Textversion des Videos

Transkript Theorie 2: Lineare Abbildungen und Basen

Hallo, ich bin Sergej, im vorangegangenen Video haben wir unter anderem die folgende Tatsache kennengelernt:  Wenn wir eine Abbildung L haben von  Rn ->Rm und von ihr fordern, dass sie  linear sein soll, so kann sie nur von der folgenden Form sein: Es gibt eine Matrix A, sodass die Abbildung L durch die entsprechende Matrixmultiplikation gegeben ist.  Also die Abbildung L kann nur von dieser Form sein, alles andere kommt nicht infrage.  Wir sehen, dass die Forderung der Linearität von einer Abbildung, legt, die Abbildung sehr stark fest. In diesem Video werden wir diese Frage weitgehend untersuchen, vertiefen, präzisieren, beantworten. D. h. inwieweit und vor allem warum die Forderung der Linearität  eine Abbildung festlegt. Das Video untereilt sich in zwei Abschnitte: Im ersten Abschnitt untersuchen wir eine abstrakte Situation, das heißt, wir haben zwei allgemeine Vektorräume v und w und eine Abbildung, von V an W. Weiterhin haben wir eine Basis im Vektorraum V, wir setzen voraus, das der Vektorraum unendlich ist, beweisen, folgende Tatsache: Eine lineare Abbildung ist durch ihre Werte auf den Basisvektor LV eindeutig festgelegt. Das ist eine wichtige Aussage. Sie wir hauptsächlich bei den Übungsaufgaben und Klausuraufgaben zum Einsatz kommen, das wird zentral sein in diesem Video.  Im zweiten Abschnitt werden wir das hier beweisen.  Wir werden am Ende verstehen, warum eine lineare Abbildung  L:Rn->Rm nur durch die Matrixmultiplikation gegeben ist. Ich habe dazu auch was im vorherigen Video was dazu gesagt. Die ganz Aufmerksamen von Euch haben ja auch gesehen, dass ich die Umkehrrichtung dort bewiesen habe.  Ich habe gesagt, wenn wir eine Abbildung in dieser Form hier haben, mit der Matrixmultiplikation, muss sie linear sein. Das waren nur zwei Zeilen.  In diesem Video werde ich auch den schwierigen Teil nachliefern.  Ich beweise diesen Pfeil hier.  Gut, das ist das Programm, jetzt kommen die Einzelheiten. Wir betrachten zwei Allgemeine Vektorräume V und W, wobei der Vektorraum V nicht ganz allgemein ist, sondern n-dimensional sein soll. Die Dimension ist n.  Des Weiteren erleben wir eine Basis im Vektorraum V fest, bestehen aus den Vektoren  v1 bis vn und außerdem zeichnen wir im Vektorraum W unendlich viele Vektoren w1, w2 bis wn aus. Also, wir haben diese Gegebenheiten, nun betrachten wir eine lineare Abbildung L. V->W, mit der Eigenschaft, dass sie an der Stelle v1 den Wert w1 hat, an der Stelle v2 den Wert w2 hat und so weiter und so fort, bis zur Stelle vn, wo sie den Wert wn haben soll. Gut. Soweit die Gegebenheiten. Nun kommt die Behauptung:  eine lineare Abbildung L ist durch diese Forderung hier eindeutig festgelegt. D. h. es gibt genau eine lineare Abbildung mit dieser Eigenschaft. Um das Ausmaß dieser Aussage zu erfassen,  um sie wirklich zu verstehen, lass uns kurz einen Vergleich zur stetigen Funktion anstellen.  Hier ist die folgende Situation:  Wir haben das übliche Koordinatenkreuz. Auf der x-Achse tragen wir dann Stellen aus. Tragen sie ein - x1, x2, x3  bis xn. Dann nehmen wir eine völlig beliebige Zahl y1 bis yn, und es ist klar. Das Zahlenpaar x1/y1 entspricht einem Punkt auf der Ebene usw. Dann haben wir hier das zweite Zahlelenpaar. Auf dieser Weise entstehen auf der Ebene n Punkte , ich habe sie hier rot markiert. Nun kommt die folgende Frage:  Wie viele stetige Funktionen f gibt es mit der Eigenschaft, dass f1 den Wert y1 hat, an der Stelle f2 den Wert y2 hat usw. bis zur Stelle xn. Also wie viele stetige Funktionen gibt es mit dieser Eigenschaft?  Sehr viele. Man kann die roten Punkte mit einer Zickzackkurve verbinden, beliebige benachbarte Punkte werden mit einer Strecke verbunden, und irgendwie läuft die Kurve dann aus. Mit Blau ist der Graph einer stetigen Funktion eingezeichnet, die dieser Bedingung her genügt. Es sind auch noch andere Funktionen denkbar, die nicht so langweilig sind. Wenn ich mit den roten Punkten eine stetige Funktion an n Stellen festgenagelt habe, dann ist die stetige Funktion keineswegs festgelegt dadurch.  