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Transkript Theorie 2: Transformation der Koordinaten bei Basiswechsel

Hallo! Ich bin Sergej. Bekanntlich lassen sich Elemente eines Vektorraums durch Koordinaten beschreiben. Von Koordinaten hat schon jeder was gehört, und Koordinaten werden in Bezug auf eine Basis berechnet. Also, hat man in einem Vektorraum V eine Basis fixiert, Basis B, so wird dieser Basis eine Abbildung zugeordnet, die sogenannte Koordinatenabbildung, die eben die Koordinaten bezüglich der Basis B berechnet. Im vorangegangenen Video haben wir ausführlich die Koordinatenabbildung diskutiert. Wir haben festgestellt, dass sie linear und bijektiv ist, und um die Tatsache zu betonen, dass sie bijektiv ist, schreibt man oft und gerne eine Welle über diesen Pfeil. Also, die Koordinatenabbildung KB berechnet Koordinaten bezüglich der Basis B. Nun ist es aber so, dass in einem Vektorraum eine Basis nicht eindeutig bestimmt ist. Was meine ich damit? In einem gegebenen Vektorraum gibt es beliebig viele Basen, unendlich viele Basen, mit einer einzigen Ausnahme. Der triviale Vektorraum, der aus einzig und allein dem Nullvektor besteht, der hat per Konvention keine Basis. Jeder andere Vektorraum, der von diesem primitiven Vektorraum verschieden ist, hat unendlich viele Basen, und jede von diesen unendlich vielen Basen gibt uns ein anderes Koordinatensystem. In diesem Video werden wir systematisch der Frage nachgehen, wie Koordinatensysteme zusammenhängen, die von verschiedenen Basen kommen. Ja, also in einem Vektorraum V, dem reellen Vektorraum der Dimension n, fixieren wir 2 Basen: die Basis B und die Basis B'. Die Basis B' besteht aus den Vektoren b1', b2' und so weiter bis bn'. Beachtet bitte, dass dieser Strich nichts mit Ableitungen zu tun hat. Es ist so aus Gründen der Buchstabenökonomie bezeichnen wir jede Basis mit dem Buchstaben B. Also B steht für Basis, und weil wir hier 2 Basen haben, die wir voneinander unterscheiden wollen, dann versehen wir einfach nur die 2. Basis mit einem Strich. Mit Ableitung hat das nichts zu tun. Wir haben hier die Basis B und die Basis B'. Jeder dieser Basen ist eine Koordinatenabbildung zugeordnet, KB und KB'. Natürlich ist auch die Koordinatenabbildung KB' bijektiv; also eine Welle gehört auch über diesen Pfeil. Nun machen wir Folgendes: Wir nehmen einen beliebigen Vektor V und setzen ihn in die Koordinatenabbildung KB ein. In anderen Worten: Wir berechnen die Koordinaten des Vektors V bezüglich der Basis B. Es kommt eine Spalte mit den Koordinaten heraus, sagen wir mal x1 bis xn. Nun tun wir dasselbe in Bezug auf die Basis B'. Wir setzen den Vektor V in die Koordinatenabbildung KB', und es kommt ein Spaltenvektor heraus mit den Koordinaten des Vektors V bezüglich der Basis B', sagen wir mal die Zahlen x1' bis xn'. Und weil die Basen B und B' verschieden sind, werden auch die Spaltenvektoren – x ohne Strich und x mit Strich – verschieden sein. Diese Spalten sind nicht gleich, obwohl sie denselben Vektor beschreiben, und das ist sozusagen nicht so schön. Sie müssen dann denselben Vektor V beschreiben, sind aber nicht gleich untereinander. Weil sie aber denselben Vektor V beschreiben, hängen diese Koordinatenspalten sehr eng miteinander zusammen. Es gibt eine Formel, wie man die eine Spalte in die andere Spalte umrechnet, und in diesem Video werden wir diese Formel kennenlernen und ausführlich diskutieren. Wie rechnet man die Koordinaten bezüglich einer Basis in die Koordinaten bezüglich der anderen Basis um? Um die versprochene Umrechnungsformel zu bekommen, brauchen wir eine Hilfskonstruktion, die sogenannte Transformationsmatrix bei Basiswechsel von B zu