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Transkript Theorie 1b: Norm - Fortgeschrittene Beispiele (Maximumsnorm für Funktionen)

Hallo! Ich bin Sergej. Im vorangegangenen Video haben wir den Begriff der Norm in einem Vektorraum kennengelernt. Wir haben den Begriff ausführlich motiviert und uns mit der Definition der Norm auseinandergesetzt. Hier ist noch einmal zur Erinnerung die Definition der Norm an der Tafel. Unter einer Norm versteht man eine Abbildung dieser Gestalt hier, die die aufgelisteten Eigenschaften hat. Die Eigenschaft 1a) und 1b) nennt man positive Definitheit, die zweite Eigenschaft ist namenlos. Sie läuft darauf hinaus, wie man eine reelle Zahl λ Lambda aus der Norm ausklammern kann. Und die dritte Eigenschaft ist sehr wichtig, sie ist zentral; sie heißt 'die Dreiecksungleichung'. Außerdem haben wir uns ein Beispiel angeschaut, die euklidische Norm. In diesem Video gibt es weitere Beispiele... Zur Abwechslung schauen wir uns noch ein anderes Beispiel an: Die Maximumsnorm auf dem Vektorraum stetiger Funktionen. Was ist das für ein Vektorraum? Auf der x-Achse zeichnen wir zwei Punkte auf, einen Punkt a und einen Punkt b, und betrachten alle Funktionen, die über dem Intervall von a bis b stetig sind. Die Menge solcher Funktionen hat die Vektorraumstruktur. Dieser Vektorraum wird normalerweise mit dem Buchstaben C ([a, b]) bezeichnet, der Buchstabe C steht für das englische Wort 'continuous', das bedeutet 'stetig'. Dass die Menge der stetigen Funktionen über einem solchen Intervall tatsächlich ein Vektorraum ist, das ist ausgeführt in einem der Videos auf dieser Seite. Das Video heißt 'der Vektorraum der Funktionen'. Und ein Spezialfall des Vektorraums der Funktionen ist der Vektorraum der stetigen Funktionen über einem Intervall a,b. Auf jeden Fall, das hier ist ein Vektorraum und diesen Vektorraum wollen wir jetzt mit einer Norm versehen. Wie wird diese Norm konstruiert? Wir nehmen eine beliebige Funktion f aus diesem Vektorraum, eine stetige Funktion auf dem Intervall a,b. Ihr Graph hat beispielsweise diesen Verlauf hier, die rote Linie. Nun passiert folgendes: Wir bilden den Betrag der Funktion f. Grafisch kann man das so veranschaulichen: Die Teile des Graphen der Funktion f, die sich unterhalb der x-Achse befinden, werden durch Betragsbildung nach oben gespiegelt. Also, die Funktion |f| hat dann diesen Verlauf hier, die blaue Linie. Auf jeden Fall, die Funktion |f| ist stetig. Sie ist stetig auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall a,b. Die Analysis garantiert uns, dass unter solchen Umständen die Funktion auf jeden Fall ein Maximum besitzt, das ist der berühmte Extremalsatz von Weierstrass. Wie auch immer, die Funktion hat ein Maximum, und dieses Maximum, diese Zahl, das soll eben die Norm der Funktion f sein. Auf diese Weise wird jeder Funktion f aus dem Raum der stetigen Funktionen über dem Intervall a.b, jeder Funktion von hier, eine reelle Zahl zugeordnet, nach dieser Regel hier. Dadurch entsteht eine Abbildung, und diese Abbildung ist eine Norm. Das werden wir gleich nachprüfen, diese Norm heißt die 'Maximumsnorm'. Manchmal nennt man das auch die 'Supremumsnorm', unter leicht geänderten Umständen: Man betrachtet nicht mehr den Raum der stetigen