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Transkript Stetigkeit – Veranschaulichung

Ja, in diesem Beitrag wollen wir uns anschaulich überlegen: Was bedeutet denn Stetigkeit für Funktionen, die von 2 Veränderlichkeiten abhängen? Und vielleicht ein bisschen anschaulicher die Charakterisierung von Stetigkeit mit Folgen erläutern. Hier sind schon vorgezeichnet 2 Bilder, die Funktionen f und g. Die beiden Funktionen sind auf dem Rechteck von 0,1 kreuzt 0,2 definiert. Also dieses Rechteck in der x-y-Ebene ist hier. Das ist der Definitionsbereich der beiden Funktionen. Die Strecke 0-1 für die x-Achse und die Strecke von 0 bis 2 für die y-Achse und zusammen gibt es den Definitionsbereich für die beiden Funktionen. Der Graph der Funktion f sieht so aus. Ich verzichte darauf, irgendwelche Formelvorschriften zu geben. Wir wollen hier keine Formeln studieren, wir wollen uns anschaulich überlegen, was Stetigkeit bedeutet. Deswegen braucht ihr euch darüber keine Gedanken zu machen, durch welche Formel die Funktion f oder g gegeben ist. Man sieht, dass der Graph der Funktion f in seinem Verlauf eine Sprungstelle hat. Die Funktion f ist nicht stetig. Die Funktion g ist dagegen schon glatt. Ist schön glatt und da gibt es ja keine Sprungstelle und dementsprechend ist die Funktion g stetig. Das ist anschaulich klar. Und nun wollen wir uns klarmachen, überlegen, was kann man sich so anschaulich vorstellen, bei der Charakterisierung der Stetigkeit mit Folgen. Vielleicht noch eine Zwischenbemerkung: Die Funktion f ist nicht stetig entlang der Linie, die ich gerade andeute, die Strecke 0 bis 1 parallel der x-Achse. Entlang dieser Strecke hier ist die Funktion f nicht stetig, da weist sie einen Sprung auf. Sonst ist die Funktion schön glatt, stetig und alles in Ordnung. Okay. Und nun zur Charakterisierung der Stetigkeit mit Folgen. Ich nehme dann hier einen Punkt in der Mitte des Definitionsbereichs, X0. Der Punkt X0 hat die x-Koordinate ½, die y-Koordinate ist 1. Hier ist der Punkt. X0 hat die Koordinaten (½,1). Und an diesem Punkt weist die Funktion f einen Sprung auf. Wir wollen sehen, was bedeutet dann "mit Folgen"? Wir approximieren den Punkt X0 durch zwei verschiedene Folgen und schauen uns die Werte der Funktion auf diesen Folgen an. Wir nehmen dann die Folge, meinetwegen ak. Ich hoffe, man sieht die Folge. Und ich möchte dann entlang dieser punktierten Linie von links an den Punkt X0 rangehen. Hier wäre der erste Folgenpunkt, hier der zweite und dann immer näher. Die Folge ak kommt dann hier dann gegen Punkt X0. Und man sieht wunderbar, dass die x-Koordinate von jedem Punkt ½ ist. Die ist fest. Die y-Koordinate ist aber beweglich, zum Beispiel 1-1/k. Die Folge mit solcher Formel wäre dann so veranschaulicht. Also wir sehen, dass die grüne Folge konvergiert sozusagen von links gegen den Punkt X0. Ja, und dann betrachten wir noch eine weitere Folge, bk. Die macht dasselbe, aber von rechts. Und die Formel dafür ist nicht schwer zu erraten. Die x-Koordinate ist auch ½ beispielsweise, und die y-Koordinate ist 1+1/k. So, hier ist die Folge. Wenn k=1 ist, dann B1=(½,2). Und so weiter. Und dann kommen hier die roten Punkte ebenfalls gegen den Punkt X0. Nun schauen wir uns an, was machen denn Funktionswerte bei den Folgen? Die Punkte der Folge ak werden ungefähr hier abgebildet. Das sind die Funktionswerte von f von ak. Und die Punkte der Folge bk werden dann auf dieser Rutsche abgebildet, und so weiter, und so fort. Das sind die Funktionswerte von der Folge bk. Jetzt schreibe ich ak, aber ich meine bk. Anschaulich sieht man, dass die Folge f(ak) gegen 1 konvergiert. Die Folge f(ak) ist übrigens konstant. Auf diesem Bild sieht man, dass alle Zahlen die auf dem Kreuz von 0 bis und 0 bis 1 liegen, alle Punkte von diesem kleinen Rechteck werden auf 1 abgebildet. Und deswegen ist die Folge f(ak) konstant. lso: f(ak)=1, und als konstante Folge konvergiert sie auch gegen 1. Bei der Folge f(bk) verhält es sich anders. Die Folge ist nicht konstant. Die Punkte landen hier auf der Rutsche und die Rutsche - ich habe versucht, es hier einzuzeichnen - die Rutsche hat dann den linken Rand bei 2. Man sieht hier, dass die Funktionswerte auf der Folge bk konvergieren gegen 2. Also hier ist der Grenzpunkt. Die Bewegung erfolgt so in diese Richtung. Hier ist der Grenzpunkt. Dann zeichne ich auch entsprechend die Bewegungsrichtung für die grüne Folge. Also: f(bk) - man kennt ja nicht die Formel, für die Formel interessieren wir uns gar nicht - das konvergiert gegen 2. Jetzt denken wir an die Charakterisierung der Stetigkeit mit Folgen. Die möchte ich ja auch gleich an die Tafel bringen. Die Funktion f ist stetig im Punkt X0 genau dann, wenn für jede Folge (Xk), die gegen den Punkt X0 konvergiert, gilt, dass die entsprechende Folge der Funktionswerte gegen den Wert der Funktion im Punkt Y konvergiert. Anhand dieser 2 Folgen, der grünen und der roten, sehen wir, dass die Bedienung aus der Charakterisierung der Stetigkeit in Folge nie erfüllt werden kann, weil hier die Funktionswerte auf der Folge ak konvergieren gegen 1. Und die Funktionswerte der Folge bk konvergieren gegen 2. Sie können nicht gegen den Funktionswert konvergieren, also diese Charakterisierung ist hier nicht gegeben, ist nicht erfüllt, weil die Funktion f hat in Punkt X0 nur einen Wert, nicht beide Werte gleichzeitig. Und vielleicht anhand dieser grafischen Darstellung können wir die Charakterisierung der Stetigkeit mit Folgen besser verstehen, die ja so wichtig für die Aufgaben ist.

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