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Transkript Stetigkeit - Aufgabe 3

Hier ist noch ein weiteres Beispiel zum Thema Stetigkeit. Wir müssen die gegebene Funktion auf Stetigkeit im Ursprung, im Punkt (0,0) untersuchen. Gut. Und hier ist es sehr schwer zu sehen, ob die Funktion stetig ist oder nicht, im Ursprung. Außerhalb des Ursprungs, da ist alles klar, da haben wir den Quotient von 2 stetigen Funktionen und ja, dort ist die Funktion stetig. Aber das ist nicht die Frage, die Frage ist Stetigkeit im Punkt (0,0). Also man weiß erst mal nicht, wie es sich verhält mit der Stetigkeit. Wenn man nichts weiß, dann muss man folgendes machen. Man muss erst mal 3 Folgen nehmen, 3 Lieblingsfolgen und mit ihnen ein bisschen herumprobieren. Und dann kommt man vielleicht auf eine richtige Idee. Und die Folgen sind naheliegend, jeder von euch sollte sie kennen. Also ich schreibe sie am besten an. Wir nehmen die Folgen, die sogenannten Lieblingsfolgen, ich nehme die Folgen (1/k,0), dann (0,1/k) und die Folge (1/k,1/k). Ja, für diese 3 Folgen untersuchen wir die Funktionswerte. Und untersuche die Funktionswerte auf diesen Folgen f(ak,bk), für jeweils diese 3 Folgen. Sollten wir feststellen, dass die Folge f(ak,bk) für irgendeine dieser 3 Folgen nicht gegen 1 konvergiert, dann haben wir damit gezeigt, dass die Funktion im Ursprung nicht stetig ist. Also so kann man mit jeder Aufgabe anfangen. Sollte aber die Folge f(ak,bk) für alle 3 Folgen gegen 1 konvergieren, dann ist das ein starker Hinweis darauf, dass die Funktion stetig ist. Und da, wenn man der Meinung ist, dass die Funktion stetig ist, dann muss man den Beweis auf eine völlig andere Art und Weise abwickeln. Wie es eben in dem ersten Beitrag zu diesem Thema vorgeführt wurde. Ich schlage euch vor, dass ihr erst mal selbstständig mit diesen 3 Folgen experimentiert. Wenn ihr das gemacht habt, dann werdet ihr schnell feststellen, dass die 1. Folge, die ich angegeben habe ungeeignet ist, die 2. und die 3. Folge liefern das Gewünschte. Ich rechne ausführlich vor, das Ganze für die 2. Folge. So, ich behaupte mithilfe der 2. Folge, dass wir sofort sehen, dass die Funktion im Ursprung nicht stetig ist. Behauptung: f ist nicht stetig im Ursprung, ist nicht stetig im Punkt (0,0). Für die 2. Folge gilt folgendes. Dann für die Folge (ak,bk).. das ist ein bisschen unmöglich, dass ich alle 3 Folgen mit demselben Buchstaben bezeichnet habe, aber ich hoffe, das führt nicht zur Verwirrung. Man kann meinetwegen die Folgen, um sie zu unterscheiden mit Strichen markieren, damit man wirklich nicht durcheinander kommt. Aber wir konzentrieren uns auf die 2. Folge. Für die Folge (ak,bk)=(0,1/k) gilt.. Ja, und wie ich empfohlen habe, wir untersuchen die Folge der zugehörigen Funktionswerte. Das ist eine Regel. Folge f(ak,bk), das rechnen wir erst mal aus, schicken k gegen unendlich und überlegen was passiert im Grenzfall. Gut, (ak,bk) ist immer vom Ursprung verschieden, deswegen benutzen wir die gegebene Formel, das ist die Exponentialfunktion von.. ak ist in dem Fall x. Also verzeih, ich möchte es da ein bisschen ausführlicher machen. Die Formel will ich ein bisschen später aufschreiben. Erst mal setze ich ja die definierten Folgen ein, (0,1/k), dann können wir besser mit der Formel umgehen. An dieser Stelle benutzen wir die vorgegebene Formel exp(x²+y²) in diesem Fall (0²+1/k²-1)÷(x²+2y²), also in unserem Fall x=0 und y=1/k, also 0²+2×1/k². Wir wollen das ein wenig vereinfachen. Es gibt nicht viel zu vereinfachen: 0², die Addition von 0² liefert kein Ergebnis. Macht keinen Unterschied. Hat keine Wirkung. Wir haben dann die Exponentialfunktion, ich gehe zu einer anderen Schreibweise über, anstatt exp schreib ich (e1/k²-1)÷(1/k²). Und diese 2 Formeln will ich ausklammern. Also wenn ich durch 2 dividiere, ist es dasselbe, als wenn ich mit ½ multipliziere. Ja, und wenn wir den Ausdruck f(ak,bk) auf die Formel gebracht haben, dann können wir schon sehen, was passiert, wenn k gegen unendlich läuft. Auf diese Frage will ich ein wenig ausführlicher eingehen. Gut, ich