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Transkript Theorie 3: Kern, Bild, Rang und Dimensionsformel

Hallo, ich bin Sergej. Dieses Video ist eine Einführung zu den Begriffen Kern und Bild einer linearen Abbildung. Wir diskutieren die Definition von Kern und Bild sowohl für eine lineare Abbildung als auch für eine Matrix. Aus den vorangegangenen Videos wissen wir, dass lineare Abbildungen sehr viel mit Matrizen zu tun haben. Deswegen Kern und Bild zunächst für eine lineare Abbildung und dann für eine Matrix. Dann gehen wir der Frage nach: Was haben denn Kern und Bild einer linearen Abbildung mit ihrer Injektivität und Surjektivität zu tun? Und abschließend diskutieren wir die Dimensionsformel. Die Dimensionsformel setzt die beiden Begriffe in Verbindung miteinander. Die Dimensionsformel ist sehr wichtig, sie gehört zu den zentralen Aussagen der linearen Algebra und wir geben sie hier in zwei Fassungen, einmal die Dimensionsformel für lineare Abbildungen und einmal die Dimensionsformel für Matrizen.   Gut, lasst uns anfangen, natürlich mit der Definition. Wir haben hier zwei allgemeine Vektorräume V und W und eine lineare Abbildung, die V nach W abbildet. Unter dem Kern der Abbildung L versteht man alle Vektoren V im Definitionsbereich, die unter der Abbildung L auf das neutrale Element im Wertebereich abgebildet werden. Noch einmal: Ein Vektor V gehört zum Kern der Abbildung L genau dann, wenn L(v)=0 ist. Das ist die Definition und die wollen anhand von diesem Bild veranschaulichen. Die Vektorräume V und W sind mit diesen Quadraten bezeichnet, das ist aber symbolisch gemeint. Wenn ein Bereich der Tafel als ein Vektorraum aufgefasst wird, so soll dieser Bereich unendlich ausgedehnt sein. Also, der Vektorraum ist unendlich ausgedehnt. Und deswegen stehen diese Quadrate nur symbolisch für die Vektorräume V und W. Ich bitte um wohlwollende Interpretation von diesem Bild. Na gut, unter diesen Einschränkungen wirkt zwischen den Vektorräumen V und W die Abbildung L auf folgende Art und Weise. Alle Punkte auf der roten Linie werden von L auf die 0 abgebildet und alle Punkte, die außerhalb der roten Linie liegen, z. B. dieser hier, werden nicht auf die 0 abgebildet. Also unter diesen Umständen ist die rote Linie der Kern der Abbildung L. Nun kommen wir zum Pendant vom Kern, dem Begriff des Bildes. Unter dem Bild einer linearen Abbildung L versteht man all die Elemente des Wertebereichs, die unter der Abbildung L sozusagen erreicht werden. Was bedeutet das? W ist genau dann ein Element des Bildes, wenn ein V existiert, das unter L auf W abgebildet wird. Und dasselbe kann man auch noch kürzer aufschreiben. Das Bild besteht aus allen Elementen der Gestalt L(v), wobei v den ganzen Definitionsbereich abläuft. Und das Ganze kann man noch kürzer aufschreiben, man kann einfach nur schreiben: L(V) . Also gemeint ist hier die Bildmenge des Definitionsbereichs V unter der Abbildung L. Am Anfang von jedem Kurs Analysis werden solche Begriffe wie Bildmenge, U-Bildmenge diskutiert, also das ist hier in diesem Sinne die Bildmenge von V unter der Abbildung L. Also das alles ist das Bild. Und hier wiederum gibt es eine Veranschaulichung zum Begriff "Bild". Also, wir stellen uns vor, die Abbildung L, die zwischen V und W wirkt, funktioniert nach der folgenden Regel: Jeder beliebige Punkt im Definitionsbereich V landet unter L auf der roten Linie im Wertebereich W. D. h., wenn ich im Wertebereich W einen Punkt nehme, der außerhalb der roten Linie liegt, so hat er kein U-Bildelement unter der Abbildung L. Also es gibt im Definitionsbereich keinen einzigen Punkt, der auf diesem schwarzen Punkt abgebildet wird. Alle Punkte im Definitionsbereich landen unter der Abbildung L