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Transkript Statistik Video 93 - diskrete Gleichverteilung II

Hallo! Schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind weiterhin in unserem Kapitel zu den diskreten speziellen Verteilungsmodellen und auch weiterhin bei der diskreten Gleichverteilung. Wir haben uns ja im letzten Video die Anfänge von der diskreten Gleichverteilung angeguckt mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist definiert als 1/n für alle definierten möglichen Ausprägungen und überall sonst 0. Wir erinnern uns, die diskrete Gleichverteilung hatte eine endliche Anzahl an Ausprägungen, alle mit der gleichen Eintrittswahrscheinlichkeit.  So, jetzt gucken wir uns als Nächstes die Verteilungsfunktion an. Die Verteilungsfunktion Fx(t) ist gleichbedeutend mit der Wahrscheinlichkeit das sich unser x zu einem Wert ≤ t realisiert: Gucken wir uns das an Beispielen unseres Würfels an. Unseres sechsseitigen Würfels. So, das interessiert uns. Uns interessiert jetzt die Verteilungsfunktion F(3). Das heißt, uns interessiert die Wahrscheinlichkeit das sich unser x zu einem Wert ≤ 3 realisiert. Und das bedeutet, wenn sich unser x sich zu einem Wert ≤ 3 realisieren soll, heißt das, wir möchten eine 1 werfen, oder eine 2, oder eine 3. Also die P(x=1)+P(x=2)+P(x=3). Da wir wissen, okay, es ist eine diskrete Gleichverteilung, alle haben die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit, wir gehen wie immer davon aus, dass es sich um einen perfekten Würfel handelt, dann haben wir hier 1/6 und hier 1/6 und hier 1/6, d.h., wir sind hier bei 3/6 oder auch 1/2. Die Verteilungsfunktion F(3) hat also die Wahrscheinlichkeit 1/2. Allgemein können wir das so zusammenfassen: Unsere Verteilungsfunktion Fx(t)=k/n für xk ≤ t.Das heißt, wir zählen die Anzahl der Fälle k, wo unser xk noch kleiner ist als t und teilen dann durch alle möglichen Ausprägungen n. Also hier 3 Fälle, k war 3, n war 6, 3/6 ist 1/2. Wir können hier aber nicht einfach sagen, für k ≤ t, weil wir nicht zwingend immer die Ausprägung 1 bis 6 haben, also wir fangen nicht zwingend immer bei 1 an und wir gehen auch nicht immer zwingend in einser Schritten da durch. Das heißt, es könnte auch sein, dass unser x1 die Ausprägung 0 ist, unser x2 die Ausprägung 5, unser x3 die Ausprägung 10. So, und wenn wir dann nach F(10) fragen würden, müssten wir halt gucken, welches ist die letzte Ausprägung, die noch  ≤ diesem Grenzwert ist. Die müssten wir dann zählen und durch die Anzahl aller Ausprägungen teilen. Wenn wir allerdings den Fall haben wie bei einem Würfelwurf, dann könnten wir mit der Gaußschen Summelformel einen Spezialfall berechnen. Und das gucken wir uns jetzt an. Gucken wir uns also einen Sonderfall der Verteilungsfunktion an. Wenn wir definiert haben xi=k, das heißt unsere n Ausprägungen sind die ersten n natürlichen Zahlen, also x1=1, x2=2, xn=n, wie wir das ja beim Würfelwurf haben, ist die erste Ausprägung die 1, die zweite Ausprägung die 2 und die Letzte, die n`te schließlich die 6. Dann haben wir folgende Verteilungsfunktion, also folgende Wahrscheinlichkeit, dass sich x zu einem Wert ≤ t realisiert: Wir haben eine Wahrscheinlichkeit von 0 für t < 1. Also wenn t kleiner als 1 ist, haben wir noch keine Wahrscheinlichkeit; da unsere erste Wahrscheinlichkeit ja 1 ist. Wir haben t/n für 1t ≥ 1 < n. Und wir haben 1 für unser t ≥ n.Gucken wir uns das einmal an für unseren sechsseitigen Würfelwurf. Wir haben hier also F(3) gerade berechnet, unser t liegt damit zwischen 1 und n, also nehmen wir diese Formel t/n. Unser t, war wie gesagt 3, die n die Anzahl aller Ausprägungen, also 6, kommen wir auf eine Wahrscheinlichkeitsdichte von 1/2. Genau das, was wir gerade berechnet haben. So, nachdem wir uns jetzt also die Verteilungsfunktion der diskreten Gleichverteilung angeguckt haben, machen wir weiter mit dem Erwartungswert. Gucken wir uns also den Erwartungswert an. Wir haben ja die allgemeine Formel für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen. Der Erwartungswert von x, unserer Zufallsvariablen, ist die Summe über alle i, von xi×pi, das heißt die Ausprägung multipliziert mit der Eintrittswahrscheinlichkeit. pi haben wir ja jetzt bei der diskreten