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Transkript Theorie 3: Berechnung der Koordinatentransformation in IR^n

Hallo, ich bin Sergej, im vorangegangenen Video haben wir für allgemeine Vektorräume ähnlicher Dimension, die Koordinatenabbildung kennengelernt und die Transformationsmatrix beim Basiswechsel. Die Umrechnung der Koordinaten bei der einen Basis zur anderen, wird prägnant durch dieses kommutative Diagramm beschrieben. Wir erinnern uns: In Übungsaufgaben zu diesem Thema befindet man sich typischerweise in der folgenden Situation: Man hat einen Vektorraum V und dort zwei Basen. Meinetwegen B und B'. Man steht vor den folgenden zwei Fragen: Wie berechne ich die Koordinatenabbildung für die jeweilige Basis? Und wie berechne ich die Transformationsmatrix beim Basiswechsel? In diesem Video werden wir eine praktische Rechenanleitung geben zur Beantwortung dieser Fragen. Allerdings nur in einem Spezialfall. Statt eines allgemeinen Vektorraumes V, betrachten wir hier den Raum Rn. Die einfache Struktur des Raumes Rn erlaubt es, für die Koordinatenabbildung und für die Transformationsmatrix einfache, kurze, explizite Formeln herzuleiten, die wir dann bei den Übungsaufgaben verwenden können. Also bei Übungsaufgaben übernehmen wir die fertigen expliziten Formeln aus diesem Video und sparen dabei Zeit. Wir entwickeln nun eine explizite Formel für die Koordinatenabbildung. Im Vektorraum Rn fixieren wir eine Basis B, bestehend aus den Spaltenvektoren B1, B2 usw. bis Bn. Wir nehmen nun einen beliebigen Vektor V aus dem Raum Rn und entwickeln ihn in dieser Basis B. Also der Vektor V lässt sich als eine Linearkombination von Basisvektoren schreiben. Die Koeffizienten dieser Linearfunktion x1, x2 usw. xn sind per Definition die Koordinaten des Vektors V bezüglich der Basis B. Also wenn wir den Vektor V in die Koordinatenabbildung einsetzen, so kommt als Wert der Spaltenvektor x1 bis xn heraus. Per Definition der Koordinatenabbildung. Um eine explizite Formel für die Koordinatenabbildung zu gewinnen, müssen wir den Spaltenvektor x1 bis xn durch die Vektoren V und die Basisvektoren irgendwie ausdrücken. Und das geschieht mithilfe einer kurzen Rechnung. Hier habe ich die Rechnung schon angefangen an der Tafel. Wir gehen von der Basisentwicklung aus. Und diese Basisentwicklung wollen wir umschreiben. Dazu stellen wir die Basisvektoren b1 bis bn als Spalten in eine Matrix zusammen und multiplizieren diese Matrix mit dem Spaltenvektor x1 bis xn. Nach den Regeln der Matrix-Vektor-Multiplikation kommt eben als Ergebnis, diese Linearkombination zustande, also sind diese zwei Zeilen äquivalent. Das ist eine äquivalente Umformung. Nun beschäftigen wir uns mit dieser Matrix. Die Basisvektoren sind per Definition linear unabhängig. Also das hier ist eine quadratische Matrix mit linear unabhängigen Spalten. Und solche Matrizen haben bemerkenswerte Eigenschaften, die haben wir in einem Video diskutiert auf dieser Seite, das Video heißt: Kern und Bild von quadratischen Matrizen. Und dort werden nicht nur Kern und Bild diskutiert, sondern auch viel anderes mehr, unter anderem ist dort Folgendes begründet: Wenn in einer quadratischen Matrix Spalten linear unabhängig sind, dann ist diese Matrix auch invertierbar. Und das brauchen wir an dieser Stelle. Wir werden nun also mit der Inversen zu dieser Matrix hantieren. Und zwar machen wir Folgendes: Wir multiplizieren diese beiden Seiten der Gleichung von links mit der Inversen, der entsprechenden Matrix. Also b1 und b2, das sind die Spalten dieser Matrix bis bn. Wir bilden die Inverse und multiplizieren sie von links. Überall. Was heißt überall? Auf der linken und auf der rechten Seite. b1, b2 und so weiter und so fort, bis bn invers und multipliziert mit dem Vektor V. Auf der linken Seite haben wir das Produkt inverse Matrix × die Matrix selbst. Und nach den Eigenschaften von inversen Matrizen weiß man, dass als Ergebnis die Einheitsmatrix hier herauskommt, der Dimension N kreuz n. Wenn man die Einheitsmatrix mit dem Spaltenvektor x1 bis xn ausmultipliziert, so kommt eben dieser Vektor selbst heraus. Also der Vektor wird durch die Multiplikation mit der Einheitsmatrix nicht verändert. Also im Ergebnis steht auf der linken Seite einfach nur der Spaltenvektor x1 bis xn. Und wir haben schon unser Ziel erreicht. Wir haben den Spaltenvektor durch die Vektoren V und B's ausgedrückt. Ja und das ist gerade unsere Koordinatenabbildung, dieser Spaltenvektor war doch gleich der Koordinatenabbildung bezüglich der Basis B ausgewertet am Vektor V. Es besteht diese Gleichheit. Nun können wir den Spaltenvektor x1 bis xn entfernen und es bleibt die gesuchte explizite Formel übrig. Und das ist unser Ergebnis. Nun entwickeln wir eine explizite Formel zur Berechnung der Transformationsmatrix. Dazu fixieren wir im Raum Rn zwei Basen, B und B' und schreiben für diese Basen erst einmal die Formeln auf, die wir schon kennen und die für uns nützlich sein könnten. Zum Einen haben wir auf der vorangegangenen Tafel die explizite Formel für die Koordinatenabbildung