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Transkript Theorie 1a: Norm - Definition und ein einfaches Beispiel (euklidische Norm)

Hallo, ich bin Sergej. Dieses Video bietet eine Einführung zu dem Begriff Norm in einem Vektorraum. Hier erfahrt ihr die allerersten Grundlagen über Normen, das heißt die Definition und anschließend besprechen wir ein einfaches Beispiel, für den Anfang die sogenannte euklidische Norm. Vor allem geht es aber um die Frage, wozu braucht man eine Norm in einem Vektorraum, wozu ist sie gut. Woher kommen die Eigenschaften, die in der Definition der Norm aufgelistet sind? Wie soll man sie verstehen? Also es gibt sehr viel Motivation in diesem Video und wir fangen am besten gleich mit der Motivation an. Dazu begeben wir uns in die Koordinatenebene, die uns von der Schule her wohl vertraut ist. Hier hat man zwei Achsen, die x-Achse und die y-Achse. Sie kreuzen sich im Ursprung und auf der Koordinatenebene betreibt man Geometrie. Zu einer Geometrie gehören natürlich Punkte, wie zum Beispiel hier der Punkt A und den Punkt B auf der Tafel. Die Punkte haben Koordinaten in der Koordinatenebene. Das sind einfach nur die Zahlen, die sich bei der Projektion der Punkte auf die Achsen ergeben. Also hier der Punkt A hat die Koordinaten x1 und y1, der Punkt B hat die Koordinaten x2 und y2. Gut, außerdem lassen sich die Punkte mit dem Ursprung verbinden durch Strecken. Auf einer Strecke kann man Richtungen auszeichnen und eine Strecke mit einer ausgezeichneten Richtung nennt sich Vektor. So ein Pfeil ist eben ein Vektor auf der Koordinatenebene. Wie kategorisiert man Vektoren? Zum einen durch ihre Länge, zum anderen durch ihre Richtung. Wie kategorisiert man das Verhältnis von Punkten zueinander? Unter anderem durch den Abstand zwischen den beiden Punkten. Und in der Koordinatenebene gibt es Mittel, um die Längen und Abstände zu berechnen. Die entsprechenden Formeln habt ihr gewiss in der Schule gesehen. Hier stehen sie noch einmal auf der Tafel. Um die Länge - sagen wir mal des Vektors a zu berechnen - nehmen wir die Koordinaten des dazugehörigen Punktes - hier in diesem Fall x1 und y1 - wir quadrieren sie, bilden die Summe der Quadrate und ziehen die Quadratwurzel daraus aus dieser Summe. Daraus ergibt sich die Länge des Vektors a, dahinter steht der Satz des Pythagoras. Entsprechend berechnet man die Länge des Vektors b.  Eine ähnliche Formel gibt es auch für den Abstand zwischen den Punkten A und B. Dazu muss man das Dreieck, das ich jetzt schraffiere, nach dem Satz des Pythagoras behandeln. Dieses Dreieck ist rechtwinkelig und der Abstand zwischen den Punkten A und B ist genau die Länge der Hypotenuse dieses Dreiecks. Und um sie zu berechnen, müssen wir die Katheten quadrieren. Hier sind die Quadrate der Katheten, die Summe der Quadrate bilden und wieder die Quadratwurzel ziehen. Das ist der Abstand zwischen den Punkten A und B. Also auf der Koordinatenebene - und das ist ein Modell des Vektorraumes R2 - hat man diese Möglichkeiten hier, die Längen und Abstände zu berechnen. Ähnliches hat man in dreiräumlichen Dimensionen, im Vektorraum R3. Da kommt nur noch eine dritte Komponente dazu, die Z-Komponente. Sie wird auch in diese Formel integriert, die Formeln sehen dann ähnlich aus. Also in den Räumen R2 und R3 können wir Abstände und Längen berechnen. In der Mathematik will man aber mehr. Man will auch in allgemeinen Vektorräumen - nicht nur in diesen zwei R2 und R3. Man will auch in allgemeinen Vektorräumen Längen und Abstände berechnen. Und was hat man da in der Regel in einem allgemeinen Vektorraum? Dort gibt es eine Menge, die