Und wenn sie will, bleibt sie eine Weile konstant,  und dann geht sie abrupt runter usw. und so fort. Wir können sehen, wir können dieses Spiel bis zum Ende der Zeit treiben.  Es gibt unendlich viele stetige Funktionen, deren Graf durch die vorgegebenen roten Punkte geht.  Wenn ich mit den roten Punkten eine stetige Funktion an n Stellen festgenagelt habe, dann ist die stetige Funktion keineswegs festgelegt dadurch.  Es gibt aber Millionen von stetigen Funktionen, die diese Bedingung erfüllen, also die stetige Funktion ist dadurch nicht eindeutig. Nun kommen wir wieder zu den linearen Abbildungen. Wenn ich eine  lineare Abbildung L auf n Basisvektoren festlege, so ist sie dadurch völlig eindeutig bestimmt - im Unterschied zu stetigen Funktionen.  Ich hoffe, anhand von diesem Vergleich, haben wir das Gefühl dafür bekommen, wie stark diese Forderung ist für eine Abbildung linear zu sein. Diese wichtige Behauptung ist nicht besonders schwer zu beweisen.  Aus Zeitgründen verzichte ich jedoch auf einen Beweis. In diesem Videokurs ist es so, dass ich Euch mit den Beweisen  nicht drangsalieren möchte,  es sei denn, es ist unbedingt notwendig. Hier ist es nicht unbedingt notwendig. Schauen wir uns lieber die Konsequenzen an.  Wir haben also die lineare Abbildung L: V-> W, die auf den Basisvektoren, die vorgeschriebenen Werte hat.  Nach der Behauptung existiert eine solche Abbildung und sie ist sogar eindeutig bestimmt. Nun nehmen wir einen Vektor v aus dem Definitionsbereich, der nicht unbedingt einer der Basisvektoren ist. Der ist einfach nur beliebig. Es stellt sich die natürliche Frage, wie berechnet man den Wert L an dem belieben Vektor v? Diese Frage beantworten wir durch die mit der Rechnung, die schon an der Tafel steht. Wir erläutern die Rechnung:  Da die Vektoren v1 bis vn einen Basis bilden, existieren eindeutige bestimmte Koeffizienten  α1 bis αn , sodass der vorgegebene Vektor v als die lineare Kombination darstellen, lässt mit diesem Basisvektoren und mit diesen Koeffizienten. Nun nehme wir diese Linearkombination und setzen sie in die Abbildung L ein. Wir wollen L von v berechnen, nach der Frage, die wir uns gestellt haben.  Es ergibt sich folgender Ausdruck:  L  von einer Summe. Nun ist die Abbildung L linear. Das Besondere ist, sie ist additiv.  D. h. wir kennen die Summe so auseinanderziehen.  Es ergibt sich dann der nächste Ausdruck. Bei diesem Übergang habe ich die Additivität ausgenutzt. Also, L ist additiv. Deswegen darf man so etwas machen.  Außerdem ist L homogen als lineare Abbildung, das heißt, wir dürfen diesem Term L von α1v1 mit dem Koeffizienten α hier aus der Abbildung hinausziehen. Das machen wir im nächsten Schritt, und zwar mit jedem der Terme, der in der Summe hier enthalten ist.  Bei diesem Übergang nutzen wir den Fakt, das L homogen ist.  Beim nächsten Übergang setzen wir einfach nur diese Ws ein.  Die Werte von L(v1), L8v2) usw. sind aber schon bekannt.  Sie sind vorgegeben, das sind unsere Ws. Beim nächsten Übergang setzen wir einfach nur diese Ws ein.  Es ergibt sich die Summe α1w1 + usw. bis αnwn. Und das können wir so in der Summenschreibweise abkürzen.  Was haben wir hier ausgerechnet?  Um mit der Abbildung L zu rechnen, um  den Wert an einer willkürlichen Stelle zu kennen, brauchen wir nur die Ws. Wir brachen nur die Werte der Abbildung L an den Basisvektoren. Sonst nichts. Diese αs, sie kommen von Vektor v. Sie kommen nicht von der linearen Abbildung.  Von der linearen Abbildung kommen nur die Werte wj. Mehr als das brauchen wir nicht. Die Sachen, die wir gerade besprochen hatten, sind so wichtig, dass ich sie noch einmal auf die Tafel geschrieben habe.  Dieses mal aber in einer kurzen und prägnanten Form,  gut zum Lernen. Eine lineare Abbildung L: V->W ist durch ihre Werte auf einer Basis im Definitionsbereich v eindeutig bestimmt, oder eindeutig festgelegt.  Das lässt sich kurz mit dieser Implikation hier unten gut begründen.  