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Transkript Totale Differenzierbarkeit – Aufgabe 1

Ja und nun bauen wir ein Beispiel zum Thema totale Differenzierbarkeit. Im theoretischen Beitrag habe ich ein Schema erläutert, wie man konkrete, vorgelegte Funktionen auf totale Differenzierbarkeit prüft. Also wir haben die Funktion f. Sie geht von R2 nach R3, die gegeben ist durch eine bestimmte Formel und definiert auf einen bestimmten Definitionsbereich D. Also da soll x nicht verschwinden und y nicht verschwinden. Das ist so gegeben, weil ich hier durch x und y teile in der Zuordnungsvorschrift. Und man darf ja nicht durch 0 teilen. Ansonsten spielt der Funktionsbereich hier weiter keine Rolle. Es ist hier in der Aufgabenstellung auch nicht gesagt, an welcher Stelle wir die totale Differenzierbarkeit prüfen sollen. Das heißt, wir sollen es an einer beliebigen Stelle des Definitionsbereiches prüfen. Gut. Wir rechnen einfach nur diese 3 Rechenschritte durch, die ich da erläutert habe. Als 1. sollen wir die Jacobi-Matrix-Wertbildung f aufstellen. Die Jacobi-Matrix. Die Jacobi-Matrix der Funktion f im Punkt x0. Der Definitionsbereich ist zweidimensional, deswegen bezeichne ich den Punkt x0 durch x,y, wie man üblicherweise den Punkt auf der Ebene bezeichnet. Das ist nicht weiter schwer. Wir berechnen einfach nur die partiellen Ableitungen der Funktion f. Also die Jacobi-Matrix der Funktion f im Punkt x0, bzw. x,y = die 1. Komponentenfunktion nach x abgeleitet, dann die 1. Komponentenfunktion nach y abgeleitet usw. Dasselbe mit der 2. Komponentenfunktion, dasselbe mit der 3. Komponentenfunktion. Und nun rechnen wir diese Ableitungen aus. Das ist nicht weiter schwer. Vielleicht der Deutlichkeit halber schreibe ich die Komponentenfunktion ab. Also wir leiten nach x die 1. Komponentenfunktion ab (x²-y). Zuerst nach x ableiten, dann nach y ableiten und so weiter. Ja, da brauche ich das nicht groß dokumentieren, also das ist so routinierte Arbeit. Jetzt in der 2. Zeile machen wir dasselbe mit der 2. Komponentenfunktion, die ist ja 2/x. Und die 3. Komponentenfunktion 1/y. Gut. Die Ableitungstechnik ist ja die alte bekannte aus der Analysis1 und da brauche ich nicht zu kommentieren. Also wenn ich nach x ableite, ist y die Konstante. Ich habe hier Ableitung 2x, dann Ableitung -1. Also wenn ich nach y ableite, dann wäre x jetzt Konstante, nach -y abgeleitet ist -1 usw. Dann habe ich -2/x². Dann 2/x nach y abgeleitet, von y ist das unabhängig, deswegen ist die Ableitung 0. Dann 1/y nach x abgeleitet, von x unabhängig ist die Ableitung 0. Und schließlich 1/y nach y abgeleitet ist -1/y². So, und das war der 1. Schritt im Rechenschema. Gut, die Jacobi-Matrix steht da. Nun, der 2. Schritt besteht darin, dass wir den Restterm aufstellen sollen. Ich wische alles weg, bei mir steht alles auf Papier und ihr merkt es euch bitte. So, also der 2. Schritt, den Restterm aufstellen. Ja, und wir erinnern uns, die Variable im Restterm ist Argumentenzuwachs h. Das ist ein Vektor. Weil der Definitionsbereich hier zweidimensional ist, ist h auch ein zweidimensionaler Vektor. Und um die Notation zu vereinfachen, will ich die Koordinaten von h mit u und v bezeichnen. Also nicht h1 und h2, sondern u und v. Wenn ich mit h1 und h2 rechne, dann wimmelt alles vor