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Transkript Statistik Video 97 - Binomialverteilung I

Hallo! Schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute bei unserem 1. Video zur Binomialverteilung. Das heißt, wir gucken uns eine neue Verteilung an. Wir haben ja im letzten Video, der Übung zur Bernoulliverteilung, schon gesagt, dass die Binomialverteilung im Prinzip eine Erweiterung der Bernoulliverteilung ist, wenn man nicht nur einen Versuch machen will, sondern mehrere. Das heißt, wir haben hier n unabhängige Versuche, also n unabhängig gleich verteilte Bernoulliversuche, und daraus bilden wir dann unsere Binomialverteilung. Also, wenn ihr euch erinnert an das Beispiel mit der Urne: Ziehen mit Zurücklegen. Wir haben bei jedem Versuch die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit. Und wir haben diesmal unsere Zufallsvariable X, nicht Anzahl der Erfolge bei einem Versuch, sondern Anzahl der Erfolge bei n unabhängigen Versuchen. Das heißt, wir haben auch nicht wieder, wie in der Bernoulliverteilung, nur einen Verteilungsparameter, nämlich die Erfolgswahrscheinlichkeit p, die haben wir jetzt zwar auch wieder. Aber wir haben als 2. Verteilungsparameter auch noch die Anzahl der Versuche n. Und man sagt dann: X ist binomialverteilt, mit B abgekürzt, mit den Verteilungsparametern n und p. Okay. Also was müssen wir jetzt zur Binomialverteilung wissen? Es gibt 2 Verteilungsparameter n und p, wir haben n unabhängige gleich verteilte Bernoulliversuche, ja und dann können wir sagen: X ist binomialverteilt mit n und p. Gucken wir uns doch einfach mal die Wahrscheinlichkeitsfunktion an einem Beispiel an und leiten sie her. Okay. Wollen wir uns das Ganze noch mal angucken. Also wir haben n=2 Versuche, also wir haben 2 voneinander unabhängige Versuche, und wir haben unsere Zufallsvariable X, definiert als Anzahl der Erfolge bei n=2 Versuchen. Das ist immer die Definition bei einer binomialverteilten Zufallsvariable: Anzahl der Erfolge bei n unabhängig gleich bernoulliverteilten Versuchen. Und wir wollen jetzt in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit dafür haben, dass X=1 ist; das heißt, dass wir bei 2 Versuchen 1 Erfolg haben. So. Und wir haben unsere beiden bernoulliverteilten Zufallsvariablen X1 und X2. Das heißt, X1 ist die Anzahl der Erfolge beim 1. Versuch, X2 ist die Anzahl der Erfolge beim 2. Versuch. Und damit wir 1 Erfolg haben, gibt es 2 Möglichkeiten. Entweder wir haben den Erfolg im 1. Versuch und dafür keinen im 2. (also X1=1 steht ja für 1 Erfolg in einer Bernoulliverteilung), X2=0. Oder wir haben beim 1. Mal keinen Erfolg, X1=0, und X2 ist dafür =1. Also beim 2. Versuch haben wir den Erfolg. So. Ihr erinnert euch vielleicht an die Algebra. Also hier: (X1=1) und (X2=0) treten quasi gleichzeitig auf; oder (X1=0) und (X2=1), also die beiden treten hier gleichzeitig auf. Einer dieser beiden Fälle muss eintreten, also entweder der 1. Fall oder der 2. Fall. Also das ist im Prinzip nur die umständliche Umschreibung dafür. Entweder habe ich beim 1. Mal den Erfolg oder beim 2. Mal. So. Und da diese beiden Fälle voneinander disjunkt sind, das heißt, sie können nicht gleichzeitig auftreten, das kann nicht sein, dass ich gleichzeitig beim 1. Mal einen Erfolg habe und beim 1. Mal keinen Erfolg (naja, entweder ich habe den Erfolg oder nicht), das heißt, es tritt immer nur einer der beiden Fälle ein, können wir die Einzelwahrscheinlichkeiten addieren. Also die Wahrscheinlichkeit, dass X1 der Erfolg ist und X2 ein Misserfolg + die Wahrscheinlichkeit, dass es genau andersrum ist, also X1 ist der Misserfolg und X2 