Funktionen, sondern der beschränkten Funktionen, und hier schreibt man nicht 'Maximum', sondern 'Supremum', und dann heißt das 'Supremumsnorm'. Wir bleiben aber bei stetigen Funktionen und dem Maximum und das ist die Maximumsnorm. Jetzt prüfen wir nach, dass die Maximumsnorm tatsächlich eine Norm ist. Dazu müssen wir zeigen, dass die Maximumsnorm alle die Eigenschaften hat, die in der Definition der Norm gefordert sind. Wir erinnern uns an den Verlauf des Graphen der Betragsfunktion. So sieht der Graph aus, er liegt oberhalb der x-Achse; das heißt, der Betrag von jeder Zahl x ist ≤ 0. Na also, daraus folgt: Wenn ich eine beliebige Funktion f und eine beliebige Stelle x im Intervall a,b, so ist der Ausdruck f(x) dem Betrag nach ≤ 0, also: für jedes x ist der Wert ≤ 0, alle Werte sind ≤ 0. Wenn alle Werte hier ≤ 0 sind, dann ist auch der maximale Wert von diesem Ausdruck ≤ 0. Und der maximale Wert von diesem Ausdruck, das ist genau die Maximumsnorm. Wir haben gezeigt: Für jede Funktion f ist die Maximumsnorm der Funktion f ≤0. Was passiert denn, wenn die Maximumsnorm einer Funktion f genau =0 ist? Das ist der maximale Wert des Betrages der Funktion. Und wenn der maximale Wert =0 ist, dann sind alle Werte der Funktion f =0, dann handelt es sich um eine Nullfunktion. Und wir haben gezeigt: Die Maximumsnorm einer Funktion f ist genau dann =0, wenn f selbst eine Nullfunktion ist. Die Eigenschaften 1a) und 1b), das ist die positive Definitheit der Maximumsnorm. Um die zweite Eigenschaft nachzuprüfen aus der Definition der Norm, nehmen wir eine beliebige reelle Zahl λ und eine beliebige Funktion f, stetige Funktion f und berechnen die Maximumsnorm des Produktes λ×f. So schreibt man es bei Definitionen hin. Nun ist es so, λ ist eine Konstante. Λ ist nicht von der Stelle x abhängig, deswegen übt λ keinen Einfluss auf die Maximumsbestimmung aus. Wir können λ einfach ausklammern vor der Operation des Maximumnehmens. Also wenn man λ ausklammern kann mit dem Betrag, dann haben wir letzten Endes |λ|×die Maximumsnorm, und das ist die zweite Eigenschaft aus der Definition der Norm. Die Maximumsnorm von λf ist gleich |λ|×die Maximumsnorm von f. Es bleibt nur noch die Dreiecksungleichung für die Maximumsnorm, und im Unterschied zu der euklidischen Norm ist hier die Dreiecksungleichung sehr einfach nachzurechnen, das tun wir auch. Wir nehmen eine beliebige Stelle u aus dem Intervall a,b und betrachten den Ausdruck f(u)+g(u) alles dem Betrage nach, die Summe dem Betrage nach. Es ist so, dass die Dreiecksungleichung auch für ganz normale Betragsungleichungen erfüllt ist, also wir können schreiben: Das ist ≤|f(u)| dem Betrage nach +|g(u)|. Und u ist an keiner Stelle im Intervall a,b, deswegen ist der Ausdruck |f(u)| auf jeden Fall ≤ der maximale Wert des Betrages der Funktion f auf dem Intervall a,b. Also, |f(u)| ist ≤das. Und entsprechendes gilt für den Term |g(u)|, das ist ≤der maximale Wert von |g(x)|. Ja, und Maximum |f(x)| ist genau die Maximumsnorm von f, und entsprechend ist der zweite Term die Maximumsnorm von g. Es steht jetzt allerlei auf der Tafel, wir brauchen nur den Anfang und das Ende. Ich entferne der Übersichtlichkeit halber das dazwischen wieder, und wir brauchen nur noch den Ausdruck f der Norm nach+ g der Norm nach, und