Indizes und wir blicken überhaupt nicht durch. Also r(h), der Restterm, das ist dann, wie ich bereits angeschrieben habe im theoretischen Teil, das ist f(x0+h)-f(x0)-J(x0)×h. Die Funktion f haben wir aus der Aufgabenstellung, die Jacobi-Matrix J haben wir im 1. Schritt berechnet. Ja und nun setzen wir alles ein. Vielleicht mache ich doch einen vorbereitenden Schritt hier. Wenn ich daran denke, dass ich x0 hier mit x,y bezeichnet habe und h habe ich mit u und v bezeichnet. Wenn ich zu dieser Notation wechsel, dann sieht es so aus: f(x+u,y+v)-f(x,y) und -J(x,y)×mit dem Spaltenvektor u,v. Ich habe hier nichts Inhaltliches gemacht, ich habe einfach von der allgemeinen Notation zu der Notation gewechselt, die ich für diese Beispiele vereinbart habe zur Vereinfachung. Nun setze ich alles fleißig aus und versuche, diesen Ausdruck möglichst übersichtlich darzustellen. Kürzen alles, was man kürzen kann. Also nun f(x+u, y+v), statt x setze ich (x+u) ein, (x+u)² und statt y setze ich (y+v) ein. Das ist die 1. Komponentenfunktion. Die 2. Komponentenfunktion 2/x, also 2/x+u, und die 3. Komponentenfunktion 1/y, also 1/y+v. Das ist der 1. Term. Der 2. Term schreibt die Funktion einfach nur ab: x²-y, die 2. Komponente 2-x und die 3. Komponente 1/y. Gut. Dann schreibe ich die Jacobi-Matrix ab, die wir im 1. Schritt berechnet haben. So, die sieht ja übersichtlich aus: 2x-1, -2/x², 0 und 0, -1/y² und multipliziert mit dem Vektor u,v. Ja, und nun muss man die Matrix mit dem Vektor ausmultiplizieren. Also von dem 1. Vektor 2 andere Vektoren subtrahieren, alles kürzen und fleißig ausrechnen. Und diese Arbeit kann ich an der Tafel nicht machen, sonst dauert es ewig. Wir haben begrenzte Zeit für jeden Beitrag. Ich schreibe einfach nur ab, was sich da ergibt nach all den Kürzungen. Also wenn man das alles fleißig ausrechnet, und ich empfehle jedem von euch, macht diese Rechnung, man muss rechnen können. Das ist die häufigste Ursache für das Scheitern in der Klausur, weil die Leute halt nicht rechnen können. Die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und so weiter, was man eigentlich schon von der Schule aus kennen soll. Also der Restterm wird dann so aussehen: Also wenn man alles richtig ausrechnet, dann bekommt man folgenden ziemlich netten Vektor: u² in der 1. Komponente, 2u²/x²(x+u) in der 2. Komponente und v²/y²(y+v) in der 3. Komponente. Und damit kann man leben. So, es ist ja schnell hingeschrieben, aber man muss lange rechnen, um das alles zu errechnen. Also der 2. Schritt ist fertig, wir haben den Restterm berechnet. Nun das Wichtigste, der 3. Schritt: Wir sollen sehen, wie schnell denn der Restterm gegen 0 geht, wenn der Argumentenzuwachs gegen 0 steht. Also als Nächstes untersuchen wir r(h)/||h||. In unserer Notation ist das r(u,v) durch die ||h||. Wie gesagt, h ist die unglindische Norm. Ich habe im theoretischen Beitrag die Formel für diese Norm geschrieben. Und die ist dann in diesem Fall \sqrt(u²+v²). Ja, r(u,v), denn den Restterm haben wir gerade im 2. Schritt ausgerechnet - ihr habt ausgerechnet, ich habe das einfach nur vom Blatt abgeschrieben - und nun will ich dann diesen Ausdruck noch mal hinschreiben. Das ist und das dauert jetzt lange: u²/\sqrt(u²+v²), dann x²(x+u)\sqrt(u²+v²) und v²/y²(y+v)×sqrt(u²+v²). Ja, es sieht