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Transkript Statistik Video 95 - Bernoulliverteilung

Hallo, schön, dass ihr alle wieder zuguckt! Wir sind heute bei unserer 2. diskreten Verteilung, der sogenannten Bernoulliverteilung. Bernoulli war ein Schweizer Mathematiker, Jakob Bernoulli, nach dem ist diese Verteilung benannt. Und sie ist, so wie die diskrete Gleichverteilung, im Kern eigentlich sehr simpel. Wir haben nämlich genau 1 definiertes Ereignis und wir machen jedes Mal nur einen Versuch. Und was uns jetzt interessiert, ist nur, tritt unser Ereignis ein oder tritt unser Ereignis nicht ein. Das heißt, haben wir einen Erfolg oder haben wir einen Misserfolg. Das wird üblicherweise codiert mit 1 oder 0 als Realisierung unserer Zufallsvariablen. Man könnte also sagen, unsere Zufallsvariable ist definiert als Anzahl der Erfolge. Gut, wir haben nur einen Versuch, insofern kann unsere Zufallsvariable auch nur die Werte 1 oder 0 annehmen, wie gesagt, bei einem Erfolg oder bei einem Misserfolg. Wir haben also dann die Eintritts- oder Erfolgswahrscheinlichkeit von p. P steht hier für die Eintrittswahrscheinlichkeit, manchmal wird auch ? verwendet, wobei ? dabei nicht die Kreismaßzahl ist, sondern als Synonym für die Wahrscheinlichkeit steht. Also, es könnte sein, dass ihr oder euer Prof. ? verwendet, ich benutze p. Immer, wenn ihr bei mir ein p seht, dann müsst ihr es in Gedanken durch ? ersetzen. Dementsprechend haben wir die Misserfolgswahrscheinlichkeit von 1-p, denn wenn unser Ereignis nicht eintritt - oder wenn unser Ereignis die Wahrscheinlichkeit p hat, einzutreten, dann gibt es die Gegenwahrscheinlichkeit -p, das es nicht eintritt. Die Misserfolgswahrscheinlichkeit, 1-p, wird auch manchmal als q bezeichnet. Das ist nicht unbedingt üblich, weil man oft auch einfach noch 1-p schreiben kann, um sofort auf den ersten Blick zu sehen, wie das alles von der Eintrittswahrscheinlichkeit p abhängt. Gut, nach dieser theoretischen Einführung einmal zwei Beispiele. Beispiel 1: Wir werfen eine Münze, mögliche Ausprägung: Kopf oder Zahl. Wir sagen einfach mal, wir definieren es als Erfolg, wenn wir Kopf werfen. Wir haben also die Eintrittswahrscheinlichkeit, die Erfolgswahrscheinlichkeit von ½ und die Misserfolgswahrscheinlichkeit auch von ½. Also immer, wenn wir keinen Kopf werfen, gut, dann werfen wir Zahl, passiert in 50 % der Fälle. Beispiel 2: Wir werfen mit einem 6-seitigen Würfel und definieren es als Erfolg, wenn wir eine 1 werfen, und als Misserfolg, wenn wir keine 1 werfen, also wenn wir eine 2-6 werfen. Dann haben wir die Erfolgswahrscheinlichkeit p von 1/6, wir gehen natürlich, wie auch bei der Münze, davon aus, dass es sich um einen perfekten Würfel handelt, und die Misserfolgswahrscheinlichkeit q von 5/6, also, ihr seht, 1-p. Allgemein kann man sagen, unsere Wahrscheinlichkeitsfunktion sieht so aus: Wir haben die Wahrscheinlichkeit p, unsere Erfolgswahrscheinlichkeit, für x=1, also wenn wir einen Erfolg haben, und 1-p für x=0, also 0 ist hier als Misserfolg definiert und 1 ist als Erfolg definiert. Gut, anhand dieses Beispiels wollen wir uns doch jetzt noch mal den Erwartungswert und die Varianz angucken. Wir haben also das gleiche Beispiel, einen 6-seitigen Würfelwurf, und wir sagen jetzt, bei einer 1 nehmen wir den Erfolg, das heißt, unsere Zufallsvariable x nimmt den Wert 1 an. X ist wie gesagt die Anzahl der Erfolge bei unserem Bernoulliversuch, also wir haben einen Erfolg, der hat die Eintrittswahrscheinlichkeit 1/6, jedes 6. Mal werfen wir eine 1. Und wenn wir keine 1 werfen, haben wir einen Misserfolg, also nimmt unsere Zufallsvariable x den Wert 0 an, 0 Erfolge bei unserem Wurf, mit der Eintrittswahrscheinlichkeit 5/6. Hier das Ganze noch mal