ist der Erfolg. So. Man kann das jetzt in der Algebra noch in bedingte Wahrscheinlichkeiten umwandeln. Das ist sehr hilfreich. Also: die Wahrscheinlichkeit, dass X2 ein Misserfolg ist unter der Bedingung, dass X1 ein Erfolg war, × die Wahrscheinlichkeit, dass X1 ein Erfolg ist. Das ist das Gleiche wie das, nur in einer anderen Schreibweise, also man konnte es umwandeln. Und natürlich macht man das hier hinten auch: die Wahrscheinlichkeit, dass X2 ein Erfolg ist, unter der Bedingung, X1 war ein Misserfolg, × die Wahrscheinlichkeit, X1 ist ein Misserfolg. So. Was können wir jetzt mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten machen? Naja, wir haben ja gesagt, bei der Bernoulliverteilung handelt es sich um n unabhängige Versuche. Das heißt, die Versuche interessieren sich nicht dafür, was in vorherigen Versuchen passiert ist. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass wir in Versuch 2 einen Misserfolg haben, also X2=0, ist immer gleich, egal, ob wir im 1. Versuch einen Erfolg hatten oder nicht. Wir ziehen ja aus der Urne mit Zurücklegen. Das heißt, ob wir jetzt im 1. Versuch die richtige Kugel gezogen haben oder nicht, ist völlig egal, da immer noch die gleichen Anzahlen von Kugeln von jeder Farbe in der Urne liegen, da wir die gezogene Kugel wieder zurückgelegt haben. Das heißt, wir können die bedingte Wahrscheinlichkeit hier auch einfach weglassen. So und jetzt ist nämlich der Punkt, wo es wirklich interessant wird. Wir haben also: die Wahrscheinlichkeit (X2=0) × die Wahrscheinlichkeit (X1=1) + die Wahrscheinlichkeit (X2=1) × die Wahrscheinlichkeit (X1=0). Oder anders ausgedrückt: Misserfolgswahrscheinlichkeit × Erfolgswahrscheinlichkeit + Misserfolgswahrscheinlichkeit × Erfolgswahrscheinlichkeit. Also: (1-P)×P+P×(1-P) also =2×P1×(1-P)1. So. Was ist jetzt was? Die 2 ist Anzahl der Möglichkeiten, wie das, was wir wissen wollen, eintreten kann. Also wie viele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es, damit wir genau einen Erfolg haben? Hier haben wir ja gesagt, es gibt 2 verschiedene Fälle, deshalb steht hier die 2. Also: Anzahl der Möglichkeiten. Was ist jetzt hier diese 1, dieser Exponent? Naja, da das hier die Erfolgswahrscheinlichkeit ist, ist die 1 die Anzahl der Erfolge. Und hier bei der Misserfolgswahrscheinlichkeit ist der Exponent natürlich dann die Anzahl der Misserfolge. Und so kann ich jede Wahrscheinlichkeit in der Binomialverteilung berechnen: Anzahl der Möglichkeiten, die es gibt, um zu meinem gefragten Resultat zu kommen, × ErfolgswahrscheinlichkeitAnzahl der Erfolge × MisserfolgswahrscheinlichkeitAnzahl der Misserfolge. Wenn wir jetzt zum Beispiel sagen, wir haben hier einen Würfel gewürfelt. So. Wir haben 2-mal gewürfelt und wollten einen Erfolg haben. Wir definieren als Erfolg jetzt, sagen wir mal, eine 6. Okay. Das heißt, unsere Erfolgswahrscheinlichkeit wäre 1/6. Unsere Misserfolgswahrscheinlichkeit wäre 5/6. Wir würden also rechnen: 2×(1/6)1×(5/6)1. Also: 2×1/6 sind =2/6, ×5/6 sind =10/36. Das wäre das Ergebnis für diese spezielle Binomialverteilung, wo wir also eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 1/6 haben, 2 Versuche, und die Wahrscheinlichkeit wissen wollen, genau einmal eine 6 zu würfeln: 10/36. Gucken wir uns das Ganze doch noch mal, nachdem wir es hergeleitet haben, in der formal korrekten Formel an. Okay. Gucken wir uns doch noch mal die allgemeine Definition für die Binomialverteilung an. Zuerst einmal die Zufallsvariable: Die Zufallsvariable X, Anzahl der Erfolge bei n unabhängigen Versuchen, ist definiert als die Summe über alle n-unabhängigen Versuche von Xi. Xi