B'. Sie ist wie folgt definiert: Wir nehmen den ersten Vektor aus der alten Basis B, den Vektor b1, und entwickeln ihn nach der neuen Basis, nach der Basis B'. Also, b1 ist ein ganz normaler Vektor im Vektorraum V, und B' ist eine ganz normale Basis in diesem Vektorraum. Jeder Vektor lässt sich als eine Linearkombination der Basisvektoren schreiben, und die Koeffizienten dieser Linearkombination sind eindeutig bestimmt. Das ist die bekannte Basiseigenschaft, und wir bezeichnen diese eindeutig bestimmten Koeffizienten mit den Zahlen Sij. Es entsteht die folgende Gleichung: b1= Linearkombination mit den Koeffizienten S11, S21 und so weiter und so fort bis Sn1. b1=S11×b1'+S21×b2'+ ... und so weiter und so fort bis Sn1bn'. Dasselbe können wir mit jedem weiteren Vektor der alten Basis B machen. Wir entwickeln jeden Vektor der alten Basis B nach der neuen Basis B' und schauen, was passiert. Wenn wir jeden Vektor der alten Basis bezüglich der neuen Basis B' entwickeln, so entsteht dadurch eine Familie von Zahlen, Sij. Das sind einfach nur die Entwicklungskoeffizienten. Oder in anderen Worten: Die Zahlen Sij sind die Koordinaten der alten Basisvektoren bezüglich der neuen Basis B'. Die Zahlen Sij werden in einer Matrix angeordnet, und diese Matrix ist so wichtig, dass sie auch einen eigenen Namen erhält. Sie wird mit dem Buchstaben groß SBB' bezeichnet, und man nennt sie die Transformationsmatrix beim Basiswechsel von B zu B', oder auch alternativ die Basisübergangsmatrix von B zu B'. Nun noch ein paar Bemerkungen zu den Rechentechniken. Dieses Gleichungssystem mit den Basisentwicklungen lässt sich auch kürzer aufschreiben, indem man das Summenzeichen verwendet. Hier ist die Kurzschreibweise für dieses Gleichungssystem. Außerdem soll man sich die Art und Weise merken, wie die Zahlen Sij in die Transformationsmatrix eingehen. Also, hier im Gleichungssystem stehen die Zahlen S11, S12 und so weiter und so fort bis S1n alle untereinander. Sie sind sozusagen in einer Spalte angeordnet. In der Transformationsmatrix erscheinen dieselben Zahlen in einer Zeile. Also alles, was hier spaltenweise angeordnet ist, geht in die Transformationsmatrix zeilenweise ein. Das soll man sich merken. Nun wollen wir klären, was die Transformationsmatrix mit der Umrechnung der Koordinaten zu tun hat. Die Spannung steigt. Wir setzen nun die Transformationsmatrix beim Basisübergang von B zu B' in Beziehung zu den Koordinatenabbildungen, die zu den beiden Basen gehören. Dazu fixieren wir einen beliebigen Vektor V und betrachten seine Koordinaten bezüglich der alten Basis B und der neuen Basis B'. Die Koordinaten bezüglich der alten Basis sind mit den Zahlen x1 bis xn bezeichnet, die Koordinaten bezüglich der neuen Basis sind mit den Zahlen x1' bis xn' bezeichnet. Die alten Koordinaten sind in den Spaltenvektor x angeordnet, die neuen Koordinaten sind entsprechend in den Spaltenvektor x' angeordnet. Wir fragen uns: Welche Beziehung besteht denn zwischen den alten Koordinaten und den neuen Koordinaten desselben Vektors V? Und die Antwort ist überraschend einfach. Wenn wir die Transformationsmatrix beim Basiswechsel von B zu B' mit den alten Koordinaten des Vektors V ausmultiplizieren, so bekommen wir die neuen Koordinaten des Vektors V. So einfach ist die Beziehung. Also, die neuen Koordinaten gewinnen wir, indem wir die alten Koordinaten mit der Transformationsmatrix ausmultiplizieren. Das ist eine wichtige Formel, die gehört in einen roten Rahmen. Bitte lernt diese Formel. Nun kommen endlich die Koordinatenabbildungen ins Spiel. Was ist denn der Spaltenvektor x'? Wie gesagt, das sind ja Koordinaten des Vektors V bezüglich der Basis B'. Also, der