auf der roten Linie. Und unter diesen Umständen ist die rote Linie das Bild der Abbildung L. Soweit die Veranschaulichung. Nun noch ein paar Worte zu den Bezeichnungen. In der Literatur werden oft englischsprachige Begriffe verwendet. Und ich habe sie hier aufgeführt. Also, Kern wird so bezeichnet: "ker", das steht für das entsprechende englische Wort "kernel". Und Bild wird manchmal mit "ran" bezeichnet, manchmal mit "im" . Und "ran" steht für das englische "range" und  "im" steht für das englische "image". Das ist alles dasselbe. In diesem Videokurs werden wir konsequent die deutschen Bezeichnungen verwenden, also Kern und Bild. Das sind die Begriffe; das sind die Definitionen. Auf dieser Seite gibt es einige Beispiele für Kern und Bild, wo für konkrete lineare Abbildungen Kern und Bild explizit ausgerechnet werden. Nun noch eine Bemerkung zu der Beschaffenheit von Kern und Bild. Kern und Bild sind nicht nur Teilmengen vom Definitionsbereich bzw. vom Wertebereich. Nicht nur Teilmengen, sie sind sogar Unterräume. Sie haben lineare Unterraumstruktur. Und nicht umsonst habe ich sie hier mit roten Linien bezeichnet. Also, sie sind Unterräume. Es ist sehr wichtig, diese Tatsache zuverstehen. Kern und Bild sind Unterräume. Deswegen gibt es auf dieser Seite eine Übungsaufgabe, sie heißt direkt so, "Kern und Bild sind Unterräume", wo diese Tatsachen bewiesen werden. Und sowohl Ingenieure als auch Naturwissenschaftler, ganz zu schweigen von Mathematikern, sollen in dieser Lernphase diese Beweise durchführen können. Also, ich empfehle euch, setzt euch mit diesen Beweisen auseinander.   Na gut, soweit für den Anfang. Jetzt besprechen wir Kern und Bild für eine Matrix. Zu einer jeden Matrix A gehört bekanntlich eine lineare Abbildung, die die Matrixvektormultiplikation mit dieser Matrix A ausführt. Und unter dem Kern und dem Bild einer Matrix A versteht man entsprechend den Kern und das Bild dieser assoziierten linearen Abbildung. Wir brauchen hier keine neue Definition, ich schreibe einfach nur die alten Definitionen von Kern und Bild für die Matrix A um. Also Kern der Matrix A besteht per Definition aus all den Vektoren x, die durch die assoziierte lineare Abbildung auf 0 abgebildet werden. In anderen Worten, der Vektor x gehört zum Kern genau dann, wenn A×x=0 ist. Analog mit dem Bild. Das Bild der Matrix A besteht aus allen Vektoren y, die unter der assoziierten linearen Abbildung erreichbar sind. In anderen Worten: Ein Vektor y gehört zum Bild der Matrix A genau dann, wenn das lineare Gleichungssystem Ax=y lösbar ist bezüglich x. Also, es gibt einen Vektor x, der dieses lineare Gleichungssystem löst. Okay, das sind die Begriffe Kern und Bild für eine Matrix. Und beliebt sind Übungsaufgaben folgender Art: Man bekommt eine konkrete Matrix und man soll den Kern und das Bild der Matrix ausrechnen, man soll eine Basis des Kernes und eine Basis des Bildes angeben und man soll die Dimensionen von Kern und Bild bestimmen. Auf der Seite sofatutor.com, auf dieser Seite, gibt es eine entsprechende Übungsaufgabe, wo ich alle diese Rechentechniken durchexerziere. Und natürlich geht das alles mit dem Algorithmus von Gauß. Womit denn sonst? Weil diese Bedingungen hier, die in der Definition von Kern und Bild stecken, das sind lineare Gleichungssysteme bezüglich x. Bei Interesse schaut euch diese Übungsaufgabe an. Sie heißt buchstäblich so: "Kern und Bild einer Matrix". Nun kommen wir zu einer Behauptung, die den Kern und das Bild einer linearen Abbildung mit ihrer Injektivität und Surjektivität in Verbindung setzt. Die Behauptung steht hier an der Tafel. Die ist sehr kurz. Wir haben eine lineare Abbildung L :V -> W ohne weitere Voraussetzungen. L ist injektiv genau dann, wenn