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Transkript Statistik Video 99 - Binomialverteilung Übung Teil 1

Hallo! Schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute bei unserer Übung zur Binomialverteilung und ich hab mir da ein kleines Beispiel überlegt. Und wir wollen ein paar Aufgaben durchrechnen, sodass ihr möglichst alles mal gesehen habt. Also. Wir haben die Zufallsvariable x, klassisch binomialverteilt, Anzahl der Erfolge bei n unabhängigen Versuchen, mit dem Verteilungsparametern n=17. 17 Versuche wollen wir machen - und eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 0,35. So. Das Ganze sieht man aus dieser Zeile. X ist binomialverteilt mit den Verteilungsparametern 17 und 0,35. Als Erstes wollen wir Erwartungswert und Varianz berechnen. Wir erinnern uns aus dem letzten Video, da haben wir Erwartungswert und Varianz hergeleitet: Erwartungswert war n×p - Anzahl der Versuche × Erfolgswahrscheinlichkeit, in unserem Fall 17×0,35. 17×0,35 führt uns zu einem Erwartungswert von 5,95. So schnell kann man den berechnen, wenn man eine Zufallsvariable hat, die binomialverteilt ist. Das Gleiche machen wir bei der Varianz. Die Varianz, da war die Formel n×p×(1-p), also Anzahl der Versuche × Erfolgswahrscheinlichkeit × Misserfolgswahrscheinlichkeit, hatten wir auch beim letzten mal hergeleitet. Also im Prinzip 17×0,35×0,65. Wenn man das jetzt einmal ausrechnet, kommt man auf eine Varianz von 3,8675. Ok, Erwartungswert und Varianz haben wir jetzt also hergeleitet. Gut, war eigentlich kein Problem. Machen wir weiter mit unserer Frage a), die Wahrscheinlichkeit, dass sich unser X zu einem Wert =7 realisiert, also dass wir bei 17 Versuchen genau - genau - 7 Erfolge haben. Könnte natürlich auch sein, dass ihr so eine Frage mal verbal kriegt, also: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie genau 7 Erfolge haben? Dann wäre genau hier nach gefragt. Die Wahrscheinlichkeit, dass X zu einem Wert realisiert, in unserem Fall 7. Okay, wie berechnen wir das? Naja, wir erinnern uns an die Wahrscheinlichkeitsfunktion, also die Wahrscheinlichkeit, dass X=7 ist. Und allgemein hatten wir ja Anzahl der Versuche n über Anzahl der Erfolge. Also 17 über 7, Anzahl der Versuche über Anzahl der Erfolge. Hier kommt raus: "Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei 17 Versuchen genau 7 Erfolge zu erzielen?", also in der Reihenfolge. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es? So. Und das Ganze wurde multipliziert mit der Erfolgswahrscheinlichkeit, also in unserem Fall 0,35die Anzahl der Erfolge. ErfolgswahrscheinlichkeitAnzahl der Erfolge. Und das Ganze ×Misserfolgswahrscheinlichkeit, also 0,65Anzahl der Misserfolge. Zur Erinnerung: Wenn wir jetzt das aufdröseln würden, dann hätten wir im Prinzip unsere verschiedenen Möglichkeiten, also: "Wie viele verschiedene Möglichkeiten haben wir?", und in jeder einzelnen dieser Möglichkeiten hätten wir, unsere Reihe von "P"s und "(1-P)"s, insgesamt 17 Stück, halt in der jeweiligen Reihenfolge. Also wir hätten z. B.  P×P×P×(1-P)×(1-p), immer für jeden einzelnen Versuch. Daher kommt genau das. Also wir hätten dann jedes mal 7× unsere Erfolgswahrscheinlichkeit und 10× unsere Misserfolgswahrscheinlichkeit. Da das Ganze natürlich nur immer multipliziert wird, wird das dann immer zu 0,357 zusammengefasst, also Erfolgswahrscheinlichkeit ^ Anzahl der Erfolge in dieser Reihe, × Misserfolgswahrscheinlichkeit ^ Anzahl der Misserfolge in dieser Reihe. Daher kommen diese Exponenten. So, das ist also unsere Formel, so wie sie hier steht. Das Ganze kann man so in den Taschenrechner eingeben und man kommt zu einer Wahrscheinlichkeit von 0,169. Also die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei 17 Versuchen bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 35 % genau auf 7 Erfolge kommen, liegt bei etwas unter 17 %. Ok, gut zu wissen. Widmen wir uns also unserer Frage b), die Wahrscheinlichkeit, dass sich unser X zu einem Wert ≤ 7 realisiert. Das Ganze kann man auch anders schreiben. Wonach hier eigentlich gefragt ist, ist F(7), also die Verteilungsfunktion von 7, die kumulierten Wahrscheinlichkeiten für alle Werte ≤ 7. und wir haben ja gesagt, die Verteilungsfunktion ist tabelliert, und das wollen wir natürlich ausnutzen, und deshalb gucken wir uns doch einfach mal die Tabelle an. Also erst einmal müssen wir das richtige Tabellenblatt finden. Irgendwo müsste da draufstehen p=0,35. Wenn wir die richtige Tabelle gefunden haben, müssen wir noch die richtige Spalte finden. Also wir haben hier n=1, n=2, und irgendwo haben wir n=17. So, und das hier ist die Spalte, die wir suchen. Und dann müssen wir noch die richtige Zeile finden. Also, es fängt hier bei 0 an. x ≤ 0, x ≤ 1, und irgendwann steht da x ≤ 7. So, und genau das ist das, was wir haben wollen. Also, unsere Wahrscheinlichkeit, Erfolgswahrscheinlichkeit, 35 %, die Anzahl der Versuche 17, und jetzt das, wonach gefragt ist: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei X ein Wert ≤ 7 realisiert, und das, was hier steht, ist dann unsere Antwort. So, und hier steht 0,7872, und das können wir so 1:1 übernehmen. