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Transkript Stetigkeit - Charakterisierung mit Folgen

Ja, bei dem Thema Stetigkeit, ist die folgende Aussage zentral. Die steht schon hier an der Tafel. Das ist die Charakterisierung der Stetigkeit durch Folgen. Diese Aussage habt ihr wohl in der Analysis 1 gesehen, spielte dort aber eine Nebenrolle. Hier in Analysis 2 wird sie zentral sein. Diese Aussage, meinetwegen kann man es als Satz nehmen, dieser Satz spielt eine zentrale Rolle bei der Behandlung von Übungsaufgaben, die ihr auch in der Klausur rechnen sollt. Ja, gut, das ist die Charakterisierung der Stetigkeit durch Folgen. Ich lese es einmal vor. Wir haben es mit einer Funktion zu tun, f auf dem Definitionsbereich D, definiert auf Rn, ja Rn ist Anzahl der Variablen der Funktion, sie ist reellwertig. Ja, sie ist eine Funktion, und wir fixieren einen Punkt x0 im Definitionsbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. Hier sind sie, 1 und 2. Die Funktion f, ist stetig im Punkt x0, genau dann wenn, und jetzt bitte Aufpassen, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Wenn für jede Folge Xk, hier ist die Folge, im Definitionsbereich, die gegen den fraglichen Punkt konvergiert, folgende Eigenschaft gilt: Die Folge der Funktionswerte auf Xk, konvergiert gegen den Funktionswert in X0. Ich wiederhole: Die Funktion im Punkt X0 ist stetig, genau dann, wenn für jede Folge Xk die gegen X0 konvergiert, die Folge der Funktionswerte gegen den Funktionswert in X0 konvergieren. Das ist ein bisschen umständlich, aber leider muss man damit leben. Wir werden gleich sehen, wie man damit bei den praktischen Aufgaben umgeht. Hierzu kommt noch eine technische Voraussetzung, man verbietet dass die Punkte der Folge Xk, mit dem Grenzpunkt übereinstimmen. Das ist eine kleine technische Voraussetzung. Diese Aussage mag etwas verwirrend klingen, wir wollen uns klarmachen, wie man sie bei praktischen Übungsaufgaben benutzt. Bei dem Thema gibt es nur einen Aufgabentyp, auf welchen wir eingehen wollen. Typische Aufgabenstellung sieht wie folgt vor, es ist eine Funktion gegeben, und da soll man sie in einem Punkt auf Stetigkeit untersuchen. Ich schreibe das Ausführlicher auf. Typische Aufgabenstellung: Untersuche eine gegebene Funktion, die Funktion hat immer den Namen f, man beschränkt sich auf das Betrachten der Funktionen, die von 2 veränderlichen abhängig sind. Ja, sie ist auf R2 definiert. Ist reellwertig, und die Variablen nennt man fast immer x,y. Die Funktionen sind in diesem Aufgabentyp fast immer so gegeben: Es gibt eine geschweifte Klammer, man hat eine bestimmte Formel. Im Fall, wenn Punkt x,y von 0 verschieden ist, ja man hat einen festen Wert im Punkt (0,0). Ich habe bewusst hier einfach nur 3 Punkte geschrieben. Ja, wo hier 3 Punkte stehen, stehen in den konkreten Aufgaben irgendwelche Formeln. α ist irgendeine feste Zahl, meinetwegen 0 oder 1. Wir wollen hier kein konkretes Beispiel rechnen, sondern wollen uns klarmachen, wie man diese Aussage anwendet. Also untersuche gegebene Funktion auf Stetigkeit im Punkt (0,0). Es gibt nur 2 Möglichkeiten, entweder ist die Funktion im Punkt (0,0) stetig, oder nicht. Beide Möglichkeiten können wir mit der Charakterisierung der Stetigkeit von Folgen behandeln. Je nachdem wie die Formel aussieht, je nachdem wie α aussieht, da können wir erst mal intuitiv versuchen, die Entscheidung zu treffen, ob die Funktion stetig ist oder nicht. Woher die Intuition kommt, darauf gehe ich später ein, bei der Behandlung der Übungsaufgabe. Nun, wenn wir der Meinung sind, dass die Funktion im Punkt (0,0) stetig ist, dann müssen wir Folgendes tun: Wir nehmen eine beliebige