formal. Wir haben bei unserem Bernoulliversuch immer einen Erfolg mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und einen Misserfolg mit der Eintrittswahrscheinlichkeit 1-p. Jetzt wollen wir den Erwartungswert berechnen. Der Erwartungswert von x, wir erinnern uns, die Summe von Ausprägung × Eintrittswahrscheinlichkeit, also 0×(5/6)+1×(1/6). Wir sehen, dieser Teil fällt weg, also was kommt raus? 1/6. Das Ganze formal: E(x)=0×(1-p)+1×p=p. [] Das ist ganz wichtig. Wenn ihr wisst, es handelt sich um einen Bernoulliversuch, dann wisst ihr auch, der Erwartungswert ist p. Na, ist ja auch logisch, dadurch, dass x so definiert ist, Anzahl der Erfolge bei unserem Versuch, wenn wir jedes 6. Mal eine 1 würfeln, rechnen wir also im Schnitt mit 1/6 Erfolg pro Wurf, also jedes 6. Mal ein Erfolg. Gut, wollen wir jetzt die Varianz berechnen. Wir erinnern uns, die Varianz, das war Ausprägung - Erwartungswert zum Quadrat × Eintrittswahrscheinlichkeit, also (0-(1/6))2×(5/6)+(1-(1/6))2×(1/6). Also Differenz von Ausprägung und Erwartungswert zum Quadrat × Eintrittswahrscheinlichkeit. So, hier haben wir -(1/6), das zum Quadrat macht (1/36)×(5/6)+ - hier haben wir 5/6, das zum Quadrat macht (25/36)×(1/6). So, hier haben wir also 5/216 und hier haben wir 25/216, macht also insgesamt 30/216. Wir würden jetzt gerne aus diesem Ergebnis eine allgemeine Formel ableiten. Das fällt auf den ersten Blick noch nicht so leicht, aber wir können es kürzen mit 6, dann haben wir hier 5/36. Und 5/36 ist, wenn wir uns das Mal angucken, genau das Produkt von Erfolgswahrscheinlichkeit und Misserfolgswahrscheinlichkeit. Das ist also p×(1-p). So, und das hier ist die allgemeine Formel für die Varianz bei einem Bernoulliversuch, Erfolgswahrscheinlichkeit × Misserfolgswahrscheinlichkeit. Wohingegen das [] der Erwartungswert bei einem Bernoulliversuch ist. Ihr seht also, wenn ihr wisst, dass es sich um einen Bernoulliversuch handelt, dann kennt ihr im Prinzip auch schon den Erwartungswert p und könnt sehr einfach die Varianz berechnen, 1-p. Was ist also der Verteilungsparameter bei einem Bernoulliversuch? Nun ja, das Einzige, was im Prinzip variiert, ist die Erfolgswahrscheinlichkeit p. Man sagt also, wenn man weiß, dass es sich um einen Bernoulliversuch handelt: X ist bernoulliverteilt mit dem Verteilungsparameter p, also mit p= - und dann setzt man halt die Erfolgswahrscheinlichkeit ein. Wir würden hier also sagen, x ist bernoulliverteilt mit p=1/6. Und ihr seht, anhand dieses Satzes könntet ihr jetzt die Wahrscheinlichkeitsfunktionen aufstellen, hier oben, den Erwartungswert berechnen oder auch einfach angeben, berechnen muss man ihn ja im Prinzip nicht mehr, und die Varianz berechnen. Und außerdem könntet ihr noch einige einfache Wahrscheinlichkeitsfragen beantworten. Also in diesem Satz stecken alle Informationen drin, die ihr für die Bernoulliverteilung braucht. So einen Satz gibt es für jede Verteilung. Es gibt auch: X ist binomial verteilt mit den verschiedenen Verteilungsparametern, gut, da gibt es dann nicht nur einen, sondern 2, da gibt es dann n und p - oder auch bei der hypergeometrischen Verteilung. Es werden immer im Prinzip alle Informationen angegeben, die man braucht, um Erwartungswert zu berechnen, Varianz zu berechnen und Wahrscheinlichkeitsfunktionen aufzustellen. Ja, das war auch schon das Theorievideo zur Bernoulliverteilung, wir machen natürlich noch eine Übung im nächsten Video, bevor wir dann die Bernoulliverteilung erweitern auf die Binomialverteilung. Ich bedanke mich fürs Zuschauen und sage: bis zum nächsten Mal und tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    Dein Minus und Mal kann man nicht unterscheiden! Ansonsten gut

    Von Fabianwasse, vor mehr als 3 Jahren