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei 17 Versuchen eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 35 %, also dass wir maximal 7 Erfolge haben, liegt bei 78,72 %. Gut, jetzt haben wir also a) und b) beantwortet, c) und d) werden etwas komplizierter. Okay, machen wir also weiter mit Aufgabe c). Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, dass X sich zu einem Wert ≥ 7 realisiert. Ok, jetzt musst du erst mal ein bisschen nachdenken. ≥ 7, was bedeutet das? Welche Zahlen sollen wir also offensichtlich dabei haben? Also, dabei haben sollen wir die 7, die 8, die 9, die 10 usw., bis zur 17, also alle Zahlen ≥ 7. Welche Zahlen wollen wir nicht dabei haben? Naja, offensichtlich alle anderen. Also 6, 5, 4, usw. bis zur 0. Gut, wie können wir das ausdrücken? Wir wissen ja: ≤ ist tabelliert, ≥ ist nicht tabelliert. Ok, wir können also sagen: "Die Wahrscheinlichkeit von P ≥ 7, also in diesen Bereich zu fallen, ist genau das Gleiche wie 1- der Wahrscheinlichkeit, in diesen Bereich zu fallen.", weil sich das ja eindeutig gegenseitig ausschließt. Also wenn ich die Wahrscheinlichkeit haben will, ≥ 7 zu sein, kann ich auch einfach die komplette Wahrscheinlichkeitsmasse 1 nehmen und die Wahrscheinlichkeit abziehen von allen Zahlen, wo ich nicht reinfallen will, also hier rein. So. Das hier führt uns also zu F(6), also die Wahrscheinlichkeit, dass X sich zu einem Wert ≤ 6 realisiert, d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass x ≥ 7=1-P(X ≤ 6), also F(6). Und das hier ist nämlich tabelliert. Gucken wir also nach in unserer Tabelle. x ≤ 6, n=17, und dann haben wir hier einen Wert stehen von 0,6188. Ja, den lesen wir ab, den können wir einsetzen, sagen also hier 1-0,6188, das macht 0,3812. Das ist also die Wahrscheinlichkeit, dass sich unser X als Wert ≥ 7 realisiert. Können wir, wie wir sehen, hier direkt nicht ablesen, aber mit ein bisschen nachdenken können wir sehen, wie wir es bekommen. So, die letzte Aufgabe, d). Die Wahrscheinlichkeit, dass X zu einem Wert < 2 ≤ 7 realisiert. So, und auch da sollten wir wieder nachdenken, welche Zahlen gewollt sind und welche Zahlen nicht gewollt sind. Schreib wieder die gewollten Zahlen in Rot. Also, da soll echt > 2 sein. Wir reden hier ja nur von ganzen reellen Zahlen, also ist die kleinste Zahl, die drin sein soll, die 3, echt > 2. Die 4, die 5, die 6. So, und was ist jetzt mit der 7? Die 7, also X soll ≤ 7 sein, also ist die 7 noch mit drin. Welche Zahlen sind jetzt nicht drin? Naja, die 0, die 1, die 2, und dann alles das, was größer ist als 7, also 8, 9 usw. bis 17. An diesem Bereich wollen wir jetzt also gerne dran kommen. Wie machen wir das? Ja, wir gucken uns an, also. Wenn wir diese beiden Bereiche, also die Wahrscheinlichkeit, dass X sich zu einem Wert 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 oder 7 realisiert, zusammen angucken, wäre das ja F(7). Also das hier führt uns zu F(7), also die Wahrscheinlichkeit, dass X sich zu einem Wert ≤ 7 realisiert. Problem ist, da sind jetzt die Wahrscheinlichkeiten, dass X 0, 1 oder 2 ist, auch noch mit drin. Die müssen wir also irgendwie wieder rausbekommen, und das machen wir ganz einfach. Wir ziehen jetzt F(2) wieder davon ab, also die Wahrscheinlichkeit, dass X sich zu einem Wert ≤ 2 realisiert. Damit eliminieren wir diese 3 Zahlen, die hier stehen, die Wahrscheinlichkeit, dass X sich zu 0, 1 oder 2 realisiert. Ja, und das ist unsere Formel, wie wir an genau diese Zahlenfolge herankommen. Wir sehen ja hier, Verteilungsfunktion F, also tabelliert, können wir ablesen. So. Gucken also hier einmal in x ≤ 2 und x ≤ 7 in unserer Tabelle nach. x ≤ 2=0,0327 und x ≤ 7 ist 0,7872. Und das können wir jetzt ganz einfach nehmen und einsetzen und dann haben wir auch schon unseren Wahrscheinlichkeitswert raus. Also 0,7872-0,0327. Das macht 0,7545, also eine Wahrscheinlichkeit von gut 75 %, dass X sich zu einem Wert  > 2 ≤ 7 realisiert. Ja, das war jetzt auch schon unser Übungsvideo zur Binomialverteilung. Ich bedanke mich fürs Zuschauen, sage bis zum nächsten Mal und tschüss.

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