schrecklich aus und nun, was machen wir denn? Also wir schicken u und v gegen 0 und überlegen uns, was denn der Grenzwert ist. Ich sage dann, wir haben hier Erfolg, der Grenzwert wird 0 sein. Das heißt, jede Komponente aus diesen 3 Komponentenfunktionen steht gegen 0. Nun überlegen wir, warum das der Fall ist. Also die 1. Komponente u²/\sqrt(u²+v²) steht gegen 0 - wie sieht man das? Man kann das abschätzen. Zu u² kann man v² addieren, weil Quadrate positive Zahlen sind. Wenn man was Positives addiert, dann wird alles nur größer. Deswegen habe ich dann Abschätzung nach oben. Warum addiert man v²? Damit man im nächsten Schritt alles bequem kürzen kann. Das heißt, diese Wurzel unten im Nenner kann man kürzen, dann hat man \sqrt(u²+v²) und nun ist es offensichtlich. Wenn u und v gegen 0 gehen, dann geht auch diese Wurzel gegen 0. Natürlich meine ich immer die Grenzbewegung u geht gegen 0 und v gegen 0. Das habe ich schon zweimal geschrieben, das schreibe ich nicht weiter an. Und dasselbe passiert mit den nächsten 2 Termen. Ich rechne das vor am Beispiel mit dem 2. Term, weil 1. für den 3. habe ich keinen Platz mehr und 2. ist alles analog. Gut. Also 2u²/x²(x+u)\sqrt(u²+v²). Nun, genau dieselbe Abschätzung. Ich addiere 2v² und dadurch erhalte ich Abschätzung nach oben und diesen Term habe ich addiert, um dann bequem kürzen zu können. Warum will ich denn überhaupt kürzen? Weil, wenn u und v gegen 0 gehen, dann wird die Wurzel auch gegen 0 gehen. Wir haben dann im Nenner gegen 0 und das ist die Unbestimmtheit. Wenn Zähler und Nenner gegen 0 gehen, das ist die Unbestimmtheit. Um diese Unbestimmtheit aufzulösen, mache ich diese Abschätzerei. Ja, um noch mal den Sinn klarzumachen. Nun kürze ich diese Wurzel, die Unbestimmtheit hebt sich auf, ich habe hier eine bequeme Abschätzung, der Term aus dem rechten Teil der Ungleichen geht gegen 0 und wir haben gewonnen. Noch einmal: Hier wird wichtig, welchen Definitionsbereich wir haben. Im Definitionsbereich D ist x von 0 immer verschieden. Dass wir hier durch x² teilen, das bewirkt keine Probleme. X² ist immer von 0 verschieden und u geht gegen 0. Also insgesamt geht der Nenner gegen x³. Eine von 0 verschiedene Zahl und wir haben keine Probleme. Aber der Zähler geht insgesamt gegen 0, weil u und v gegen 0 gehen. Und analoge Spielchen macht man mit dem 3. Term. Mit der 3. Komponente des Restterms wird dividiert durch den Betrag des Argumentenzuwachses. Ja, und wir erhalten schließlich, dass in allen 3 Komponenten die Nullen stehen im Grenzfall. So, dass war der 3, Schritt und deswegen dürfen wir folgern, dass die Funktion f an jeder Stelle des Definitionsbereiches total differenzierbar ist. Also, Fazit: Also wir haben gezeigt, dass Limes h gegen 0, Restterm r(h) dividiert durch die nor von h, 0 ist, vielleicht mit Pfeilchen. Hier haben wir das nachgerechnet und daraus folgt, die Funktion f ist in x0, das ist Punkt x,y total differenzierbar. Und das war die Implementierung des Schemas aus dem theoretischen Beitrag.

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1 Kommentar
  1. Default

    Super gut gemacht. Bin im Moment bei Analysis 2 im Studium, die Videos helfen mir sehr. Ist der Punkt 3 nicht auch mit den Landausymbolen berechenbar "klein o von x)?

    Von Freeman, vor mehr als 4 Jahren