ihr Kern einzig und alleine aus dem Nullvektor besteht. Und ich bin manchmal nachlässig mit der Notation. Manchmal bezeichne ich den Nullvektor mit 0 Index W im Wertebereich W. Manchmal einfach nur mit 0. Ich bin der Meinung, das führt nicht zu Missverständnissen. Übrigens, ein Unterraum, der einzig und allein aus dem Nullvektor besteht, der Nullunterraum, nennt man auch gerne trivial. Insofern kann man den ersten Teil der Behauptung so lesen, den ersten Teil: L ist injektiv genau dann, wenn der Kern von L trivial ist. Sehr hübsche Aussage. Mit der Surjektivität ist ja auch alles ganz einfach. Die Abbildung L ist surjektiv genau dann, wenn ihr Bild mit dem Wertebereich W übereinstimmt. Und die zweite Aussage ist so gut wie takttautologisch. Warum denn? Wir haben uns klargemacht, dass das Bild einer linearen Abbildung nichts anderes als die Bildmenge des Definitionsbereiches V unter der Abbildung L ist. Das ist per Definition so. Und eine Abbildung L ist per Definition surjektiv, wenn die Bildmenge des Definitionsbereiches mit dem Wertebereich übereinstimmt, d. h., jedes Element im Wertebereich ist erreichbar unter der Abbildung L. Und diese Gleichung bedeutet per Definition die Surjektivität. Also, die zweite Aussage, das ist einfach nur eine Umschreibung der Definitionen. Da gibt es nichts zu beweisen, bei der zweiten Aussage. Ein bisschen was tun, muss man bei der ersten Aussage und der Beweis ist sehr hübsch und für uns Anfänger sehr instruktiv, deswegen gehen wir den Beweis in allen Einzelheiten durch. Es wird nicht lange dauern. Als Erstes beweisen wir die Richtung von links nach rechts in der ersten Aussage. Wir setzen also voraus, dass unsere Abbildung L injektiv ist, und müssen zeigen, dass ihr Kern trivial ist. Dazu nehmen wir einen beliebigen Vektor x aus dem Kern und müssen zeigen, dass er zwangsläufig gleich 0 ist. Wenn jeder Vektor, den man da aus dem Kern herausnimmt, gleich 0 ist, dann besteht der Kern nur aus dem Nullvektor.   Gut, also lasst uns anfangen. Zuerst nutze ich die Voraussetzung, dass der Vektor x im Kern enthalten ist. Wenn ich die Abbildung L auf den Vektor x anwende, so kommt 0 heraus. Das war die Eigenschaft, dass x im Kern enthalten ist. Also, per Definition ist das so. Die Abbildung L ist nach Voraussetzung linear. Jede lineare Abbildung bildet den Nullvektor im Definitionsbereich auf dem Nullvektor im Wertebereich. Also, kurz: L(0)=0. Und das ist so, weil die Abbildung L linear ist. Daraus ergibt sich die folgende Gleichung: L(x)=L(0). Nun erinnern wir uns an die Definition der Injektivität, die habe ich hier im Rahmen zusammengefasst. Wenn ich beliebige Mengen X und Y habe und eine völlig beliebige Abbildung f von X nach Y, dann ist die Abbildung f injektiv, genau dann, wenn die folgende Implikation erfüllt ist: Wenn ich für 2 Punkte a und b gleiche Bilder habe, so müssen die Punkte a und b selbst übereinstimmen. Also aus f(a)=f(b) folgt immer a=b. Das ist die Injektivität. Und hier haben wir vorausgesetzt, dass die Abbildung L injektiv ist, und ihre Werte, die Bildpunkte auf x und auf 0 stimmen überein, das haben wir gerade hergeleitet. Weil die Abbildung L injektiv ist, muss folgen, dass die Punkte x und 0 übereinstimmen. Das war aber zu zeigen. Und wir sind fertig mit der Richtung von links nach rechts. Nun beweisen wir auch die Umkehrung in der Aussage 1. Wir setzen also voraus, dass der Kern der Abbildung L trivial ist, und müssen zeigen, dass daraus die Injektivität der Abbildung L folgt. Wir gehen nach der Definition der Injektivität, die hier zusammengefasst ist. Wir müssen also für die Abbildung L unter der Voraussetzung des trivialen Kerns, diese Implikation hier zeigen. Dazu nehmen wir 2 Elemente x und y im