Grundmenge. Die nennt man normalerweise V. Diese Menge ist mit zwei Operationen versehen. Plus und Punkt. Plus bedeutet, dass wir Elemente dieser Menge untereinander addieren können. Punkt bedeutet, dass wir Elemente dieser Menge mit Zahlen multiplizieren können. Die beiden Operationen haben gewisse Eigenschaften. Es gibt - je nachdem, wie man es zählt - acht Aktionen des Vektorraumes. Und mit diesen Mitteln kann man leider keine Längen und Abstände messen. Um Längen und Abstände messen zu können, braucht man eine zusätzliche Struktur in einem Vektorraum und diese zusätzliche Struktur zur Messung der Längen und Abstände heißt Norm. Und darum geht es in diesem Video, wie sehen dann die Normen in allgemeinen Vektorräumen aus. Als Nächstes befassen wir uns mit dem Begriff der Norm. Norm ist eine Verallgemeinerung des Begriffs Länge auf allgemeine abstrakte Vektorräume. Bevor wir uns aber auf das abstrakte allgemeine Niveau begeben, lasst uns an dieser Stelle kurz rekapitulieren, zusammenfassen, was man über die Länge von Pfeilen in der Ebene weiß. Die Pfeile in der Ebene sind sehr anschaulich und die Eigenschaften ihrer Längen, die hier an der Tafel zusammengestellt sind, werden uns das Verständnis der kommenden Definition erleichtern. Ja, die Pfeile auf der Ebene. Die Länge von Pfeilen, das ist ein sehr anschaulicher Begriff und bedarf nicht weiterer Definition und Erklärung. Das kennen wir aus dem Alltag. Aus dem Alltag ist es klar, dass die Länge von einem Pfeil, von einem Vektor x aus R2 immer ≥0 ist. Das ist physikalisch und geometrisch sinnvoll, so zu fordern, dass die Längen immer ≥0 sind. Wir können keine negativen Längen betrachten. Gut, was passiert, wenn die Länge eines Vektors =0 ist? Lasst uns das anschaulich überlegen. Die Vektoren werden immer vom Ursprung aus aufgetragen. Wenn die Länge eines Vektors zu 0 schrumpft, dann schrumpft der Vektor zu einem Punkt zusammen, und zwar zum Ursprung und daraus folgt, dass die Länge eines Vektors genau dann =0 ist, wenn der Vektor selbst =0 ist. Also anschaulich gesprochen, im Ursprung sitzt. Eine völlig plausible Eigenschaft. Die nächste Eigenschaft: Wir überlegen uns, was passiert, wenn wir Vektoren mit reellen Zahlen multiplizieren. Da gibt es eine Fallunterscheidung. Wenn die Zahl λ, mit der ein Vektor multipliziert wird, positiv ist, dann schaut das Produkt λx in dieselbe Richtung, wie der Vektor x und seine Länge wird skaliert mit der Zahl λ. Wenn &lambda">;>1 ist, dann wird der Vektor länger. Wenn λ Die nächste Ungleichung hat folgende geometrische Interpretation. Wir betrachten zwei Vektoren x und y und ihren Summenvektor x+y. Was lässt sich aussagen über die Längen der beteiligten Vektoren? Der Summenvektor wird bekanntlich nach der Parallelogrammregel gebildet. Also man spannt ein Parallelogramm auf die Vektoren x und y auf und die Diagonale von diesem Parallelogramm ist gerade der Summenvektor. Gut, lasst uns nun das folgende Dreieck betrachten, das Dreieck, das ich gerade schraffiere. Diese Kante hier hat dieselbe Länge wie der Vektor y. Diese Kante ist identisch mit dem Vektor y. Diese Kante hier, die Obere hat dieselbe Länge wie der Vektor x unten der Konstruktion. Und nach der Pralllogrammregel hat die untere Kante dieselbe Länge wie der Summenvektor. Aufgrund der Beschaffenheit von Dreiecken: Die Summe der Längen von dieser Kante und dieser Kante ist auf jeden Fall größer als die Länge der unteren Kante. So sind halt Dreiecke. Im Ungleichen kann man das so ausdrücken: Die Länge des Summenvektors, die Länge der unteren Kante, ist immer ≤ als die Summe der Längen von x und y im Einzelnen, er