Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Theorie 5: Struktur der Lösungsmenge einer linearen Gleichung

Hallo, ich bin Sergej. In diesem Video lernen wir die grundlegenden Eigenschaften von linearen Gleichungen. Wir werden erfahren, wie die Lösungsmenge einer linearen Gleichung aussieht. Die Gegebenheiten sind die Folgenden: Wir haben eine lineare Abbildung L zwischen 2 Vektoren v und w. Im Wertebereich fixieren wir einen Vektor w und suchen im Definitionsbereich Vektoren v, die der Gleichung L(v)=w genügen. In anderen Worten wollen wir die Gleichung L(v)=w nach v auflösen. Da die Abbildung L, die hier im Spiel ist, linear ist, nennen wir die entsprechende Gleichung konsequenterweise auch linear - das ist eine lineare Gleichung. Einerseits sind unsere Gegebenheiten nicht sehr konkret. Wir haben abstrakte Vektorräume v und w, wir haben einfach nur ein Element im Wertebereich, wir haben eine lineare Abbildung. Weil das alles nicht so konkret ist, werden wir nicht eine allgemeine Lösungsformel hier schreiben können für v. "v=(berechne das und das)", das werden wir nicht hinkriegen, weil wir nicht so viel Konkretes hier haben - einerseits. Aber andererseits: Wir haben hier eine lineare Abbildung und durch die Forderung der Linearität werden sehr starke Einschränkungen auferlegt auf die Abbildungen und das erzwingt eine bestimmte Struktur der Lösungsmenge dieser linearen Gleichung. In diesem Video werden wir nach und nach diese Struktur herauskristallisieren, und bevor wir dann mit dieser allgemeinen Situation fortfahren, wollen wir uns noch einmal mit den bekannten Sachen beschäftigen - zur Motivation und zur Unterstützung von dem, was kommt. Wir haben uns schon mit linearen Gleichungssystemen auseinandergesetzt. Sie hatten dann die Form: Eine Matrix A, die Koeffizientenmatrix, wird mit dem Vektor x multipliziert und das wird einer rechten Seite b gleichgesetzt. b ist auch ein Vektor. Also das kann man auch in diesem Kontext sehen. Durch die Matrix A ist eine lineare Abbildung gegeben zwischen 2 Vektorräumen, Rn und Rm. Der Vektor b, die rechte Seite, ist vorgegeben, genauso wie hier und wir suchen einen Vektor x, der diese Gleichung löst. Für lineare Gleichungssysteme haben wir einen perfekten Algorithmus - zumindest theoretisch ist er perfekt - den Algorithmus von Gauß. Lasst uns erst einmal rekapitulieren, was der Algorithmus von Gauß über die Lösbarkeit von diesem Gleichungssystem aussagt. Was weiß man denn über lineare Gleichungssysteme? Wir erinnern uns: Wir haben hier eine Matrix A, wir haben hier einen Vektor b. Wir betrachten das lineare Gleichungssystem Ax=b. A ist die Koeffizientenmatrix, b ist die rechte Seite. Die Menge der Lösungen dieses Gleichungssystems bezeichnen wir mit dem Buchstabenskript L und der Algorithmus von Gauß gibt uns Auskunft über die Beschaffenheit der Lösungsmenge L. Im Einzelnen hat man hier 3 Fälle: Wenn der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist, so gibt es keine Lösungen. Die Lösungsmenge ist leer in diesem Fall. Wenn die beiden Ränge übereinstimmen, so ist die Lösungsmenge nicht leer. Und hier gibt es 2 Teilfälle: Wenn der Rang der Koeffizientenmatrix mit der Anzahl der Spalten der Matrix übereinstimmt, so ist die Lösung eindeutig bestimmt, es gibt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge besteht aus genau einem Element. Wenn der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als die Anzahl der Spalten ist, dann gibt es unendlich viele Lösungen und die Lösungsmenge hat so eine Struktur hier. Das ist der Status quo beim Algorithmus von Gauß. An dieser Stelle schlage ich vor, dass wir diese Aussagen über die Beschaffenheit der Lösungsmenge umschreiben, indem wir die Begriffe "Kern" und "Bild" der Koeffizientenmatrix A verwenden. Wir fangen an mit dem Fall, wo unendlich viele Lösungen vorhanden sind. Die Lösungsmenge hat immer solch eine Struktur: Man hat am Anfang, hier vorne, einen festen Vektor und auf diesen festen Vektor wird eine Linearkombination aufaddiert und die Koeffizienten (λ 1) bis (λ k) der Linearkombination sind frei wählbare Zahlen. Nun lasst uns überlegen, woher dieser feste Vektor hier vorne - bezeichnet