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Transkript Statistik Video 86 - stochastische Unabhängigkeit

Hallo, schön, dass ihr wieder zuguckt. Wir sind heute beim wichtigen Thema der stochastischen Unabhängigkeit. Ich habe das ja bereits im letzten Video erzählt, stochastische Unabhängigkeit kann Einem jede Menge Arbeit ersparen. Deshalb gehen Statistiker, wenn sie Versuche machen oder Tests, immer gerne davon aus, dass Variablen stochastisch unabhängig sind, das macht die Sache einfach sehr, sehr leicht in vielen Fällen. Um so etwas zu machen, müssen wir aber erst ein mal begreifen: Was bedeutet stochastische Unabhängigkeit? Naja, 2 Zufallsvariablen x und y heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt, jetzt kommt die Definition: Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von x und y = dem Produkt der Randverteilungen i. und P.j im diskreten Fall. Also, wir hatten das ja auch schon in der Empirie, als wir Korrelation gemacht haben, da haben wir gesagt 2 Variablen sind unabhängig, wenn die gemeinsame Häufigkeitsverteilung = den Randverteilungen ist. Das konnten wir dann immer so schön prüfen, hatten dann hier unsere Tabelle und haben die einzelnen Zeilen diagonal getrennt. In dem Einen stand dann immer die tatsächliche Häufigkeitsverteilung und in dem Anderen stand dann die, die theoretisch erfüllt sein müsste, wenn beide unabhängig sind, vielleicht erinnert ihr euch an dieses Video. So, das ist der diskrete Fall. Im stetigen Fall haben wir die gemeinsame Dichtefunktion von x und y = dem Produkt aus der Dichtefunktion von x für den Wert x und der Dichtefunktion von y für den Wert y, wenn x und y stetig sind. Dann kann man davon sprechen, dass sie stochastisch unabhängig sind, das heißt das Ergebnis oder die Realisation der einen Zufallsvariable beeinflusst nicht die Realisation der anderen Zufallsvariable. Klassisches Beispiel: ich werfe 2 Würfel. Unabhängig sind meine Zufallsvariablen, wenn ich jeweils die Augenzahl eines Würfels als eine Zufallsvariable definiere, also x Augenzahl Würfel 1, y Augenzahl Würfel 2. Die beiden sind stochastisch unabhängig, da Würfel 2 egal ist, was Würfel 1 geworfen hat, er hat eine eigene Augenzahl, die sich nicht dadurch beeinflussen lässt. Nehmen wir jetzt aber das Beispiel von den diskreten mehrdimensionalen Zufallsvariablen, wo wir unser x als x12 hatten und unser y als das Maximum von beiden Augenzahlen, die die Würfel zeigen, da waren die nicht stochastisch unabhängig, denn wenn x1 36 war, unser Würfel x1 also eine 6 gezeigt hat, war y auch immer 6. Insofern war da eine sehr starke Abhängigkeit erkennbar, guckt euch vielleicht das Beispiel noch mal an, dann seht ihr, was ich meine. Aber, stochastische Unabhängigkeit, wenn wir die feststellen, immer top, also das ist immer das, was wir erreichen wollen, stochastische Unabhängigkeit sieht gut aus, damit lässt sich toll rechnen. Wenn ihr so was habt, könnt ihr immer innerlich schon mal jubeln, das ist wirklich ein sehr guter Schritt. Gut, gucken wir uns doch noch weitere Theorien zur stochastischen Unabhängigkeit an und warum es so schön ist, wenn man so etwas hat. So, wir haben hier mal zwei schöne Eigenschaften der stochastischen Unabhängigkeit, denn wenn unsere Zufallsvariablen x und y stochastisch unabhängig sind, sind die bedingten Verteilungen = den Randverteilungen, das heißt die Wahrscheinlichkeit von i unter j, also die Wahrscheinlichkeit x realisiert sich zu xi unter der Bedingung y realisiert nicht zu yj = der Randverteilung Pi.. Oder auch im stetigen Fall die Dichtefunktion von x unter y = der Dichtefunktion x. So, wie muss ich mir das vorstellen? Sagen wir mal, wir haben hier xy mit hier jeweils 2 Realisationsmöglichkeiten, also y1,y2,x1,x2 und wir sagen jetzt, die Wahrscheinlichkeit, dass i gilt unter der Prämisse j ist auch erfüllt, also die Wahrscheinlichkeit sagen wir, x realisiert sich zu x1 unter der Prämisse y realisiert sich zu y1 = Pi., das heißt, die Realisation von y hat einfach keinen Einfluss auf die Realisation von x, das heißt die bedingte Wahrscheinlichkeit = der Randverteilung. So, die 2. schöne Eigenschaft, die wir haben, hat was mit dem Erwartungswert zu tun. Ich habe ja gesagt, der Erwartungswert wird immer gern genommen, ist eine sehr wichtige Kennzahl und wird bei stochastischer