ist immer ≤ als die Summe der Längen von den oberen Kanten. Das ist die sogenannte Dreiecksungleichung. Also wir sehen, alle diese Eigenschaften, die hier aufgelistet sind, sind sehr plausibel, sehr anschaulich für den natürlichen alltäglichen Begriff der Länge. Und aus diesen Eigenschaften haben Mathematiker einen abstrakten Begriff der Länge gemacht. Das führt uns auf den Begriff der Norm und das ist die kommende Definition. Um den Begriff der Norm in allgemeinen Vektorräumen zu definieren, betrachten wir halt einen allgemeinen Vektorraum V über dem Körper der reellen Zahlen. Unter einer Norm im Vektorraum V versteht man eine Abbildung von V nach R. Die wird normalerweise folgendermaßen notiert: doppelte Betragstriche und ein Punkt zwischen drin. Was meint man mit dieser Notation? Man nimmt einen Vektor v aus dem Vektorraum V. Hier hat man eine Norm. Man setzt einen Vektor v in die Norm ein. Die Norm verarbeitet diesen Vektor zu einer reellen Zahl. Das heißt dieser Ausdruck hier, doppelte Betragstriche von einem Vektor, das ist eine reelle Zahl. Genau das ist gemeint mit dieser Notation. Gut, eine solche Abbildung heißt Norm oder auch Betrag oder auch Länge, weil sie diese aufgelisteten Eigenschaften hat. Genau die Eigenschaften, die wir gerade am Beispiel der Länge der Pfeile in der Ebene besprochen haben. Die erste Gruppe der Eigenschaften nennt sich positive Definitheit. Das bedeutet Folgendes. Die Norm von einem jeden Vektor v ist ≥0. Die Norm, die Länge soll nicht negativ sein. Wenn schon für einen Vektor v die Länge =0 ist oder die Norm =0 ist, dann gilt das genau dann, wenn der Vektor v selbst =0 ist, also gleich dem neutralen Element im Vektorraum V. Die nächste Eigenschaft betrifft das Verhalten auf dem Produkt λ×v, weil λ eine reelle Zahl ist und v ein Vektor. Man darf aus der Norm die reelle Zahl hier rausziehen, dabei bekommt aber die reelle Zahl Betragstriche. Diese Rechenregel haben wir schon am Beispiel der Länge interpretiert. Und schließlich, damit diese Abbildung eine Norm ist, muss sie die Dreiecksungleichung erfüllen. Hier ist sie. Also Norm einer Summe v+w≤ der Norm v + Norm w. Gut, unter diesen Umständen heißt dann eine solche Abbildung eine Norm. Was sollen wir uns merken? Norm ist die Verallgemeinerung des Begriffs Länge auf allgemeine abstrakte Vektorräume. Als erstes Beispiel schauen wir uns die euklidische Norma an. Diese Norm ist für den Vektorraum Rn gedacht und sie wird nach der Regel berechnet, die hier im Kasten zusammengefasst ist. Was passiert denn da genau? Man nimmt einen Vektor x aus dem Raum Rn, das ist eine Spalte bestehend aus n-reellen Zahlen bezeichnet mit x1, x2, usw. bis xn. Man quadriert diese Zahlen, die Einträge des Vektors x, bildet die Summe der Quadrate und zieht daraus die Quadratwurzel. Das kann man auch so mit dem Summenzeichen abkürzen, wie hier an der Tafel steht. Und dadurch entstehe eine Norm, in der Tat. Das ist auch nicht weiter verwunderlich. Denn wir haben in der Motivation mit der Formel angefangen, die so aussah: /sqrt(x2+y2). Das war die Länge eines Vektors mit den Koordinaten x und y. Und offenbar das, was hier an der Tafel steht im Kasten, das ist die natürliche Verallgemeinerung hiervon auf den Vektorraum Rn. Ja klar, das ist eine Norm. Auch aus formalen Gründen ist es eine Norm. Denn dadurch entsteht eine Abbildung, die jedem Element des Rn eine reelle Zahl zuordnet aufgrund dieser Zuordnungsvorschrift. Und diese Abbildung erfüllt in der Tat diese 3 definierenden Eigenschaften der Norm. Lass uns jetzt davon überzeugen, dass diese 3 Eigenschaften tatsächlich erfüllt werden. Wir prüfen