Definitionsbereich, sodass die Bilder der Abbildung L an diesen Elementen übereinstimmen. Wir müssen zeigen, dass x und y gleich sein müssen. Nachdem, was hier im Rahmen steht, ist dann die Abbildung L injektiv. Na gut. Wir nehmen dann die Gleichung L(x)=L(y) und schieben L(y) auf die linke Seite. Wenn wir von L(x) L(y) abziehen, dann bleibt 0 übrig, weil die beiden Elemente gleich sind. Nun nutzen wir die Linearität der Abbildung L, insbesondere ist L homogen. Das bedeutet, dass man Minus hier in die Klammer schieben kann. Also, ich habe hier L(-y). Dann ist L außerdem additiv, deswegen kann ich das so zusammenfassen: Das ist L(x-y). Nun, was haben wir hier ausgerechnet? Die Differenz x-y wird unter der Abbildung L auf 0 abgebildet. Per Definition muss die Differenz x-y im Kern der Abbildung L enthalten sein. Das fixieren wir. Daraus folgt, x-y liegt im Kern von L. Nun nutzen wir unsere Voraussetzung. Wir haben vorausgesetzt, dass der Kern der Abbildung L trivial ist, also genau aus dem Nullvektor besteht. Und die Differenz x-y ist in diesem Kern enthalten. Der Kern hat aber keine anderen Bestandteile, als den Nullvektor. Also muss die Differenz x-y dem Nullvektor gleich sein. In der Gleichung x-y=0 schieben wir y auf die rechte Seite und bekommen das Gewünschte: x=y. Und das war zu zeigen. Also wie ihr seht, der Beweis zu der Behauptung 1 ist sehr kurz. Man nutzt einfach nur die Definitionen, man setzt sie geschickt zusammen und die Aussagen ergeben sich sehr schnell. Ich empfehle euch, setzt euch mit dieser Technik auseinander. Also, solche Beweise müsst ihr führen können. Das ist das Anfängerniveau. Die Behauptung selbst muss man auswendig lernen. Also, eine Abbildung L ist injektiv genau dann, wenn ihr Kern trivial ist. Eine Abbildung L ist surjektiv genau dann, wenn ihr Bild mit dem Wertebereich übereinstimmt. Das verwendet man sehr oft bei den Übungsaufgaben.   Wir haben oben bemerkt, dass der Kern einer linearen Abbildung ein Unterraum in ihrem Definitionsbereich ist. Außerdem wissen wir, dass das Bild einer linearen Abbildung ein Unterraum in ihrem Wertebereich ist. Also, die beiden Teilmengen sind Unterräume. Und für Unterräume kann man Dimensionen berechnen. Dimensionen sind zwei natürliche Zahlen, und die lassen sich in Verbindung bringen mit Hilfe von dieser Formel. Das ist die berühmte Dimensionsformel. Die Dimension des Kernes einer linearen Abbildung + die Dimension des Bildes einer linearen Abbildung = der Dimension ihres Definitionsbereiches. Und das gilt unter sehr allgemeinen Voraussetzungen. Also, wir setzen voraus, dass die Abbildung L linear ist, dass tun wir die ganze Zeit bei diesem Thema, und außerdem setzen wir voraus, dass die Vektorräume V und W endlich-dimensional sind. Und nichts weiter. Die Formel ist sehr, sehr wichtig, deswegen ist sie hier in einem roten Rahmen eingefasst. Bitte lernt diese Formel auswendig! Sie wird oft verwendet, zum Beispiel bei der Analyse der Injektivität und Surjektivität einer linearen Abbildung. Wir haben auf den vorangegangenen Tafeln gelernt, dass Kern und Bild viel mit der Injektivität und Surjektivität zu tun haben. Und nun, wenn man diese Formel hat, kann man die Frage beantworten: Wie hängen denn Injektivität und Surjektivität einer Abbildung mit den Dimensionen der beteiligten Vektorräume zusammen? Das ist ein kleines Thema für sich und wird in einer extra Übungsaufgabe hier auf dieser Seite behandelt. Die Übungsaufgabe heißt: "Injektivität, Surjektivität und Dimensionen". Schaut sie euch an, bei Interesse. Gut, wenn hier schon die Zahl "Dimension des Bildes" aufgetaucht ist, dann geben wir eine zusätzliche Definition. Diese Zahl nennt man gerne auch: Der Rang der Abbildung L. Und das ist nicht zufällig so, dass diese Zahl als Rang bezeichnet wird. Am besten versteht man das, wenn statt einer allgemeinen linearen Abbildung L eine Matrix betrachtet. Und das tun wir gleich.   