Gleichverteilung immer gleich, also 1/n. 1/n ist die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Ausprägung. Das heißt, dieser Teil ist immer gleich und wir können das aus der Summenformel herausziehen. So wir haben also nur noch 1/n × die Summe von dem, was übrig bleibt, xi. Also 1/n×∑ aller Ausprägungen. Hier natürlich auch die Summe von 1 bis n. So, das ist die Formel für den Erwartungswert. Sehr einfach. Wir haben aber mal wieder einen Sonderfall. Und zwar den gleichen wie gerade oder die gleiche Bedingung wie gerade. Wenn xi=k ist, also unsere n Ausprägungen die ersten n natürlichen Zahlen sind, dann ist nach der gaußschen Summenformel unser Erwartungswert ein bisschen anders. Wir haben dann ja hier n, die ersten n natürlichen Zahlen, also zum Beispiel hier von 1 bis 6/n, also nach der Gaußschen Summenformel fügt sich die Formel zusammen zu (n+1)/2. Das ist der Erwartungswert, wenn unsere n Ausprägung, die ersten n natürlichen Zahlen sind. Zum Beispiel bei einem sechsseitigen Würfel. Wir haben ja unsere 6 Ausprägungen, die die ersten 6 natürlichen Zahlen sind, 1-6. Demnach ist der Erwartungswert für x=die Augenzahl, (6+1)/2, also (die Anzahl der Ausprägungen+1)/2, macht 7/2=3,5. Was ja genau der Erwartungswert ist, den wir immer für den Würfelwurf eines sechsseitigen Würfels berechnet haben. Wenn wir also, das sollten wir uns merken, als Ausprägung der ersten n natürlichen Zahlen haben, dann kann man einfach diese Formel für den Erwartungswert berechnen und spart sich, wie ihr seht, eine Menge Arbeit. Wir müssen keine Summe mehr bilden, wir müssen kein Produkt mehr bilden, wir müssen nur (n+1)/2 berechnen. Gut, das war der Erwartungswert, machen wir logischerweise weiter mit der Varianz. Gucken wir uns also die Varianz an. Die Varianz einer Zufallsvariablen x ist ja definiert als der Erwartungswert der Zufallsvariablen zum Quadrat minus des Erwartungswerts der Zufallsvariablen zum Quadrat. Also E(x2)-(E(x))2. Also in diesem Fall 1/n×∑xi2-(1/n)×(∑xi)2. Okay, ich will euch jetzt hier die Zwischenschritte sparen. Wenn man jetzt hier das Ganze ausmultipliziert, und verkürzt und kürzt, dann fallen am Ende alle xi weg und man sieht, die Varianz ist einzig vom Verteilungsparameter n abhängig. Das Ganze ist dann sehr schön, also diese Formel sieht ja schon etwas abschreckend aus. Wenn ich da jedes xi einzeln eingeben muss, wird bei mehr als 10 Ausprägungen relativ umständlich, da muss man hier auch noch quadrieren und das will keiner machen. Deshalb kann man das Ganze vereinfachen und am Ende kommt dann die Formel (n2-1)/12 raus. Also es jetzt auf den ersten Blick nicht sonderlich leicht zu verstehen, wie man auf diese Formel kommt, aber vertraut mir, man kommt auf diese Formel mit etlichen Rechenschritten dazwischen, alle xi fallen raus und die Varianz ist tatsächlich nur vom Verteilungsparameter n, von der Anzahl der verschiedenen Ausprägungen, abhängig. So. Und so berechnet man dann die Varianz. Das heißt, man kann sich alles andere im Prinzip sparen.  Wir sehen also bei der diskreten Gleichverteilung kann man die Varianz einzig und allein mit dem Verteilungsparameter n ausrechnen. Für den Erwartungswert braucht man im Normalfall noch die verschiedenen Ausprägungen, aber auch nicht wenn die Ausprägungen die ersten n natürliche Zahlen sind. Und für die Wahrscheinlichkeitsfunktion braucht man auch nur den Verteilungsparameter n, da man ja weiß, dass alle verschiedenen Ausprägungen die Wahrscheinlichkeit 1/n haben. Gucken wir uns das noch einmal bei der Varianz an. Wir nehmen wieder unseren sechsseitigen Würfel mit unserem x als die Augenzahl, die wir würfeln. Hätten dann also Var(x), die Anzahl der Ausprägungen (62-1)/12 oder auch 35/12. Ihr seht also, Varianz berechnen mit dieser Formel geht wirklich wahnsinnig schnell und wahnsinnig einfach. So, dass war auch das zweite Video zur diskreten Gleichverteilung. Im nächsten Video machen wir wie gewohnt noch eine Übung dazu und dann kommen wir zur nächsten Verteilung, zur Bernoulli-Verteilung. Ja, ich bedanke mich für das Zuschauen, hoffe ihr guckt auch weiterhin zu. Bis zum nächsten Mal und tschüss.                                           .           

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