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Transkript Statistik Video 92 - diskrete Gleichverteilung I

Hallo. Schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute in unserem letzten Kapitel angelangt, dem Kapitel zu den diskreten speziellen Verteilungen. Wir werden auch in diesem Video schon direkt die erste spezielle Verteilung kennen lernen, nämlich die diskrete Gleichverteilung, aber dazu später mehr. Überlegen wir uns erst einmal wofür brauchen wir überhaupt spezielle Verteilung? Was hat das überhaupt für Vorteile? Naja, wenn wir eine Zufallsvariable haben und wir wissen, wie sie verteilt ist, dann haben wir schon eine ganze Menge gewonnen. Bei fast jeder Zufallsvariablen kann man sagen, wie sie verteilt ist, zumindest bei den diskreten, geht das oft sehr einfach. Wenn wir wissen, wie eine Zufallsvariable verteilt ist, zum Beispiel wenn wir sagen können: unsere Zufallsvariable x ist diskret gleich verteilt, dann bekommen wir gleich eine ganze Menge Informationen und Hilfen an die Hand. Wir wissen nämlich schon mal, wie die Formel für die Wahrscheinlichkeitsberechnung aussieht, wir wissen, wie die Formel für die Varianz aussieht und wie die Formel für den Erwartungswert aussieht. Das heißt, wir müssen uns das nicht jedes Mal wieder neu über die allgemeinen Formeln, für den Erwartungswert oder die Varianz herleiten, sondern können einfach nachschlagen, sehen dann o.k. Varianz wird so und so berechnet, dann tragen wir noch die Werte ein und haben die Varianz ohne die umständliche Herleitung. Außerdem brauchen wir, um das zu können, nur sehr wenige Verteilungsparameter. Jede Verteilung hat eine bestimmte Anzahl von wichtigen Verteilungsparametern, das werden wir dann auch bei jeder Verteilung sehen, und wenn wir die haben, können wir wirklich alles mit dieser Verteilung berechnen und die unterschiedlichsten Fragestellungen beantworten. Ja, das ist auch schon die allgemeine Theorie über diskrete, spezielle Verteilung. Wir gucken uns jetzt erst einmal an, welche diskreten, speziellen Verteilungen wir denn überhaupt in diesem Kapitel behandeln werden. Gut, gucken wir uns doch mal an, welche speziellen, diskreten Verteilungen wir behandeln werden. Wir fangen an, mit dem einfachsten Fall, der Gleichverteilung, der diskreten Gleichverteilung wohlbemerkt, weil wir sind, ja bei den diskreten, speziellen Verteilungen. Es gibt auch noch eine stetige Gleichverteilung, aber das ist dann schon das 1. Kapitel von dem Statistik 2 Kurs. Also, wir fangen in diesem Video direkt mit der Gleichverteilung an. Mit der diskreten Gleichverteilung, dazu kommen wir gleich, das ist eine sehr simple Verteilung und es sollte eigentlich einen sehr leichten Einstieg geben. Dann machen wir weiter mit der Bernoulliverteilung. Die Bernoulliverteilung braucht man bei sehr vielen Zufallsexperimenten zum Beispiel bei Würfelwürfen oder etwas Ähnlichem. Die Bernoulliverteilung führt uns dann auch zur Binomialverteilung, warum werdet ihr dann sehen. Die Binomialverteilung ist im Prinzip eine Erweiterung der Bernoulliverteilung, oder man könnte sagen, die Bernoulliverteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung. Dann machen wir weiter mit der Poissonverteilung, der geometrischen Verteilung und der negativen Binomialverteilung. Diese 3 sind da schon etwas komplexer. Bis zur Binomialverteilung ist es eigentlich sehr simpel und sehr einleuchtend. Hier unten wird es dann etwas schwieriger, aber wir haben ja auch noch etwas Zeit, um uns dahin zu begeben. Also, wir lernen jetzt erst, wenn man die einfachen, diskreten Verteilungsmodelle kennen, nähern uns so langsam dem Thema an, bevor wir dann in wirklich