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Transkript Statistik Video 85 - stetige mehrdimensionale Zufallsvariablen Übung

Hallo! Schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute bei der Übung zu den stetigen mehrdimensionalen Zufallsvariablen. Ich hab mir da eine kleine Aufgabe rausgesucht, und zwar haben wir eine stetige Gleichverteilung. Das heißt, unsere Dichtefunktion hat überall den gleichen Wert in einem bestimmten definierten Bereich. Dieser Bereich ist für x zwischen 0 und 2,5 definiert und für y zwischen 0 und 4. So, überprüfen wir doch erst ein Mal, ob die beiden tatsächlich gemeinsam stetig verteilt sind. Was ist die Voraussetzung, die dafür erfüllt werden muss? Na, ja das Integral von -unendlich bis unendlich, natürlich das Doppelintegral unserer Dichtefunktion f(x,y) muss 1 ergeben. Okay, das können wir ja ganz einfach nachprüfen. Integralrechnung können wir ja. Nehm ich die 1 weg und mache den nächsten Rechenschritt da. Also wir haben das Integral von -unendlich bis unendlich jeweils. Problem ist, unsere Dichtefunktion ist nicht auf dem ganzen Definitionsbereich, also von -unendlich bis unendlich einheitlich definiert. Das heißt, wir müssen unsere Integrale aufsplitten, wie wir das auch schon eindimensional gemacht haben. Wir haben also das Integral von -unendlich bis 0, zwei Mal und da haben wir ja unsere Dichtefunktion von 0, über die wir jetzt also integrieren. Dann haben wir als zweiten Teil ein Mal unser Integral von 0 bis 2,5 hier für unser x, das ist der definierte Bereich, unser Integral von 0 bis 4 für y, und in diesem Bereich ist unsere Dichtefunktion 0,1, über den wir jetzt also integrieren können. Und dann haben wir noch unseren dritten Teil. Einmal von 2,5  bis unendlich und von 4 bis unendlich für x und y wieder von 0. Das sind also unsere 3 Teile, wo wir unterschiedliche Dichtefunktionswerte definiert haben. Wir sehen ja schon, eine Integration über 0 ist immer 0. Das heißt, dieser Teil fällt weg und dieser Teil fällt auch weg. Wir können also mit diesem Teil allein weitermachen. So, und alle von euch, die jetzt n der Schule immer schon etwas Probleme mit Integralrechnung hatten, sei gesagt, in der Statistik wird relativ wenig integriert. Also natürlich denkt ihr immer, oh Gott bei allen stetigen Verteilungen muss ich ja immer integrieren. Das wird im Endeffekt später so nicht gemacht, sondern gibt es da Tabellen für und da guckt man nach und das ganze Integrieren spart man sich meistens. Oder, wenn man es doch integriert, so wie wir jetzt, ist es meistens auch relativ simpel. So, wir gucken einfach Mal unser Integral an. Also wir haben ein Doppelintegral von 0 bis 2,5 dx und von 0 bis 4 dy und unsere Dichtefunktion ist 0,1 in diesem speziellen Bereich, wie hier oben definiert. So, wir integrieren das erst nach y, das heißt, x bleibt erst mal stehen. Wir integrieren 0,1 ganz normal so, wie wir es nach y machen würden. Also 0,1 y steht hier jetzt in den Bereichen 0 bis 4, dx natürlich noch, weil wir ja nach x noch integrieren müssen. Das heißt, wir setzen jetzt für y ein Mal 4 ein, haben also 0,4 - (für y 0 eingesetzt) 0, bleibt also 0,4 stehen. Das heißt, wir haben das Integral von 0 bis 2,5 von 0,4 dx. Und das ist integriert, da haben wir dann 0,4 x in den Bereichen 0 bis 2,5. So, wir sehen schon, wenn wir die 0 einsetzen, wird es 0. Das heißt, der ganze zweite Teil des Integrals kann wegfallen. Wenn wir 2,5 einsetzen, bekommen wir 1 und das ist auch unser Ergebnis: 1. Das heißt, unsere beiden Variablen sind gemeinsam stetig verteilt, weil sie unsere Bedingung erfüllen. Gut, nachdem wir das wissen, können wir jetzt ja da rangehen mit unserer Dichtefunktion, auch bestimmte Wahrscheinlichkeiten auszurechnen. So, wir können jetzt also direkt Wahrscheinlichkeiten ausrechnen. Uns interessiert erst mal die Wahrscheinlichkeit, dass x sich zu einem Wert < = 1, > = 2 realisiert und y sich zu einem Wert < = 2, > = 4 realisiert. Also, im Prinzip die Verteilungsfunktion von x < = 2, y < = 4, also jeweils hier die oberen Grenzen, minus x < = 1, y < = 2. Wir gucken Mal, wie das aussehen würde. Also, das hier wäre ja dann im Prinzip das Integral von 0 bis 2, von 0 bis 4 unserer Dichtefunktion. Und das hier wäre das Integral von 0 bis 1, von 0 bis 2 unserer Dichtefunktion. So, wir sehen