Folge, die gegen den Punkt (0,0) konvergiert, nicht eine konkrete Folge, sondern einfach nur beliebige Folge. Wir sollen dann zeigen, dass die Folge der Funktionswerte gegen den Wert der Funktionen im Punkt (0,0) konvergiert. Also das wollen wir festhalten. Ich wische erstmal. Also so geht man vor, um zu zeigen, dass die Funktion f in (0,0) stetig ist. Also, für eine beliebige Folge xK, yK die gegen (0.0) konvergiert. Also mit der Eigenschaft xk,yk geht gegen 0 und jeder Folgenpunkt ist vom Punkt (0,0) verschieden. Für eine solche beliebige Folge soll man zeigen, die Folge der dazugehörigen Funktionswerte, also f(xk,yk) kovergiert gegen α. Ich erinnere α war Funktionswert im Punkt (0,0). Ich betone, man soll eine beliebige Folge wählen, und dann irgendwie durch die Methoden, die uns aus der Analysis 1 bekannt sind, zu zeigen, dass die Folge f(xk,yk) gegen α konvergiert. Das ist die Vorgehensweise, alles andere sind technische Details. Nun, wenn wir der Meinung sind, dass die Funktion f im Punkt (0,0) doch nicht stetig ist. Zum Beispiel ist dieser Nachweis nicht gelungen. Dann kann man vermuten, dass die Funktion f im Punkt (0,0) nicht stetig ist. Um das zu zeigen, gibt es auch eine Standard Vorgehensweise. Die wollen wir gleich besprechen. Die lehnt sich ebenfalls an der Charakterisierung der Stetigkeit mit folgen an, die ich am Anfang an die Tafel geschrieben habe. Also, so geht man vor, um zu zeigen, das die Funktion f im Punkt (0,0) nicht stetig ist. Da die Funktion f im Punkt (0,0) nicht stetig ist. Wir sollen in diesem Fall beweisen, dass die Eigenschaft aus der Charakterisierung nicht erfüllt ist. Das heißt, wir sollen diese Eigenschaft aus der Charakterisierung widerlegen. Um eine Aussage zu widerlegen, reicht es ein Gegenbeispiel anzuführen. In diesem Fall reicht es, eine bequeme Folge zu finden,  also nicht von einer beliebigen Folge auszugehen, sondern eine bequeme Folge zu finden, die die Eigenschaft die ich gerade jetzt andeute, nicht hat. Also Vorgehensweise ist Folgende: Wähle eine Folge, und ich betone 1 Folge, in diesem Fall reicht 1 Folge. Im Fall der Stetigkeit muss man mit beliebiger Folge argumentieren, muss man für alle Folgen zeigen. In diesem Fall nur eine. Wähle eine Folge, abwechslungshalber nenne ich die (ak,bk). Ja sie ist nicht irgendwie x-beliebig, sondern sie ist konkret. Mit folgenden Eigenschaften, sie muss gegen den fraglichen Punkt konvergieren, und der fragliche Punkt bei dieser Aufgabenstellung ist (0,0). Jetzt kommt diese kleine technische Voraussetzung, (ak,bk) ist von (0,0) verschieden.Jetzt kommt der springende Punkt, wir sollen zeigen, dass die Folge der dazugehörigen Funktionswerte auf (ak,bk), nicht den Wert α gleich ist, und der Wert α ist nach wie vor der Punkt (0,0). Wenn wir eine Folge (ak,bk) mit solch einer Eigenschaft finden, dann haben wir den Beweis erbracht, dass die Funktion f in (0,0) nicht stetig ist. Welche Folgen nimmt man? Es gibt da 2,3 Standardfolgen, die da weiterhelfen. Typischerweise nimmt man folgende Folgen: Häufig leisten die folgenden Folgen das gewünscht, die sogenannten Lieblingsfolgen. (ak,bk)=(1/k,1/k). Also diese Folge konvergiert offensichtlich für k gegen unendlich, gegen (0,0). Oder meinetwegen die Folge (ak,bk)=(1/k,0, oder die Folge (ak,bk)=(0,1/k). Oder zum Beispiel 1/k2, Ähnliches. Meine Empfehlung ist die folgende, erst mal, wenn ihr eine solche Aufgabe vor Augen habt, dann probiert mit diesen Lieblingsfolgen. Wenn es gelungen ist, dann ist die Funktion nicht stetig. Wenn es nicht klappt, dann versucht zu zeigen, dass die Funktion stetig ist. Näheres gibt es im konkreten Beispiel.

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