Unabhängigkeit noch mal viel einfacher. Also E(x×y)= E(x)×E(y), das ist nicht immer so, das ist nur so, wenn x und y stochastisch unabhängig sind. Man kann auch nicht daraus, dass diese Gleichung gilt, darauf schließen, dass die beiden stochastisch unabhängig sind, das geht nicht. Das heißt hieraus auch stochastische Unabhängigkeit zu schlussfolgern, ist falsch, das geht nicht. Aber in die Richtung, aus stochastischer Unabhängigkeit auf diese Gleichung zu schlussfolgern, das geht. Also wenn sie stochastisch unabhängig sind und ihr das irgendwo schon gezeigt habt, gilt auf jeden Fall diese Gleichung; gilt diese Gleichung, heißt das aber noch nicht, dass sie stochastisch unabhängig sein müsste. Gut, soviel erst mal dazu, gucken wir uns doch mal ein Beispiel an, wie diese Gleichung überhaupt zu verstehen ist. Mal ein kurzes Beispiel, wir haben insgesamt 3 Zufallsvariablen und 1 Zufallsexperiment, wo wir mit 2 3-seitigen Würfeln würfeln. So, x1 ist die Augenzahl des 1. Würfels, x2 ist die Augenzahl des 2. Würfels und Z ist das Produkt der beiden Augenzahlen. So, wir haben hier also die Realisationsmöglichkeiten, jeweils 1 bis 3, die Randverteilungen, 1/3 jeweils und die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten, jeweils 1/9. Und wir sehen ganz klar, x1 und x2 sind stochastisch unabhängig, da die gemeinsame Wahrscheinlichkeit immer das Produkt der beiden Randwahrscheinlichkeiten ist, also immer 1/9, jeweils Produkt der Randverteilung. Gut, also x1 und x2 sind schon mal stochastisch unabhängig. Jetzt interessiert uns noch der Erwartungswert, ich mache hier einfach ein xi hin, weil es für beide das Gleiche ist. Wir erinnern uns, Erwartungswert ist immer Realisierung × Wahrscheinlichkeit, also: 1×1/3+2×1/3+3×1/3 macht insgesamt 2, also x1 und x2 haben jeweils den Erwartungswert 2. Uns interessiert jetzt E(Z) und wir wissen ja, laut Satz, den wir gerade gelernt haben, ist der Erwartungswert von x1×x2 bei stochastischer Unabhängigkeit = dem Erwartungswert von x1 × dem Erwartungswert von x2. Wir rechnen also damit, dass der Erwartungswert 4 ist, nämlich das Produkt der beiden Einzelerwartungswerte. So, wir rechnen das aber natürlich aus. Was kann denn Z für Realisierungen überhaupt haben als Produkt unserer Augenzahlen? Also 1×1, 1 ist eine mögliche Realisierung, 1×2, 2 ist eine mögliche Realisierung, 3 ist eine mögliche Realisierung. 2×2, 4 ist eine mögliche Realisierung, 5 nicht, gut, 5 ist eine Primzahl, 2×3, 6 ist eine mögliche Realisierung und 9. Also wir haben 6 unterschiedliche, mögliche Realisierungen mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten. Die 1 gibt genau eine Möglichkeit die zu realisieren, also Wahrscheinlichkeit 1/9. Die 2 gibt es zweimal, nämlich hier und hier, also 2/9. Die 3 gibt es wieder zweimal, nämlich hier und hier, also auch 2/9. Die 4 wiederum gibt es nur einmal. Die 6 gibt es wieder zweimal, hier und hier. Und die 9 gibt es wieder einmal, also 1/9. So, addiert sich insgesamt zu 1 auf, scheint also richtig zu sein. So, und E(Z) ist jetzt Realisierung × Eintrittswahrscheinlichkeit, also 1/9×1=1/9, 2/9×2=4/9, 3×2/9=6/9, 4×1/9=4/9, 6×2/9=12/9 und 9×1/9=1. So, das rechnen wir zusammen: 1/9+4/9 sind 5/9 plus 6/9 sind 11/9 plus 4/9 sind 15 plus 12/9 sind 27/9, also 3+1=4. Also haben wir hier E(x1x2)=E(x1)×E(x2), also der Erwartungswert von x1×x2 ist das Produkt der einzelnen Erwartungswerte. Aufgrund der stochastischen Unabhängigkeit, die man anhand dieser Tabelle hier sehen kann. Ja, das war auch schon das Theorievideo zur stochastischen Unabhängigkeit, im nächsten Video machen wir natürlich noch mal ne ausführliche Übung dazu. Ja, ich hoffe, ihr habt so weit alles verstanden, das ist wirklich ein wichtiges Thema. Solltet ihr das noch nicht verstanden haben, guckt euch vielleicht das Video noch mal an, guckt euch die Übung noch mal an und dann sollte eigentlich alles klar sein. Ich bedanke mich fürs Zuschauen, hoffe ihr guckt auch beim nächsten Video rein und sage tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    Hallo,
    du erwähnst, dass du die kovarianz auch mittels mittelwert ausrechnen kannst? wann nehme ich den erwartungswert und wann den mittelwert? und in welchem video machst du die Kovarianzberechnung mittels Mittelwert? Danke.

    Von Christ Christoph, vor etwa einem Jahr