schreibe noch einmal hin, wie weit wir gekommen sind. f(ak,bk)=½, diesmal schreibe ich ½ vorne, das ist egal, (e1/k²-1)÷(1/k²). Und wir wollen uns überlegen, wohin konvergiert denn dieser Ausdruck, wenn k geben unendlich geht. Und dazu ist eine Zwischenüberlegung nötig. Und an dieser Stell hört Analysis 2 auf, also wir landen wieder bei Analysis 1, wie es oft der Fall ist, wir müssen den Grenzwert berechnen. Also ich erinnere an folgende Tatsachen, aus den Tatsachen, dass der Grenzwert Limes x gegen 0, ex-1/x, dass dieser Grenzwert 1 ist, sollte jeder sehen. Wer das nicht sieht, der kann meinetwegen Regeln von L'hospital verwenden und das will ich vielleicht kurz vorrechnen. L'hospital nach l'hospital kann man feststellen, dass dieser Grenzwert 1 ist. Und zwar, man leitet den Zähler und den Nenner ab und bekommt ex/1. Und in diesem Fall kann man Unbestimmtheit, 0 durch 0 ist aufgehoben, in diesem Fall Grenzwert von Exponentialfunktion ex bei x gegen 0 = 1. So aus dieser Tatsache, dass der gegebene Grenzwert 1 ist und der Tatsache, dass die Folge 1/k² gegen 0 geht, folgt, dass der Grenzwert von (e1/k²-1)÷1/k², dieser Grenzwert ist 1. Ja, das war unsere Zwischenüberlegung. Ja, aufgrund der Zwischenüberlegung schließen wir, dass die Folge f(ak,bk) gegen ½ konvergiert, also gegen ½, ½, das war ein konstanter Vorfaktor, der bleibt beim Grenzübergang klarerweise erhalten. Und den Grenzwert haben wir gerade berechnet, der Grenzwert ist 1. ½×1=½, also wir haben ja den Grenzwert berechnet, das ist ½. Ja und jetzt kommt der springende Punkt, der Grenzwert ist ½ und das ist vom Wert der Funktion im Ursprung verschieden. Der Wert ist 1, der Grenzwert der Funktionswerte auf dieser Folge f(ak,bk) ist ½. Weil diese 2 Zahlen verschieden sind, da schließen wir daraus sofort, dass die Funktion im Punkt (0,0) nicht stetig ist. Das fixiere ich gleich mal. Die Zwischenüberlegung brauchen wir mittlerweile nicht mehr, sie hat ihre Funktion erfüllt. Ja, jetzt halte ich noch mal fest, was ich gerade gesagt habe. Wegen der Tatsache, dass die Folge (ak,bk) gegen den Ursprung konvergiert und der Tatsache, dass die Folge der entsprechenden Funktionswerte gegen ½ konvergiert, das haben wir gerade nachgerechnet, das hier ist das Ergebnis unterschiedlicher Argumentation, also das ist dasselbe. Wegen dieser beiden Tatsachen und ½ =ungleich 1 und 1 war der Wert der Funktion im Ursprung, wegen dieser beiden Tatsachen ist die Funktion f an der Stelle (0,0) nicht stetig. Ist f im Punkt (0,0) nicht stetig. Ja, damit ist der Beweis abgeschlossen. Ich möchte noch einiges hinzufügen. Ich habe am Anfang drei Folgen vorgeschlagen, mit denen man experimentieren könnte. Und die 1. Folge, die ich da angeschrieben habe, die würde nicht passen. Jetzt wollen wir uns klar machen, warum sie nicht geeignet wäre. Beachte, wenn wir die Folge (1/k,0) betrachten würden, ja, dann hätten wir.. da setzt man genau wie oben ein und bekommt folgenden Ausdruck. Exponentialfunktion (e1/k²-1)÷(1/k2). Und dieser Grenzwert ist, wie wir gerade nachgerechnet haben, ist 1. Also mit der Folge (1/k,0) bekommt man als Grenzwert 1 und 1 stimmt mit dem Funktionswert überein. Also mit der 1. Folge kann man nicht auf Stetigkeit schließen, die führt uns nicht weiter. Also die Folge, wir haben sie mit Strich markiert, (ak',bk'), diese Folge ist für den Nichtstetigkeitsnachweis nicht geeignet. Die Folge ist für unsere Zwecke nicht geeignet. Gut, also daraus kann man nicht schließen, dass die Funktion nicht stetig ist. Und daraus kann man auch nicht schließen, dass die Funktion stetig ist. Man muss sich klar machen, dieses Ergebnis bringt uns überhaupt nicht weiter. Wenn wir das bekommen haben, können wir nicht schließen, dass die Funktion stetig ist. Wenn wir der Meinung sind, dass die Funktion stetig ist, dann müssen wir so vorgehen wie im 1. Beitrag. Wie im 1. Beispiel, das auch auf der Seite erhältlich ist. Gut, dann war es das für dieses Beispiel.

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1 Kommentar
  1. Default

    Zu Abstrakt

    Von Dmihic, vor fast 7 Jahren