Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Theorie 5: Darstellende Matrix und Basiswechsel

Hallo! Ich bin Sergej. In diesem Video studieren wir das Verhalten der darstellenden Matrizen und der Basiswechsel. Wir erinnern uns, dass eine lineare Abbildung zwischen ähnlich-dimensionalen Vektorräumen durch eine Matrix beschrieben wird, durch die sogenannte darstellende Matrix. Der Wirkung der linearen Abbildung L auf dem Niveau der Vektorräume entspricht die Matrix-Vektor-Multiplikation mit der darstellenden Matrix auf dem Niveau der Koordinaten. Das ist natürlich gut und schön, dass wir eine abstrakte lineare Abbildung auf die Matrix-Vektor-Multiplikation zurückführen können. Ein Schönheitsfehler dabei ist, dass die darstellende Matrix überhaupt nicht eindeutig bestimmt ist. Und mit diesem Problem setzen wir uns in diesem Video auseinander. Wir erinnern uns daran, dass die darstellende Matrix in Bezug auf 2 Basen berechnet wird, eine Basis im Definitionsbereich und eine Basis im Wertebereich der entsprechenden linearen Abbildung. Und in diesem Fall fixieren wir im Definitionsbereich zwei verschiedene Basen: die Basis V und die Basis V'. Und auch im Wertebereich der Abbildung L fixieren wir ebenso 2 verschiedene Basen: die Basis W und die Basis W'. In Bezug auf die Basen V und W lässt sich die darstellende Matrix berechnen, und auch in Bezug auf die Basen V' und W' lässt sich ebenso die darstellende Matrix berechnen. Das Problem ist, dass die Matrizen, die aus diesen 2 Rechnungen hervorgehen, im Allgemeinen verschieden sind, weil ja die Basen, von denen wir ausgehen, verschieden sind. Wir fragen uns also: Wie hängen diese beiden Matrizen miteinander zusammen? Wie hängen die darstellenden Matrizen einer linearen Abbildung zusammen, die in Bezug auf verschiedene Basen berechnet wurden? Für den Zusammenhang dieser beiden Matrizen werden wir am Ende, und zwar ziemlich schnell, eine prägnante Formel herleiten. Die gesuchte Formel werden wir nicht ausrechnen, sondern aus geeigneten Bildern ablesen, was wesentlich schneller und angenehmer ist. Die Voraussetzungen, die auf der vorangegangenen Tafel standen, ergeben Vorgänge, die sich am besten mit kommutativen Diagrammen beschreiben lassen. Wir besprechen die Diagramme der Reihe nach. Wir haben vor allem eine lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen V und W. Und im Vektorraum V haben wir zwei Basen: die Basis Skript-V und die Basis Skript-V'. Und der Übergang von einer Basis zur anderen wird beschrieben durch ein kommutatives Diagramm und, ganz wesentlich, durch die Transformationsmatrix, weil beides wechselt von V zu V'. Also hier ist die Transformationsmatrix von V zu V'. Dieses kommutative Diagramm ist besprochen im Theorie-Video "Transformation der Koordinaten bei Basiswechsel". Im Wertebereich W spielt sich dieselbe Geschichte ab. Dort haben wir 2 Basen, Skript-W und Skript-W'. Dort findet auch ein Basiswechsel statt, und so was wird beschrieben durch ein kommutatives Diagramm. Und dabei ist die Transformationsmatrix beim Basiswechsel von W zu W' beteiligt. Außerdem wird der Zusammenhang der linearen Abbildung L mit ihrer darstellenden Matrix ebenfalls durch ein kommutatives Diagramm beschrieben. Also oben, auf dem Vektorraumniveau, wirkt die lineare Abbildung L; unten, auf dem Koordinatenniveau arbeitet die darstellende Matrix, L(VW). Die beiden Niveaus werden durch die Koordinatenabbildungen verbunden, und insgesamt haben wir dieses kommutative Diagramm. An der Tafel stehen zurzeit 3 kommutative Diagramme. Wir benötigen auch ein viertes kommutatives Diagramm, und dieses lässt sich aus dem Dritten gewinnen. Also hier ist der Zusammenhang der linearen Abbildung L mit der darstellenden Matrix bezüglich der Basen V und W. Wir brauchen noch den Zusammenhang der linearen Abbildung L mit der darstellenden Matrix bezüglich der Basen V' und W'. Dieses gewinnen wir, indem wir an dem alten kommutativen Diagramm an geeigneten Stellen die Striche verteilen. Und das ist hier schon das vierte kommutative Diagramm. Also wir sehen an der Tafel immer noch 3 kommutative Diagramme, aber wir wissen, in Wirklichkeit sind das 4. Nun kombinieren wir diese kommutativen Diagramme in einer geeigneten Weise und schauen genau hin.     