Vektor x' lässt sich also so schreiben. Das ist nichts anderes als die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis B' angewandt auf den Vektor V. Das ist hier der Spaltenvektor x'. Entsprechend der Spaltenvektor x ohne Strich: Das ist die Koordinatenabbildung bezüglich der Basis B angewandt auf den Vektor V. Ich wiederhole einfach nur diese Formel. Also wenn ich die alten Koordinaten des Vektors V mit der Transformationsmatrix ausmultipliziere, so bekomme ich die neuen Koordinaten des Vektors V. Das ist genau dieselbe Formel, die hier schon im roten Rahmen steht, bloß mit anderen Symbolen hingeschrieben. Der Inhalt ist derselbe, die Formel ist anders. Diese Formel mit neuen Symbolen ist auch sehr wichtig. Sie gehört auch in einen roten Rahmen. Wichtig ist dabei, dass man die Koordinatenabbildungen in Verbindung mit der Transformationsmatrix gebracht hat, und diese Formel lässt sich sehr schön veranschaulichen. Nun haben wir sie also, diese schöne Formel. Wenn wir die alten Koordinaten eines Vektors V mit der Transformationsmatrix ausmultiplizieren, so bekommen wir als Ergebnis seine neuen Koordinaten. Ihr habt wahrscheinlich bemerkt, dass wir diese Formel einfach nur postuliert haben, ohne einen Beweis oder eine Begründung dafür anzugeben. Auf einen Beweis möchte ich an dieser Stelle verzichten, und zwar aus Zeitgründen. Wir wollen diese Formel lieber weiter interpretieren. Die Transformationsmatrix S ist eine quadratische Matrix der Dimension n kreuz n, und als solche lässt sie sich als eine Abbildung auffassen, die von n nach n abbildet und durch die natürlich Matrixvektormultiplikation wirkt. Wenn wir also die Matrix S als eine Abbildung auffassen, so lässt sich diese Formel etwas kürzer und prägnanter aufschreiben, und wir bekommen dann Folgendes: Hier ist die Matrix, aufgefasst als Abbildung, und die Koordinatenabbildung bezüglich der neuen Basis B' ist gleich die Matrixabbildung verknüpft mit der Koordinatenabbildung bezüglich der alten Basis. Diese Formel mit der Abbildungsverknüpfung gibt uns den Anlass, ein kommutatives Diagramm mit den beteiligten Abbildungen zu zeichnen. Zu den kommutativen Diagrammen gibt es auf dieser Seite, sofatutor.com, ein Video. Es heißt Exkurs über kommutative Diagramme. Dort erkläre ich die Anfangsgrundlagen zu diesem Thema, und ich empfehle Euch das Video. Es ist kurz und recht einfach. Nun setze ich die einigen wenigen Sachen, die dort im Video entwickelt wurden voraus und zeichne ein entsprechendes kommutatives Diagramm für diese Situation. Wir haben den Vektor V, die Koordinatenabbildung bezüglich der alten Basis KB bildet von V nach Rn ab, die Koordinatenabbildung bezüglich der neuen Basis KB' bildet ebenfalls nach Rn ab, und die Transformationsmatrix wollten wir als eine Matrixabbildung interpretieren. Sie bildet von Rn nach Rn ab, und geht hier im Diagramm hier runter. Also das ist die Abbildung SBB'. Nun lesen wir diese Formel. Wenn wir zuerst mit der Abbildung KB abbilden, in diese Richtung gehen, und dann mit der Matrix hier runter, so bekommen wir die Abbildung KB' – so – und dieses Diagramm ist tatsächlich kommutativ. Nun, mithilfe dieses Diagramms, kann man eine weitere Formel für die Transformationsmatrix gewinnen, und zwar: Wir wissen, dass die Koordinatenabbildung invertierbar ist, und der inversen Abbildung entspricht der Pfeil in die entgegengesetzte Richtung. Das ist die Abbildung KB invers. Wegen der Kommutativität dieses Diagramms lässt sich die Matrix SBB' wie folgt aufschreiben. Wir schauen auf das Diagramm. Um die Matrix SBB' zu gewinnen, gehen wir zurück entlang von diesem Pfeil mit der Abbildung KB invers, und dann gehen wir nach unten mit