nach, dass die euklidische Norm tatsächlich eine Norm ist. Dazu müssen wir zeigen, dass sie die Eigenschaften hat, die in der Definition der Norm gefordert sind. Ja, die euklidische Norm eines Vektors x aus Rn wird nach dieser Formel hier berechnet und hier taucht die Quadratwurzel auf. Was weiß man über die Quadratwurzel? Die Funktion y=/sqrtx hat ihren Graphen oberhalb der x-Achse, das heißt, die Werte der Quadratwurzel sind ≥0. Und das vermerken wir an dieser Stelle. Die Quadratwurzel von einem Ausdruck - welchem auch immer, Hauptsache nicht negativ - ist ebenfalls nicht negativ, ≥0. Was passiert denn, wenn dieser Ausdruck =0 ist? Hier steht eine Summe von Quadratzahlen, also die Summe von nicht negativen Termen. Wenn die Summe von nicht negativen Termen =0 ist, so muss jeder einzelne Term =0 sein. Und wenn jeder einzelne Term =0 ist, bedeutet das, dass jedes xi=0 ist. Das bedeutet, dass der Vektor x aus lauter Nullen besteht. Der Vektor x ist in diesem Fall der Nullvektor. Ja, und wir haben es. Die euklidische Norm von einem Vektor x =0 genau dann, wenn der Vektor x der Nullvektor ist. Die Eigenschaften 1a) und 1b) heißen zusammen die positive Definitheit. Also die euklidische Norm ist positiv definit, wie in der Definition gefordert ist. Nun die zweite Eigenschaft aus der Definition. Wir nehmen eine beliebige reelle Zahl λ und einen Vektor x aus Rn und berechnen die Norm des Produktvektors λx. Wie werden Vektoren mit Zahlen multipliziert? λ multipliziert mit dem Vektor x ergibt den Vektor, der an jeder Stelle hier den Eintrag λx1, λx2, usw. bis λxn hat. Also man multipliziert Vektoren mit Zahlen komponentenweise. Wenn man vom Produktvektor die euklidische Norm berechnet, dann sieht das alles so aus. Aus der Summe unter der Wurzel kann man λ2 hier rausziehen und dann kann man λ aus der Summe hier rausziehen. Was soll man hier beachten? Wenn wir λ2 haben und daraus die Wurzel ziehen, so ist das Ergebnis nicht λ. Die Gleichung, die momentan an der Tafel steht, ist falsch. Zum Beispiel für λ=-1. Überzeugt euch davon, diese Gleichung ist falsch für λ=-1. Diese Gleichung wird aber richtig, wenn wir hier auf der rechten Seite Betragstriche schreiben. So ist die Gleichung richtig und wir haben sie bei diesem Übergang benutzt. Und es bleibt stehen: λ dem Betrag nach × die Wurzel aus der Quadratsumme und das ist eigentlich λ dem Betrag nach × die euklidische Norm des Vektors x. Also wir haben die euklidische Norm von λx  = λ dem Betrag nach × die euklidische Norm von x. Und das ist die zweite definierende Eigenschaft von der Norm. Die nächste definierende Eigenschaft der Norm, die Dreiecksungleichung ist in diesem Fall nicht so einfach. Wir brauchen in diesem Zusammenhang die Minkowski-Ungleichung. Die Minkowski-Ungleichung steht hier im Kasten geschrieben. Sie gilt für beliebige Zahlen x1 bis xn und y1 bis yn, wieder beliebige natürliche Zahlen. Die ist richtig. Warum sie gilt, das werde ich an dieser Stelle nicht ausführen, das würde den Rahmen von diesem Vortrag sprengen. Wir nehmen die Minkowski-Ungleichung einfach nur zur Kenntnis. Wenn wir dann die Dreiecksungleichung für die euklidische Norm schreiben - hier ist sie - und dort die Definition der euklidischen Norm einsetzen, so bekommen wir genau die Minkowski-Ungleichung. Überzeugt euch davon. Also die Minkowski-Ungleichung ist gleichbedeutend mit der Dreiecksungleichung für die euklidische Norm. Die Minkowski-Ungleichung ist richtig, also ist auch die Dreiecksungleichung für die euklidische Norm richtig. Wir haben zusammenfassend, dass die euklidische Norm positiv definiert ist. Die euklidische Norm