mit w1 bis wn auf der Tafel - kommt. Wenn wir ein lineares Gleichungssystem lösen, dann schreiben wir die erweiterte Koeffizientenmatrix auf und führen die elementaren Zeilenumformungen durch. Auf diese Weise wird dann die rechte Seite b mit umgeformt und daraus entsteht eben dieser Vektor w. Was passiert denn, wenn wir statt der rechten Seite b den Nullvektor betrachten, wenn die rechte Seite gleich 0 ist? Dann werden diese w auch gleich 0 sein und es bleibt nur diese Linearkombination übrig. In anderen Worten: Wenn wir die Linearkombination hier mit dem Buchstaben xh bezeichnen, ich sage gleich, woher der Index h kommt, dann ergibt sich, dass dieser Vektor xh die Gleichung löst, wo wir auf der rechten Seite den Nullvektor haben. Diese Gleichung nennt man gerne homogen. Wo die rechte Seite gleich 0 ist, das ist die homogene Gleichung. Daher kommt der Index h. Diese Gleichung lässt sich wieder anders hinschreiben, das bedeutet, dass der Vektor xh im Kern der Matrix A liegt, wird auf 0 abgebildet. Das gibt uns eine Handhabe für die erste Umformung. Diesen festen Vektor hier vorne bezeichne ich mit dem Buchstaben xs. Woher der Index s kommt, das wird gleich erklärt. Dazu addiere ich den Vektor xh und vom Vektor xh weiß ich, dass er im Kern der Matrix A liegt. Also haben wir das. Die Lösungsmenge im Fall, wo es unendlich viele Lösungen gibt, hat die Struktur: xs+xh Wobei xh im Kern der Matrix A liegt. Wenn ich schon unten den festen Vektor mit xs bezeichnet habe, dann will ich ihn auch oben so bezeichnen - xs. Es ist so, dass wir auch diese Rangbedingungen mithilfe von Kern und Bild umschreiben können. Das geht durch die folgende Überlegung: Wir schauen uns noch einmal das Gleichungssystem an. Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn der Vektor b im Bild der Matrix A enthalten ist - einerseits. Andererseits: Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimmt. Deswegen können wir diese Rangbedingung durch die Bildbedingung ersetzen. Also das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn der Vektor b im Bild enthalten ist. Im ersten Fall, wo es keine Lösungen gibt, haben wir, dass b nicht im Bild liegt. In den 2 übrigen Fällen ist der Vektor b im Bild enthalten. Nun kommen wir zu dieser Gleichung: (Rang der Matrix A)=(Anzahl der Spalten). Wir erinnern uns an die Dimensionsformel für Matrizen. Die Dimensionsformel für Matrizen habe ich im Video mit dem Namen "Kern, Bild, Rang und die Dimensionsformel" präsentiert. Die lautet: (Dimension des Kernes der Matrix A)+(Rang der Matrix A)=(Anzahl der Spalten). Wir sehen, wenn (Rang)=(Anzahl der Spalten), dann muss die Dimension des Kernes gleich 0 sein. Also im zweiten Fall muss die Dimension des Kernes gleich 0 sein. Das ist gleichbedeutend damit, dass der Kern trivial ist. Das notieren wir hier. Also diese Bedingung ist gleichbedeutend damit - wegen der Dimensionsformel - dass der Kern der Matrix A trivial ist. Wenn der Rang der Matrix A kleiner als die Anzahl der Spalten ist, dann ist die Dimension des Kernes von 0 verschieden - dank der Dimensionsformel - und der Kern ist nicht trivial. Dank der Dimensionsformel haben wir hier eine bequeme Aussage: Wenn der Kern trivial ist, dann gibt es genau eine Lösung. Wenn der Kern nicht trivial ist, dann gibt es unendlich viele Lösungen. Das alles lässt sich noch einmal zusammenfassen. Das geschieht auf der nächsten Tafel. Jetzt befinden wir uns wieder in der Situation, von der wir am Anfang des Videos ausgegangen sind. Wir haben hier eine lineare Abbildung L zwischen den Vektorräumen V und W. Im Wertebereich fixieren wir einen Vektor w und betrachten die Gleichung L(v)=w. Wir wollen diese Gleichung nach v auflösen. Die Menge solcher v, solcher Vektoren im Definitionsbereich, die diese Gleichung lösen, bezeichnen wir mit dem Buchstabenskript L. Das ist unsere Lösungsmenge und im Bezug auf die Lösungsmenge gelten genau dieselben Aussagen, die wir schon zuvor im Fall von linearen Gleichungssystemen hatten. Das ist auch kein Wunder, weil lineare Gleichungssysteme ein Spezialfall dieser Situation sind, die wir hier betrachten. Wenn die rechte Seite, der Vektor w, nicht im Bild der linearen Abbildung L