ist hier jeweils die Zufallsvariable der Bernoulliverteilung. Das heißt, ich kann jeden einzelnen Versuch meiner Binomialverteilung als Bernoulliverteilung beschreiben. Meine Variablen Xi nehmen ja immer entweder die Realisierung 0 oder 1 an. Das heißt, entweder hatte ich in dem speziellen Versuch einen Erfolg oder ich hatte keinen Erfolg, also 1 oder 0. Und als Summe von meinen n bernoulliverteilten Zufallsversuchen habe ich dann die Anzahl der Erfolge, also meine Zufallsvariable X. So. Die Definition für die Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unser X zu einem Wert x realisiert, das ist die Anzahl der Erfolge, nach der wir fragen. So. Das ist definiert als (n über x), das heißt Anzahl der Versuche über Anzahl der Erfolge; also wie viele Möglichkeiten gibt es, um zu genau dieser Anzahl von Erfolgen zu gelangen. Wir haben gerade gesehen, da hatten wir 2 Versuche, einer davon sollte ein Erfolg sein. Also hatten wir 2 Möglichkeiten. Allgemein haben wir (n über x) Möglichkeiten. Um euch noch mal daran zu erinnern: (n über x) ist definiert als n!/((x!×(n-x)!). Das noch mal als kleine Erinnerung. Also: (n über x), Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, zu dieser Anzahl der Erfolge zu kommen, × ErfolgswahrscheinlichkeitAnzahl der Erfolge × Misserfolgswahrscheinlichkeit (was hier in Klammern steht, also q im Prinzip, die Gegenwahrscheinlichkeit zur Erfolgswahrscheinlichkeit)n-x. Warum n-x? Naja, wir haben x Erfolge, nach denen wir fragen, also gerade einen Erfolg bei 2 Versuchen, und wir haben insgesamt n Versuche. Und jeder Versuch, der kein Erfolg ist, ist ein Misserfolg. Also, wenn wir hier 5 Versuche haben und 2 davon sollen Erfolge sein, dann implizieren wir damit, dass wir 3 Misserfolge haben. Also haben wir p2 und (1-p)3, also haben wir das hier. Also bei 5 Versuchen, wenn wir nach der Wahrscheinlichkeit fragen, dass wir genau 2 Erfolge haben, haben wir (5 über 2) Möglichkeiten × Erfolgswahrscheinlichkeit2, 2 Erfolge wollen wir erzielen, × Misserfolgswahrscheinlichkeit3, wir haben 3 Misserfolge. Da wir von 5 Versuchen nur 2 Erfolge haben wollen, haben wir dann also automatisch die restlichen 3 Versuche Misserfolge. Dieses (5 über 2) können wir jetzt noch mal kurz aufdröseln. Also wir sagen mal: (5 über 2), das bedeutet, das ist =5!/(2!×(5-2)!). So, was ist jetzt 5!? 5!=5×4×3×2×1. Also 5×4=20, ×3=60, ×2=120. Also haben wir hier 120. So, 2!=2×1, also =2, und 5-2=3, 3!=3×2×1, also 3×2=6, ×1 bleibt =6; also 120/2×6, also 120/12. Das ergibt 10. Es gibt also, wenn wir 5 Versuche haben und 2 davon sollen Erfolge sein, insgesamt 10 Möglichkeiten, wie diese 2 Versuche zustande kommen können. Also im Prinzip: 1. Versuch ein Erfolg, 2. Versuch ein Erfolg, dann 3 Misserfolge. Oder: 1. Versuch ein Erfolg, 2. ein Misserfolg, 3. ein Erfolg, dann die letzten beiden Misserfolge usw. Davon gibt es 10 Stück. Also: 10× Erfolgswahrscheinlichkeit2 (2 Erfolge wollen wir haben) × Misserfolgswahrscheinlichkeit3 (3 Misserfolge). Ja, das war schon das 1. Theorievideo zur Binomialverteilung. Ihr seht, wir sind bisher nur zur Wahrscheinlichkeitsberechnung gekommen. Im nächsten Video gucken wir uns noch die Verteilungsfunktion an, den Erwartungswert und natürlich auch die Varianz, sowie noch 1 bis 2 Eigenschaften, die die Binomialverteilung so mitbringt. Ja, ich bedanke mich fürs Zuschauen, hoffe, ihr guckt euch auch noch die letzten weiteren Videos an, sage bis zum nächsten Mal und tschüss!

Informationen zum Video
1 Kommentar
  1. Default

    versprecher bei 15:20 anstatt 2 versuche, werden 2 Erfolge gemeint !!

    Von Maxus, vor fast 5 Jahren