Der Ausgangspunkt unserer Betrachtung ist die lineare Abbildung L zwischen den Vektorräumen V und W, und hier ist der entsprechende Pfeil. Um diesen Pfeil herum zeichnen wir nun nach und nach alle 4 kommutativen Diagramme, die wir auf der vorangegangenen Tafel gehabt hatten. Im Definitionsbereich V findet ein Basiswechsel statt, und der wird durch folgendes Diagramm beschrieben. Wir haben hier die Koordinatenabbildung bezüglich der alten Basis V und die Koordinatenabbildung bezüglich der neuen Basis V'. Die beiden Koordinatenabbildungen bilden nach Rn ab, weil der Definitionsbereich V die Dimension n hat, und geschlossen wird dieses Diagramm durch die Transformationsmatrix beim Basiswechsel von V zu V'. Im Wertebereich W haben wir eine entsprechende Situation. Hier haben wir eine alte Basis W und eine neue Basis W'. Die entsprechenden Koordinatenabbildungen bilden nach Rm ab, weil m die Dimension des Vektorraumes W ist, und dieses Diagramm wird geschlossen durch die Transformationsmatrix beim Basiswechsel von W zu W'. Der Zusammenhang zwischen der linearen Abbildung L und der darstellenden Matrix in den alten Koordinaten ist auch durch ein kommutatives Diagramm gegeben, und das ist hier Viereck hier oben. Hier oben auf dem Niveau der alten Koordinaten arbeitet die darstellende Matrix bezüglich der alten Basis, und hier unten auf dem Niveau der neuen Koordinaten arbeitet die darstellende Matrix bezüglich der neuen Basen V' und W'. Alle kommutativen Diagramme, die wir zusammengesetzt haben, ergeben ein großes Diagramm, und dieses große Diagramm muss ebenso kommutativ sein. Und das werden wir jetzt nutzen, um die Beziehung zwischen der neuen Darstellungsmatrix und der alten Darstellungsmatrix herzuleiten. Die neue Darstellungsmatrix entspricht der Bewegung mit diesem Pfeil hier unten. Also von den neuen Koordinaten Rn zu den neuen Koordinaten Rm können wir einerseits durch diesen Pfeil hier unten gelangen; andererseits können wir diesen Umweg hier machen. Dieser Umweg entspricht nun folgenden Abbildungen. Zuerst müssen wir hier hochlaufen, zurück mit diesem Pfeil. Das entspricht der Inversen der Matrix S(VV'), die Bewegung in die entgegengesetzte Richtung. Dann laufen wir hier oben von links nach rechts. Das entspricht der Wirkung mit der darstellenden Matrix bezüglich der alten Basen. Hier ist das. Und dann laufen wir hier runter, mit der Transformationsmatrix für den Basiswechsel von W zu W'. Und weil das Diagramm kommutativ ist, ist das dasselbe wie wenn hier unten mit der neuen darstellenden Matrix gearbeitet hätten. Also diese beiden Seiten sollen gleich sein aufgrund der Kommutativität des Diagramms. Und schon haben wir die gesuchte Formel hergeleitet. Wir haben sie aus dem Diagramm abgelesen. Hier ist sie, und damit ist die Frage, die wir am Anfang gestellt haben, beantwortet. In den Übungsaufgaben hat man oft die Situation, dass man mit einer linearen Abbildung zu tun hat, die einen Vektorraum V in sich selbst abbildet. Auf der nächsten Tafel werden wir die entsprechende Transformationsformel für diese spezielle Situation beschreiben. Im Spezialfall einer Selbstabbildung eines Vektorraumes sieht die Transformationsformel zwischen der neuen und der alten darstellenden Matrix fast genauso aus wie im allgemeinen Fall auf der vorangegangenen Tafel. Also hier ist die Formel im Spezialfall, und wir erläutern kurz ihre Bestandteile. Wir betrachten eine lineare Abbildung von V nach V, also sie bildet den Vektorraum V in sich selbst ab. Im Vektorraum V fixieren wir 2 Basen, eine alte Basis V und eine neue Basis V'. Die Transformationsmatrix zwischen diesen Basen bezeichnen wir mit dem Buchstaben S und lassen die üblichen Indizes VV' weg, um die Notation übersichtlich zu halten; um sie nicht zu strapazieren. L(V) ist die darstellende Matrix der Abbildung L bezüglich der alten Basis V, und L(V') ist die darstellende Matrix bezüglich der neuen Basis V'. Gut, nun, die neue darstellende Matrix errechnet sich nach der folgenden Formel. Das ist die Transformationsmatrix mal die alte darstellende Matrix mal die Transformationsmatrix invers. Das ist die Formel. Auf dieser Seite gibt es ein Video mit einer Übungsaufgabe, wo wir diese Formel für konkrete Gegebenheiten üben. Das Video heißt buchstäblich so: Aufgabe darstellende Matrix und Basiswechsel. Ich empfehle Euch dieses Video. Außerdem empfehle ich Euch, klar zu machen, dass diese Formel richtig ist, anhand des entsprechenden kommutativen Diagramms. Am besten nehmt das kommutative Diagramm aus der vorangegangenen Tafel und überlegt Euch, welche Buchstaben dort ersetzt werden sollen, damit wir diese Formel bekommen. Das ist eine nützliche Übung zur Gewöhnung an diesen Formalismus, und zwar an eine verstehende Gewöhnung. Verstehen ist immer wichtig. Ich danke Euch für Eure Aufmerksamkeit, wir sehen uns in einem der nächsten Videos. Danke schön, tschüss!       

Informationen zum Video