In diesem Videokurs, im Kapitel über lineare Gleichungssysteme und dem Algorithmus von Gauß, haben wir den Begriff des Ranges für eine Matrix eingeführt. Danach ist der Rang einer Matrix die Anzahl der Pivotelemente in der Zeilenstufenform dieser Matrix. Das ist also eine natürliche Zahl. In diesem Video haben wir den Begriff des Bildes für jede Matrix eingeführt, das ist ein Unterraum. Für den Unterraum kann man die Dimensionen berechnen und es ergibt sich wieder eine natürliche Zahl. Das Bemerkenswerte ist, dass die beiden natürlichen Zahlen übereinstimmen. Also für jede Matrix A ist der Rang der Matrix gleich der Dimension des Bildes dieser Matrix. Das ist eine nicht-triviale Aussage, durchaus beweisbedürftig. Den Beweis möchte ich an dieser Stelle nicht führen, aus Zeitgründen. Wir nehmen diese Formel bitte zur Kenntnis. Sie ist ja sehr wertvoll. Und wenn wir diese Formel vor Augen haben, dann wird es verständlich, woher der Begriff eines Ranges für eine abstrakte lineare Abbildung kommt. Also der Rang einer linearen Abbildung ist gleich der Dimension ihres Bildes. Wir sehen schon an dieser Stelle, dass die Definition des Ranges für lineare Abbildungen, dieser Formel hier entlehnt ist. Wir wissen außerdem, dass jeder Matrix A eine lineare Abbildung zugeordnet ist, die durch die Matrixvektormultiplikation gegeben ist. Hat die Matrix A n Spalten, so ist der Definitionsbereich der entsprechenden linearen Abbildung der Vektorraum Rn. Nun lasst uns für diese lineare Abbildung die Dimensionsformel ausschreiben. Dimension des Kernes + Dimension des Bildes = Dimension des Definitionsbereiches. Hier ist das. Dimension des Kernes + Dimension des Bildes, habe ich schon durch den Rang ersetzt, wir haben da die Formel oben. Und das ist gleich der Anzahl der Spalten der Matrix A. Wir haben gerade besprochen, dass die Anzahl der Spalten der Matrix A gleich der Dimension des Definitionsbereiches der zugehörigen linearen Abbildung ist. Also, das hier ist nichts Neues, die Dimensionsformel für abstrakte lineare Abbildungen noch einmal umgeschrieben für Matrizen. Die ist auch in dieser Form nicht beweisbedürftig. Bitte merkt euch diese Formel, sie ist bequem für Analyse mit Matrizen. Und besonders interessant wird die Sache, wenn wir den Spezialfall einer quadratischen Matrix betrachten. Also mithilfe der Dimensionsformel kann man eine ganze Reihe von interessanten Äquivalenzaussagen herleiten für das Bild der Matrix, für den Kern der Matrix, für den Rang der Matrix, für die Determinante der Matrix und so weiter und so fort, für sehr viele algebraische Eigenschaften von quadratischen Matrizen. Man kann aus der Dimensionsformel eine Äquivalenzkette von sage und schreibe zehn Aussagen herleiten. Und diese Äquivalenzkette ist sehr wertvoll für die Übungsaufgaben und auch für Klausuren. Diesen Fragenkomplex, also die Dimensionsformel von Kern und Bild von quadratischen Matrizen, das betrachte ich im nächsten Video. Ich empfehle euch: Schaut euch das Video an. Es wird sich lohnen im Hinblick auf die Klausuren. Gut, das sind hier die ersten Informationen für Kern und Bild, für lineare Abbildungen und auch für Matrizen. Ich empfehle euch an dieser Stelle auch ein Video zur Anwendung von Kern und Bild. Es geht um die Lösungsstruktur von linearen Gleichungen. Also, die Lösungsmenge von linearen Gleichungen kann man bequem in Termen von Bild und Kern von beteiligten linearen Abbildungen aufschreiben. So weit so gut, ich danke euch fürs Zuschauen und wir sehen uns im nächsten Video, tschüss!  

