ. Das ist der einzige Unterschied.

So, haben wir alles. Und jetzt kann die Berechnung des Volumens wirklich losgehen. Also, Determinante der Ableitungsmatrix dieser Transformation ist im Wesentlichen dasselbe wie die entsprechende Determinante bei Kugelkoordinaten. Bloß, es kommt vorne Faktor a, b, c hinzu, sonst nichts. Okay, nun kommt wirklich die Rechnung. Volumen des Ellipsoids ist gleich, wie gehabt, das dreifache Integral über das Ellipsoid E in kartesischen Koordinaten. Nun benutze ich die Transformationsformel, das ist das dreifache Integral über Gebiet Omega, so und Omega, ich erinnere euch daran, also wie habe ich Omega erklärt. Omega war abgekürzt geschrieben das kartesische Produkt von 0 bis 1, das war für r. Dann Intervall von 0 bis π für θ und Intervall von 0 bis 2π für φ. Das ist für r, das ist für θ und das ist für φ. Also, nach der Transformationsformel ist es das dreifache Integral über Omega - Omega steht da. Und Betrag der Determinante der Ableitungsmatrix der Koordinatentransformation, die wir gerade nutzen, dr, dθ, dφ. Gut, und die Determinante haben wir ja berechnet. Ja, also, diese Determinante ist immer positiv, a, b, c sind positive Parameter, r2 ist sowieso positiv und sinθ ist auch positiv weil sinus auf dem Intervall von 0 bis π immer positive Werte hat. Nun schreib ich diese Determinante hinein, a, b, c, r2 sinθ, ja, und dann berechne ich ganz normal das Integral. Und jetzt kommt eine Routinerechnung, a, b, c, das sind Konstanten, die kann ich nach vorne vor das Integral ziehen, dann bezüglich r habe ich die Integrationsgrenzen von 0 bis 1, dann bezüglich θ habe ich die Integrationsgrenzen von 0 bis π, bezüglich φ habe ich die Integrationsgrenzen von 0 bis 2π. Unter dem Integral steht r2 sinθ. Und als nächstes schiebe ich die.. also die Integrationsgrenzen sind konstant, ja. Die zu integrierende Funktion zerfällt in Produkte von Funktionen die jeweils nur von einer einzelnen Variable abhängig sind, also diese Produktkleinteile schiebe ich unter die entsprechenden Integrale und dann habe ich das. So, also a, b, c, Integral von 0 bis 1 r2 dr; dann sinθ schiebe ich unter das θ Integral, also Integral sinθ dθ von 0 bis π, dann Integral von 0 bis 2π dφ. Ja, und diese Integrale, das ist Kopfrechnung. Da will ich hier keine Stammfunktion angeben, ich hoffe ihr nehmt mir das nicht übel, das ist wirklich Kopfrechnung. Also der Faktor a, b, c bleibt vorne stehen, r2 hat die Stammfunktion ((r3)/3), wenn man die Stammfunktion einsetzt bekommt man 1/3 als Ergebnis, sinθ hat die Stammfunktion -cosθ, wenn man die Stammfunktion einsetzt, dann bekommt man die Stammfunktion 2. Und das Integral von 0 bis 2π, φ brauchen wir nicht zu rechnen, das ist 2π. Und nun mulitiplizieren wir die Dinger auseinander und bekommen: a, b, c, (4π/3). Das ist das Volumen des Ellipsoids. Und damit haben wir unsere Aufgabe erfüllt. Nun möchte ich einen Kommentar anschließen. Ich möchte noch einmal plausibel machen, das die Formel, die wir vorhin bekommen haben für das Elipsoid nicht verkehrt ist. Also: Ellipsoid hat das Volumen 4π/3 a, b, c. Wir vergleichen das mit der bekannten Formel für die Vollkugel. Vollkugel K mit dem Radius R, die hat das Volumen, Moment, 4π/3 r³. Das steht in jeder Formelsammlung. Und jedes steht im Einklang miteinander. Also, speziell: Wenn man in einem Ellipsoid die Parameter gleich wählt, a=b=c=R, wenn man ein solches Ellipsoid betrachtet, dann ist dieses Ellipsoid in Wahrheit eine Vollkugel mit dem Radius R. So, und das Volumen eines solchen Ellipsoid, mit diesen Parametern.. Wir rechnen nach, nach dieser Formel: 4π/3×R×R×R, also Volumen von diesem Ellipsoid ist 4π/3×R³, und das ist die bekannte Formel von dieser Vollkugel. Wir haben also die bekannte Formel für das Volumen der Vollkugel auf Ellipsoide, auf deformierte Vollkugeln verallgemeinert. Und aufgrund dieser Überlegung sieht man, dass dieses Ergebnis zumindest plausibel ist. Dieses Ergebnis ist auch richtig. Dankeschön.

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1 Kommentar
  1. Default

    Und wie sieht die Parametrisierung für elliptisches Paraboloid aus? Wie macht man das für andere abgefahrene Figuren. Leider sehe ich keine Videos mehr für dieses Thema.

    Links vielleicht oder so? Danke shcön.

    Von Ahmedhos, vor mehr als 7 Jahren