enthalten ist, dann ist die Lösungsmenge leer. Das ist auch kein Wunder, wenn w nicht im Bild liegt, dann gibt es keine v, die auf w abgebildet werden. Wenn der Vektor w, die rechte Seite, im Bild enthalten ist, dann hat die Lösungsmenge der linearen Gleichung genau dieselbe Struktur wie zuvor im Fall von linearen Gleichungssystemen. Das heißt, jede Lösung lässt sich in der Form vs+vh darstellen, wobei vs irgendein Vektor ist, der die lineare Gleichung löst und der Vektor vh durchläuft den gesamten Kern der Abbildung L. Das ist die Struktur der Lösungsmenge einer linearen Gleichung und lasst uns diese Aussage beweisen. Das, was wir zuvor mit dem Algorithmus von Gauß getan haben, war lediglich eine Motivation, aus der heraus wir diese Formel entwickelt haben. Das war eine Motivation und kein Beweis. Jetzt kommt der Beweis und der Beweis ist sehr viel kürzer und angenehmer als die Motivation selbst. Lasst uns den Beweis anschauen: Wir betrachten zunächst eine Summe, genauer vs+vh, mit den genannten Voraussetzungen. Lasst uns, uns davon überzeugen, dass das tatsächlich eine Lösung der linearen Gleichung ist. Wir wenden auf die Summe die Abbildung L an und nutzen die Linearität der Abbildung L. Die Summe kann man sozusagen auseinanderziehen. Nun wenden wir unsere Voraussetzungen an. L(vs)=w und vh ist im Kern der Abbildung L enthalten. Das heißt, vh wird unter L auf 0 abgebildet, auf dem Null-Vektor. w+0=w. Und wir haben gezeigt, dass die Summe vs+vh unter L auf w abgebildet wird. Das heißt, vs+vh ist tatsächlich eine Lösung der linearen Gleichung. Mit dieser Überlegung haben wir nicht die Gesamtaussage bewiesen, sondern nur die Hälfte. Wir haben diese Inklusion hier gezeigt. Wir haben gezeigt, dass die Summen vs+vh tatsächlich Lösungen sind. Jetzt müssen wir zeigen, dass alle Lösungen sich in dieser Form schreiben lassen. In anderen Worten müssen wir jetzt diese Inklusion beweisen. Das geht ebenfalls sehr unkompliziert: Wir nehmen also irgendeine Lösung der linearen Gleichung L(v)=w. Also sei v ein Vektor im Definitionsbereich mit der Eigenschaft L(v)=w beliebig. Wir zeigen, dass der Vektor v notwendigerweise von dieser Form ist und wir führen das sozusagen mit ein bisschen Gewalt herbei. Wir schreiben: v=vs+(v-vs) Es hat sich nichts verändert, ich habe vs addiert und vs subtrahiert. Deswegen ist alles beim Alten geblieben. Wir haben den Term nur der Form nach verändert. Und die Differenz (v-vs) bezeichnen wir mit vh. Also durch dieses Kunststück haben wir v als vs+vh dargestellt, wobei vs eine beliebige, spezielle Lösung der Gleichung ist. Wir bleiben nur noch den Beweis schuldig, dass vh tatsächlich im Kern der linearen Abbildung L liegt. Lasst uns das überprüfen, indem wir L auf vh anwenden. Wir schreiben dann die Konstruktion von vh hin. vh ist per Konstruktion (v-vs). Wir wenden die Linearität der Abbildung L an. Diese Differenz können wir auseinanderziehen, also wir haben L(v)-L(vs). Und wir schauen auf unsere Voraussetzungen. Nach Voraussetzung: L(v)=w L(vs)=w w-w=0 Also tatsächlich: vh wird unter L auf dem Null-Vektor abgebildet. Daraus folgt, dass vh im Kern der linearen Abbildung L liegt. Somit haben wir gezeigt, dass die beliebige Lösung v der linearen Gleichung sich als Summe schreiben lässt. vs+vh, wobei vs eine spezielle Lösung ist und vh ein Element des Kernes. Gut, das ist der Beweis. Nun dürfen wir mit vollem Recht hier Gleichheit schreiben. Diese Struktur der Lösungsmenge der linearen Gleichung ist sehr wichtig, sie gehört zu den zentralen Aussagen der linearen Algebra - muss gelernt werden, deswegen ist sie hier im roten Rahmen zusammengefasst. Das ist also die Formel und die hat etliche Anwendungen. Die erste Anwendung haben wir schon gesehen, das sind die linearen Gleichungssysteme. Eine weitere wichtige Anwendung sind die linearen Differenzialgleichungen oder auch Systeme linearer Differenzialgleichungen. Die Lösungsmenge von linearen Differenzialgleichungen hat dieselbe Struktur, wie hier beschrieben. Differenzialgleichungen kommen auf jeden Fall in einem ingenieurswissenschaftlichen Studium vor. An dieser Stelle danke ich euch für eure Aufmerksamkeit, tschüss.

Informationen zum Video