Informationen zum Video
8 Kommentare
  1. Default

    Könntest du vlt. ein Beispiel zeigen in der eine Abbildung nicht Injektiv ist?

    Von Karl Hier, vor etwa 3 Jahren
  2. Default

    Sehr professionell und anschaulich erklärt. Bester Tutor hier!

    Von Christianahrenshh, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    Hallo Hansdampf2709,
    leider ist die Terminologie in der mathematischen Literatur nicht ganz einheitlich. Wenn von dem Wertebereich einer Abbildung die Rede ist, so meinen manche Autoren damit die Bildmenge der Abbildung, andere verstehen darunter die Zielmenge. Beide Sprachregelungen kommen vor. Daher muss man immer auf den Zusammenhang achten.
    Im vorliegenden Video ist mit dem Terminus Wertebereich stets die jeweilige Zielmenge gemeint. Unter diesem Gesichtspunkt sollten die Testfrage und eine der angegebenen Antwortvarianten stimmig sein. Ich hoffe, Dir mit dieser Klarstellung weitergeholfen zu haben.
    Gruß Sergej.

    Von Sergej Schidlowski, vor fast 4 Jahren
  4. Default

    Okay, wenn ich statt Definitions- Wertebereich hernehme, ist die Lösung aber immernoch falsch oder? Dann ist die Abbildung einfach surjektiv! Außerdem sind doch Wertebereich und Bild das gleiche? Oder meint ihr mit Wertebereich die Zielmenge? Ich kenne den Wertebereich als W:={f(x) in B | x in A} für f: A -> B Also irgendwie klappt das für mich nicht...

    Von Hansdampf2709, vor fast 4 Jahren
  5. Default

    Lieber Hansdampf2709,
    Danke für Deine Frage. Die Quelle der Konfusion ist ein Schreibfehler in der Aufgabe nach dem Video. Ersetze bitte in der Aufgabenstellung das Wort "Definitionsbereich" durch das Wort "Wertebereich". Viel Spaß und viel Erfolg weiterhin mit der linearen Algebra!
    Gruß Sergej.

    Von Sergej Schidlowski, vor fast 4 Jahren
  1. Default

    Das Video ist sehr gut, aber Ich verstehe die Aufgabe nach dem leider Video nicht: Die Identität von R ist ja eine Lineare Abbildung, bei der Bild(f)=R, also gleich dem Definitionsbereich ist. Der Kern ist aber offensichtlich nicht leer und ich verstehe auch nicht, warum er das im Allgemeinen sein sollte. Allgemeiner würde ich sagen, dass Identitäten immer die obigen Forderungen erfüllen und auch linear sind...?! Confused..

    Von Hansdampf2709, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Vielen Dank!

    Von Marc Jo, vor fast 4 Jahren
  3. Default

    Danke! Sie erklären es sehr anschaulich und verständlich.

    Von Stuschud, vor etwa 4 Jahren
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