Hat man einen beliebigen Vektor v im  Funktionsbereich,  so kann man ihn nach dieser Basis entwickeln.  Hat man diese Entwicklung, so lässt sich der Wert dieser linearen Abbildung durch Vektor v durch diese Formel hier berechnen.  Diese Formel haben wir in der vorangegangenen Tafel ausführlich diskutiert.  Was muss man sich noch einmal merken? Um mit der Abbildung L zu rechnen,  reicht es einzig und alleine ihre Werte auf einer Basis zu kennen.  Dank der Linearität braucht man nichts weiter als diese Werte. Und das ist  die Quintessenz von diesem Video.  Deshalb ist hier alles in diesem hübschen roten Rahmen zusammengefasst  - bitte lern das. Diese Tatsache wird in den Übungsaufgaben  geübt und das ist  auch klausurrelevant.  Auch auf der Internetseite sofatutor.com gibt es eine Übungsaufgabe dazu. Sie heißt: Rechnen mit Linearen Abbildungen. Schaut Euch bei Interesse dieses Video dort an, dort üben wir das noch einmal. Und damit ist der erste  angekündigte Abschnitt  von diesem Video abgeschlossen.   Wir kommen nun zum zweiten Abschnitt. Dort werfen wir wieder die Frage auf , die wir am Anfang des Videos angesprochen hatten.  Die Rede war davon, welche Form die  linearen Abbildungen von Rn->Rm  haben.  Wir erinnern uns, diese linearen Abbildungen sind durch die Matrixvektormultiplikation gegeben.  In de nächsten Minuten werden wir diese Aussage auch beweisen, in allen Einzelheiten.  Das geht dann schnell, wenn  wir diese Rechentechnik zur Verfügung haben. Wir nehmen eine beliebige Abbildung L: Rn->Rm, und zeigen, dass sie notwendigerweise durch die Matrixvektormultiplikation gegeben ist.  Dazu betrachten wir die Kanonische Basis des Vektors Rn, bestehend aus den Vektoren e1, e2 usw. bis en, und machen Folgendes: Wir betrachten Bilder der Kanonischen Basisvektoren unter de Abbildung L.  Das heißt ich nehme den ersten Vektor e1, bilde ihn mithilfe der Abbildung L ab. Weil die Abbildung L nach Ln abbildet bekomme ich hier im Ergebnis einen  Vektor in Ln. Diesen Vektor bezeichne ich mit a1 -hat n Komponenten, die habe ich so hier benannt. Usw. Dasselbe mache ich mit dem Vektor e2.  Das Ergebnis bezeichne ich mit a2, usw. bis zum allerletzten Vektor.  Denn allerletzten Vektor nenne ich an.  Wir werden bald sehen, dass die Vektoren a1, a2  bis an die spalten der Matrix a sein werden. Wir haben also die Werte der Linearen Abbildung auf den Kanonischen Basisvektor fixiert  und sie mit aj bezeichnet. Nachdem, was wir in diesem Video bereits gelernt haben,  brauchen wir nichts Weiteres, um mit  der Abbildung L zu rechnen.  Und in der tat. Wir nehmen einen beliebigen Vektor x  im Raum Rn mit den Komponenten x1 bis xn. Es ist klar, dass der Vektor x diese Basisentwicklung hat bezüglich der Kanonischen Basis. Diese schreiben wir kurz in der Summenform auf ,und setzen das in die Lineare Form L ein. Da die Lineare Abbildung additiv ist, kann man das Summenzeichen aus der Summe sozusagen hieraus ziehen.  Da die Lineare Abbildung homogen ist,  kann man auch die xjs aus der Abbildung raus ziehen. Das ist die Homogenität, und wir haben hier die Terme explizit von ej, also die Werte der linearen Abbildung auf den  kanonischen Basisvektoren.  Diese haben wir als aj bezeichnet,. Ds setzen wir an dieser Stelle hier ein und es ist informativ, das Ganze hier noch einmal ausführlich aufzuschreiben.  Also hier steht x1×a1+x2×a2 usw. bis zum letzten Term,  und das habe ich hier entsprechend aufgeschrieben.  Als Nächstes multiplizieren wir die Zahlen x1, x2 und xn in die entsprechenden Vektoren hinein,  und addieren das Ganze.  Das wird dann wie folgt aussehen:. Diese Rechnung läuft darauf hinaus, dass wir die Matrix mit den Spalten a1,a2 usw. bis an mit dem Vektor x ausmultiplizieren.  Hier haben wir angefangen,  L(x), hier haben wir aufgehört. Eine Matrix mal Vektor.  Wir haben gezeigt, dass die Abbildung L  durch die Matrixvektormultiplikation gegeben ist und das war genau unsere Aufgabe. Ich danke Euch für Eure Aufmerksamkeit.

Informationen zum Video