vielleicht ersetze ich u durch den Buchstaben x. Ich sage x ist eine beliebige Zahl im Intervall a,b und betrachte nun f(x)+g(x) alles dem Betrage nach. Also, wir haben hier diese Ungleichung. Für jede Stelle x ist dieser Wert≤ die Summe der Normen. Nun schauen wir uns die Supremumsnorm, die Maximumsnorm der Summe f+g. Nach der Definition ist das der maximale Wert von diesem Betrag f(x)+g(x). Ja, jeder Wert von diesem Betrag ist ≤ die Summe der Normen, also: Auch der maximale Wert soll ≤ der Summe der Normen sein, so. Und wir haben letzten Endes die Dreiecksungleichung für die Maximumsnorm. Also, wichtig ist vor allem dieser Term, mit dem wir angefangen haben, und diese zwei Terme, mit denen wir aufgehört haben, und das ist genau die Dreiecksungleichung für die Maximumsnorm. Alles in allem: Die Maximumsnorm hat die drei Eigenschaften aus der Funktion der Norm, also ist das eine Norm. Das war also die Maximumsnorm auf dem Vektorraum der stetigen Funktionen, ebenfalls bekannt unter dem Namen „die Supremumsnorm“. Es gibt aber auch andere Normen auf allen möglichen Vektorräumen, und hier sind weitere Beispiele. Wir nehmen flüchtig diese Beispiele zur Kenntnis, ohne jedes einzelne Beispiel hier zu vertiefen. Auf dem Vektorraum Rn kann man zum Beispiel die Summennorm berechnen nach dieser Formel hier. Es lässt sich auch die sogenannte P-Norm berechnen, nach dieser Formel, wobei P eine feste Zahl zwischen 1 und unendlich ist. Wir sehen: Wenn P=2 ist, dann bekommen wir hier die euklidische Norm. Die euklidische Norm ist also ein Spezialfall dieser P-Norm. Außerdem kann man die Maximumsnorm auf dem Vektorraum Rn berechnen, nach dieser Formel, neben der Maximumsnorm auf dem Vektorraum der stetigen Funktionen, die wir gerade eben behandelt haben. Dann kann man auf dem Vektorraum der Funktionen auch die sogenannte LP-Norm berechnen, nach dieser Formel, da kommt Integration ins Spiel. Man kann auch die sogenannte Sobolev-Norm, mit dieser Formel hier, da kommt auch die Ableitung ins Spiel. Lasst euch von diesen Formeln nicht abschrecken, das, was ihr zur Kenntnis nehmen sollt, ist die Tatsache, dass 'Norm' ein abstrakter Begriff ist. Es gibt sehr viele konkrete Realisierungen von diesem abstrakten Begriff. Alle diese Formeln haben gemeinsam die drei Eigenschaften, die in der Definition der Norm fixiert sind. Für uns, für den Kurs „lineare Algebra“, ist mit Abstand die wichtigste Norm die euklidische Norm, also wenn hier in dieser Formel P=2 ist. Außerdem ist wichtig die vom Skalarprodukt induzierte Norm. Was ist das? Wir berühren somit ein neues Thema, Skalarprodukte Es ist so, dass man Vektorräume mit einer eigenen Struktur versehen kann, mit Skalarprodukten, und ein Skalarprodukt erzeugt eine Norm. Dazu gibt es Videos auf dieser Seite, das eine Video heißt 'Theorie über Skalarprodukte, Definitionen und Beispiele', das andere heißt 'Skalarprodukte, induzierte Normen und Winkelmessung'. Die Normen, die vom Skalarprodukt induziert werden, sind sehr wichtig für die lineare Algebra. Schaut euch diese Videos bei Interesse an, ich empfehle es auf jeden Fall. Gut, an dieser Stelle bedanke ich mich für eure Aufmerksamkeit, und wir sehen uns in einem der nächsten Videos. Tschüss!

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