schwierige Themenbereiche einsteigen. Gut, gucken wir uns doch einfach mal die Gleichverteilung an. Die diskrete Gleichverteilung. Die diskrete Gleichverteilung ist dadurch definiert, wir haben eine diskrete Verteilung, mit endlich vielen Ausprägungen n, wie wir das in diesem Fall normalerweise bezeichnen. Und alle verschiedenen Ausprägungen, das heißt, alle Realisationsmöglichkeiten haben die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit, 1/n. Das heißt der einzige Verteilungsparameter, den wir brauchen, ist die Anzahl an Ausprägungen und dann wissen wir, welche Wahrscheinlichkeit jede dieser Ausprägungen hat und dann wissen wir auch, wie der Erwartungswert aussehen wird und wie die Varianz aussehen wird. Dazu kommen wir aber noch. Gucken wir uns jetzt erst einmal noch mal die Definition für die Wahrscheinlichkeit an. Wir haben unsere Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x), so, und die hat genau 2 Fälle. Es hieß nämlich immer genau dann 1/n wenn unser X gleich ein xi ist. Wobei hier unser i von 1 bis n geht. Das heißt für jede, der vorher definierten endlichen Ausprägungen xi, hat unsere Wahrscheinlichkeitsfunktion, die Wahrscheinlichkeit 1/n. Wir haben n unterschiedlicher Ausprägung, deshalb Wahrscheinlichkeit 1/n. Für jeden anderen Fall haben wir die Wahrscheinlichkeit 0. So, das ist erst einmal die formale Definition für die diskrete Gleichverteilung. Wie müssen wir uns das vorstellen? Nun ja, wir gucken uns jetzt einfach mal das Beispiel, das klassische Beispiel eines Würfelwurfs an. Daran lässt sich die diskrete Gleichverteilung am besten zeigen. O.k., wir gucken uns jetzt also einen Würfel an, einen 6-seitigen Würfel. Dieser 6-seitige Würfel hat 6 unterschiedliche Ausprägungen, nämlich die Zahlen von 1 bis 6. Und wenn wir einen perfekten Würfel haben, haben wir definiert, dass jede Seite die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit hat. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass sich unsere Zufallsvariable X zu einem xi realisiert, mit einem xi zwischen 1 und 6, also einer unserer Seiten, liegt immer bei 1/6. Das ist ja klar. Wir sehen jetzt also, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit, für jede unserer Seiten, genau 1 durch n entspricht. Also 1 durch die Anzahl der verschiedenen Ausprägungen. Daraus folgt jetzt die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion.  Bei der diskreten Gleichverteilung werden also die Wahrscheinlichkeit 1/6 für unser X=xi, wobei hier unser i natürlich auch zwischen 1 und 6 liegt, weil wir 6 verschiedene Ausprägungen haben. Und ansonsten haben wir die Wahrscheinlichkeit 0. So, wir können das jetzt natürlich auch sehr schön grafisch darstellen. Also wir haben hier auf der x-Achse die verschiedenen Ausprägungen, auf der y-Achse die Wahrscheinlichkeit, dass genau diese eintritt und wir haben ja eine diskrete Verteilung, das heißt, wir machen Stabdiagramm. Und wir haben jetzt an jeder unserer 6 verschiedenen Ausprägungen, die gleiche Höhe, das heißt, die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit, nämlich von immer genau 1/6. So, überall gleich, deshalb heißt es diskrete Gleichverteilung. So, das war auch schon das 1. Video zu den speziellen, diskreten Verteilungsmodellen, oder auch zur diskreten Gleichverteilung, mit der machen wir im nächsten Video auch direkt weiter, dann gucken wir uns den Erwartungswert und die Varianz an, außerdem noch die Verteilungsfunktion und dann gibt es natürlich noch mal, wie ihr es gewohnt seid, eine Übung dazu. Ich bedanke mich für´s Zuschauen, sage bis zum nächsten Video und tschüss.          

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