hat auch die zweite Eigenschaft aus der Definition der Norm. Die euklidische Norm erfüllt die Dreiecksungleichung. Das ist nichts anderes als die Minkowski-Ungleichung. Also ist mit dieser Formel hier tatsächlich eine Norm auf dem Vektorraum Rn gegeben. Das war also die euklidische Norm im Vektorraum Rn. Das ist die wichtigste Norm auf dem Vektorraum Rn. In den meisten Übungsaufgaben werden wir mit dieser Norm rechnen. Sie ist die wichtigste Norm, aber nicht die einzig mögliche. In Rn gibt es auch andere Normen. Der Vektorraum Rn ist der Wichtigste für unsere Zwecke, für lineare Algebra. Es gibt aber auch andere Vektorräume. Zum Beispiel der Vektorraum Matrizen, der Vektorraum von Funktionen und so weiter und so fort. Und alle diese anderen Vektorräume lassen sich auch mit Normen versehen. Weitere Beispiele für Normen gibt es im nächsten Video. Dort behandeln wir ausführlich die Maximumsnorm für Funktionen und reißen ein paar andere Beispiele flüchtig an. Schaut es euch bei Interesse an. Es ist durchaus wichtig, auch etwas anderes neben den euklidischen Normen gesehen zu haben. In all diesen Beispielen sieht man, wie sich der Begriff der Länge auf allgemeine abstrakte Vektorräume übertragen lässt. Wie sieht es aber aus mit dem Begriff des Abstandes? Ist nämlich in einem reellen Vektorraum V eine Norm gegeben, so lässt sich in diesem Vektorraum auch der Begriff des Abstandes einführen, und zwar mit dieser Formel hier. Man nimmt zwei beliebige Vektoren v und w und um den Abstand zwischen ihnen zu berechnen, bildet man die Differenz v-w und berechnet die Norm der Differenz. Die Norm der Differenz ist bei Definition der Abstand zwischen den Vektoren v und w. Diese Formel ist nicht weit hergeholt. Wir denken zur Motivation an die reelle Achse. Wir haben hier zwei Punkte x und y, und wenn ich x von y subtrahiere, bekomme ich eine negative Zahl. Wenn ich den Betrag davon nehme, ist die Zahl positiv. Und der Betrag von x-y ist nichts anderes als der Abstand zwischen den Punkten x und y. Wir sehen, die Formel, die hier im Kasten steht, ist einfach nur Verallgemeinerung dieser offensichtlichen, intuitiven Formel auf der reellen Achse. Übrigens: Die Formel für den Abstand, die am Anfang von diesem Video an der Tafel gestanden hat, ist ein Spezialfall dieser allgemeinen Formel, macht es euch bitte klar. Nehmt als Vektorraum den Vektorraum R2, die Koordinatenebene. Betrachtet darauf die euklidische Norm, die wir soeben behandelt haben, nehmt dann zwei Vektoren aus der R2. Sie lassen sich mit Punkten auf der Ebene identifizieren. Setzt all diese Daten in die allgemeine Formel ein. Macht euch klar, dass tatsächlich die Formel herauskommt, die am Anfang des Videos gestanden hat. Also Abstand zwischen den Punkten A und B, daraus die Quadratwurzel und so weiter. Macht es euch klar, das ist durchaus auch nützlich. Was soll man sich über Normen merken? Ist auf einem reellen Vektorraum eine Norm gegeben, also eine Abbildung dieser Gestalt hier, die die 3 Eigenschaften aus der Definition der Norm hat, so lassen sich mithilfe dieser Abbildung im Vektorraum Längen und Abstände messen. Andere Beispiele für Normen gibt es im nächsten Video. Vielen Dank an dieser Stelle fürs Zuschauen.

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1 Kommentar
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    Ich bin Schülerin der 11.Klasse und mache Mathe als Leistungskurs. Ich bin von Ihrem Video begeistert! Das erste mal das ich alles verstanden habe.Großes Lob! Ich bleibe dran und hoffe, dass ich die nächsten Videos auch verstehen werde.

    Von Katjadietz64, vor mehr als 2 Jahren