dem Pfeil KB'. Und daraus ergibt sich diese Formel: zuerst mit KB invers und dann mit KB', und dann bekommen wir die Transformationsmatrix. Diese neue Formel lässt sich sehr anschaulich interpretieren im Lichte dieses kommutativen Diagramms. Im Vektorraum Rn oben sitzen die Koordinaten von Vektoren bezüglich der alten Basis. Wenn wir also ein Koordinatendouble hier oben nehmen und entlang von diesem Pfeil hier nach unten gehen, so bekommen wir einen Vektor, den diese Koordinaten beschreiben. Wenn wir dann weiter nach unten gehen, entlang des Pfeils KB', so bekommen wir die neuen Koordinaten dieses Vektors. Wir haben mit den alten Koordinaten angefangen, zack zack, und mit den neuen Koordinaten aufgehört. Und die Transformationsmatrix tut dasselbe. Sie nimmt die alten Koordinaten und macht durch die Multiplikation daraus die neuen Koordinaten. Also diese Formel hat die klare Interpretation, und sie ist übrigens sehr wichtig, die soll auswendig gelernt werden. Also das ist das, was man aus diesem Video mitnehmen soll. Dasselbe betrifft auch dieses kommutative Diagramm. Bitte lernt das Diagramm. Und übrigens: Wenn man sich das Diagramm gemerkt hat, dann kann man daraus mühelos alle Formeln, mit denen wir bisher gespielt haben, aus diesem Diagramm wieder herstellen. Also lernt zuerst dieses kommutative Diagramm. Wir haben bereits mehrfach erwähnt, dass die Koordinatenabbildungen bijektiv sind, und das vermerken wir hier mit diesen Wellen entlang der Pfeile. Das heißt die inverse Koordinatenabbildung zu KB ist auch bijektiv, und die Matrix S als Verknüpfung von bijektiven, also invertierbaren, Abbildungen muss auch selbst invertierbar sein. Und daraus entsteht die natürliche Frage: Was lässt sich über die Inverse zu der Transformationsmatrix aussagen? Wir haben uns gerade klar gemacht, dass eine Transformationsmatrix S invertierbar ist. Um eine Aussage über ihre Inverse zu formulieren, betrachten wir parallel zwei Vorgänge: einmal den Basiswechsel von B zu B' und den entgegengesetzten Vorgang, den Basiswechsel zurück von B' zu B. Die beiden Vorgänge werden durch die entsprechenden Transformationsmatrizen beschrieben, die Transformationsmatrix S von B zu B' und entsprechend die Transformationsmatrix S von B' zu B. Nun, wenn man also die Matrix S von B zu B' invertiert, so – erwartungsgemäß – bekommt man die Matrix, die den entgegengesetzten Vorgang beschreibt, also die Transformationsmatrix von B' zu B. Das ist die Erwartung vom gesunden Menschenverstand her. Diese Formel ist auch richtig, weil diese Begriffsbildungen sehr natürlich sind, und erfüllen natürlich auch die Erwartungen des gesunden Menschenverstandes. Lasst uns jetzt klar machen, dass diese Formel tatsächlich gilt. Wir beweisen sie ganz schnell. Auf der vorangegangenen Tafel haben wir die Transformationsmatrix durch die Koordinatenabbildungen ausgedrückt. Das war die Formel. Und die entsprechende Formel können wir für die entgegengesetzte Richtung aufschreiben, für den Basiswechsel zurück von B' zu B. Dazu müssen wir einfach nur in der bekannten Formel den Strich umverteilen. So einfach ist das. Also, die Transformationsmatrix für die entgegengesetzte Richtung ist gleich KB verknüpft mit KB' invers. Nun interessieren wir uns für S invers bei der Bewegung von B zu B'; also wir bilden hier auf den beiden Seiten der Formel die Inverse. Wir erinnern uns an die Regel der Inversenbildung für Produkte von Matrizen. Wenn zwei Matrizen X und Y invertierbar sind, so ist die Inverse des Produktes XY gleich dem Produkt von Y invers mal X invers. Also bei der Inversenbildung wird die Reihenfolge der Matrizen umgekehrt, und dasselbe gilt für Inversenbildung von