entwickelt. Wir schreiben diese Formel einmal für die Basis B auf und einmal für die Basis B'. Zum Anderen kennen wir das kommutative Diagramm, das die Koordinatenabbildung mit der Transformationsmatrix verbindet. Hier ist dieses Diagramm und aus diesem Diagramm lässt sich eine weitere Formel entwickeln. Dazu kehren wir den Pfeil, der der Koordinatenabbildung KB entspricht um. Und das ist zulässig, weil die Koordinatenabbildung KB invertierbar ist. Und die Bewegung in die entgegengesetzte Richtung entspricht der Abbildung mit der Inversen. Nun, wenn wir einmal mit der Abbildung KB invers laufen und dann mit der Abbildung KB', dann aufgrund der Kommutativität des Diagramms, das ist dasselbe, wie wenn wir mit der Transformationsmatrix abbilden. Und daraus folgt diese Formel hier: also KB invers verknüpft mit KB', das ist dasselbe wie die Transformationsmatrix S. Und aus dieser Formel lässt sich die explizite Gestalt der Matrix erst errechnen. Lasst uns das tun. Dazu nehmen wir einen beliebigen Vektor x aus RN und setzten ihn in diese Formel ein. Also wieder auf der linken Seite multiplizieren wir die Matrix S mit dem Vektor x aus und auf der rechten Seite setzten wir den Vektor x in die verknüpfte Abbildung ein.  Lasst uns nun die rechte Seite ausrechnen. Dazu brauchen wir die inverse Koordinatenabbildung. Und wir kennen aber nur die Formel für die direkte Abbildung. Und in diesem Zusammenhang wird uns die folgende Tatsache helfen, wenn wir eine lineare Abbildung L haben, von Rn nach Rn, die durch die Matrixvektormultiplikation gegeben ist, explizit, also die Matrix A wird da mit einem Vektor x multipliziert und die Matrix A ist invertierbar, so ist dann die inverse Abbildung gegeben, durch die Multiplikation mit der inversen Matrix. Diese Tatsache nutzen wir jetzt für die Inverse der Koordinatenabbildung. Also die Koordinatenabbildung war die Multiplikation mit einer gewissen invertierten Matrix. Also die inverse Abbildung entspricht der Multiplikation mit der zwiefachen invertierten Matrix. Also zweifache Invertierung hebt sich auf und wir bekommen die Multiplikation einfach mit der ursprünglichen Matrix. Also hier ist die Formel für die Inverse der Koordinatenabbildung. Nun verwenden wir diese Formel. Wir setzten die Formel hier ein. Also die Abbildung KB' von - nun schreiben wir diese Formel hier ab - indem wie v durch x ersetzen-, also die Multiplikation mit der Matrix besteht aus den Spalten b bis bn und es wird da der Vektor c ausmultipliziert. Die Formel für die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis B' kennen wir, sie steht hier an der Tafel. Also das ist Multiplikation mit der inversen Matrix, in der als Spalten die Basisvektoren der neuen Basis stehen. Ja und nun ersetzen wir V durch dieses Produkt hier. Also mal die Matrix bestehend aus den Spalten b1 bis bn und mal dem Vektor x. Nun sind wir fertig. Also hier ist das, womit wir angefangen haben, und hier ist das, womit wir aufgehört haben. Also Multiplikation mit der Transformationsmatrix S ist dasselbe, wie die Multiplikation mit diesem Matrixprodukt. Also muss dieses Matrixprodukt gleich der Transformationsmatrix sein. Und das ist unsere explizite Formel. Wir fassen nun noch zusammen: Wir haben so eben gezeigt, dass sich die Transformationsmatrix nach dem folgenden Verfahren errechnen lässt: Zuerst nehmen wir die Vektoren der neuen Basis und stellen sie als Spalten zu einer Matrix zusammen. Dann invertieren wir diese Matrix. Als Nächstes nehmen wir die Vektoren der alten Basis und stellen sie ebenfalls zu einer Matrix zusammen. Diese zweite Matrix darf nicht invertiert werden. Als Nächstes multiplizieren wir die beiden Matrizen aus und wir bekommen exakt die Transformationsmatrix beim Basiswechsel von B zu B'. Und wir erinnern uns, dass die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis B sich aus der Multiplikation mit der Inversen der Matrix ergibt, die dadurch entsteht, dass man die Basisvektoren zu einer Matrix zusammensetzt. Das sind also die expliziten Formeln, die ich am Anfang des Videos angekündigt habe. Wir werden mit diesen Formeln üben, und zwar in der Aufgabe, die heißt: Basiswechsel in Rn. Gibt es auch auf dieser Seite. Schaut es euch bei Interesse an. An dieser Stelle ist ein Wort der Warnung angebracht: Diese schönen, expliziten Formeln, gelten nur im Vektorraum RN. Bei der Herleitung haben wir sehr wesentlich die einfache Struktur von diesem Vektorraum benutzt. Bitte versucht nicht, durch blindes Nachahmen, diese Formel irgendwie auf allgemeinere Vektorräume zu übertragen. Zum Beispiel auf den Vektorraum der Polynome oder auf den Vektorraum der Matrizen. Für die allgemeineren Vektorräume gibt es eigene Rechentechniken. Und diese werden auch in einer Übungsaufgabe demonstriert. Und das entsprechende Video heißt: Basiswechsel in allgemeinen Vektorräumen. Schaut es euch bei Interesse an. An dieser Stelle danke ich euch für eure Aufmerksamkeit. Wir sehen uns in einem der nächsten Videos, tschüss.

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