Abbildungen. Lasst uns jetzt diese Inverse bilden, und wir denken daran, dass die Reihenfolge der Abbildungen dabei umgekehrt wird. Wir haben also KB invers, davon bilden wir noch einmal die inverse Abbildung, verknüpft mit KB' invers. Ich habe hier einfach nur diese Formel von Matrizen auf die Abbildungen übertragen. Nun, wenn ich eine Abbildung invertiere und dann noch einmal invertiere, so bekomme ich die alte Abbildung als Ergebnis, von der ich ausgegangen bin. Und was haben wir hier? Die Inverse der Transformationsmatrix bei der Bewegung von B zu B' ist gleich KB, Kringel, KB' invers. Das ist aber die Transformationsmatrix für den entgegengesetzten Vorgang, und wir haben das Gewünschte gezeigt. Das ist SB'B. Noch einmal: Hier ist die entsprechende Formel. Ich empfehle Euch, Euch diese Formel zu merken. Sie ist wichtig. Wir sehen also: Die Transformationsmatrix ist sehr wichtig, und in Übungsaufgaben hat man oft die folgende Situation. Es sind zwei Basen vorgegeben, und man muss die zugehörige Transformationsmatrix berechnen. Deswegen schließen wir dieses Video mit einer praktischen Anleitung zur Berechnung der Transformationsmatrix. Dazu erinnern wir uns an die Definition der Transformationsmatrix, die in diesem Video gegeben wurde. Wir erinnern uns: Die Koeffizienten der Transformationsmatrix sind gegeben durch die Basisentwicklungen von alten Basisvektoren in der neuen Basis und das heißt, es gilt diese Gleichung hier, und zwar für alle Vektoren von bj, die Vektoren der alten Basis. J läuft von 1 bis n. Nun, wenn wir diese Gleichung haben, dann lässt sich sehr bequem die Koordinatenabbildung vom alten Basisvektor bj berechnen. Wir schreiben: Die Koordinatenabbildung bezüglich der neuen Basis von bj ist gleich dem folgenden Vektor. Na, was macht die Koordinatenabbildung? Sie entwickelt einen Vektor nach der Basis und nimmt die Entwicklungskoeffizienten und stellt sie in eine Spalte zusammen. Und das tun wir jetzt, denn die Entwicklung ist hier schon vorgegeben, und uns bleibt nur noch, die Koeffizienten in einer Spalte zusammenzustellen. Also wir haben S1j, S2j und so weiter und so fort bis Snj, und siehe da: Das ist genau die j-te Spalte der Transformationsmatrix. Und dieser Umstand liefert uns das Kochrezept zur Berechnung der Transformationsmatrix. Wir fassen nur noch kurz zusammen: Aus der Überlegung auf der vorangegangenen Tafel ergibt sich nun folgende Anleitung zur Berechnung der Transformationsmatrix. Zuerst bestimmen wir die Koordinatenabbildung bezüglich der neuen Basis, dann setzen wir in diese Abbildung die Vektoren der alten Basis ein. Auf diese Weise ergeben sich n Spaltenvektoren; diese setzen wir nun zu einer Matrix zusammen, und fertig ist die Kiste. Das ist dann genau die Transformationsmatrix von B zu B'. Auf dieser Seite, sofatutor.com, gibt es ein Video mit einer Übungsaufgabe, wo wir dieses Rechenschema für 2 konkrete Basen durchexerzieren. Bei Interesse schaut es Euch an. Das Video heißt Basiswechsel in allgemeinen Vektorräumen. Wenn wir aber nicht mit allgemeinen Vektorräumen arbeiten, sondern den Spezialfall betrachten, wenn der Vektorraum V gleich Rn ist, dann werden alle Rechnungen um ein Wesentliches einfacher. Wie die zugehörigen Rechenformeln aussehen, ist ausgeführt im nächsten Video. Das Video heißt Theorie: Berechnung der Koordinatentransformation in Rn. Bei Interesse schaut es Euch an, und dieses Theorievideo ist natürlich durch eine Übungsaufgabe unterstützt. Das zugehörige Video heißt Basiswechsel in Rn. Gut, das war es zu diesem Thema. Ich danke Euch für die Aufmerksamkeit, und wir sehen uns im nächsten Video. Tschüss!

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