also, die unteren Grenzen sind beide die gleichen. Der Inhalt hier ist jeweils das Gleiche. Das heißt, wir können das Ganze auch zusammenfassen und hier einfach die kompletten Grenzen einsetzen. Das heißt, das ist das Gleiche wie das Integral von 1 bis 2 und das Integral von 2 bis 4 unserer Dichtefunktion. So, so können wir das also zusammenfassen. Ihr seht, wir sparen uns hier schon Mal einen Integrationsschritt, bisher schon Mal viel gewonnen. So, unsere Dichtefunktion ist immer noch 0,1 und alles, was wir jetzt noch machen, ist im Prinzip, dieses Integral hier aufzulösen. Also, uns interessiert das Integral von 1 bis 2 hier für x, das Integral von 2 bis 4 für y unserer Dichtefunktion, die natürlich 0,1 ist, auch im kompletten Bereich. Da, die Bereiche für x komplett hier reinschreiben und die Bereiche für y auch. So, wir integrieren erst nach x. Das heißt, wir haben also noch die Bereiche für y übrig, haben hier 0,1 x, also unsere Dichtefunktion eingesetzt hier und danach integriert und das Ganze in den Bereichen von 1 bis 2. Wenn wir also 2 für x einsetzen, bekommen wir 0,2 - 1 (für x eingesetzt) 0,1, also 0,2 - 0,1 macht 0,1. Hier habe ich das dy vergessen. Also das Integral von 2 bis 4 von 0,1 dy. So, und das Ganze integrieren wir jetzt nach y, sehr simpel, weil x haben wir ja jetzt schon integriert.  Also haben wir jetzt 0,1 y in den Grenzen von 2 bis 4. Wenn wir 4 für y einsetzen, kommen wir hier auf 0,4. Setzen wir 2 ein, kommen wir auf 0,2. Also 0,4 - 0,2 macht 0,2 und das ist unser Ergebnis. Wir haben also eine 20%ige Chance, dass sich unser x zu einem Wert zwischen 1 und 2 und unser y sich zu einem Wert zwischen 2 und 4 realisiert. Okay, das ist doch schon Mal gut zu wissen. Wir wissen jetzt also, wie man Wahrscheinlichkeiten ausrechnet. Wenn man stetige mehrdimensionale Zufallsvariablen hat, eine Dichtefunktion und dann integriert man das Ganze. Würde man jetzt sagen wir Mal die Wahrscheinlichkeit x realisiert sich zwischen 2 und -2 haben wollen, also -2 < = x < = 2 und von mir aus 2 < = y < = 4, was wir ja gerade schon hatten, dann wissen wir ja -2 ist nicht im definierten Bereich hier für unsere stetige Gleichverteilung. Das heißt, wir könnten das einfach ignorieren. Wir können einfach sagen, okay, das ist es sowieso 0, da haben wir keine Wahrscheinlichkeitsdichte. Also könnten wir sagen, okay, das ist das Gleiche wie die Wahrscheinlichkeit, dass x sich zwischen 0 und 2 realisiert, weil x sowieso nicht kleiner wird als 0. Das heißt, die Realisationen von x < 0 haben keine Wahrscheinlichkeitsdichte. Das heißt, wir können einfach sagen, okay, alles, was nicht in dem definierten Bereich ist, können wir ignorieren und fangen einfach an der untersten Grenze des definierten Bereiches an.  Man könnte jetzt natürlich auch einfach sagen, okay wir nehmen jetzt noch mal zusätzlich ein Integral von -2 bis 0. Gut, dann würde in diesem Integral halt 0 stehen. Man würde über 0 integrieren und das würde im Endeffekt auch wegfallen. Das macht also keinen Unterschied. Spart euch Arbeit und guckt euch die Aufgabenstellung so genau wie möglich an, damit ihr solche Sachen direkt bei der Aufgabenstellung schon raussortieren könnt, weil es später beim Rechnen viel Arbeit erspart. Ja, das war auch schon wieder das Übungsvideo zu den stetigen mehrdimensionalen Zufallsvariablen. In dem nächsten Video gucken wir uns dann stochastische Unabhängigkeiten an, wirklich ein sehr zentraler Begriff. Wenn man verstanden hat, was das bedeutet, hat man schon viel erreicht. Wenn man nämlich weiß, dass Zufallsvariablen stochastisch unabhängig sind, erleichtert das die Rechnung meistens enorm. So, man muss allerdings sehr genau wissen, wann ist etwas stochastisch unabhängig und wann nicht. Da gibt es immer viel Durcheinander. Also guckt euch das nächste Video an. Es wird wichtig! Ich bedanke mich für das Zuschauen, sage bis zum nächsten Mal und tschüss!  

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4 Kommentare
  1. Default

    Meinst du den ersten Teil? Das Ergebnis dort ist 1.

    Y wird in den Grenzen von 0 bis 4 integriert und danach x in den Grenzen 0 bis 2,5.

    4*0.1 = 0.4 und 0,4 *2.5 =1

    Von Statistik Jona, vor fast 3 Jahren
  2. Default

    Warum ist das Integral bei der Antwort 0? Es wird doch bei y von 2,5 über 0 intergriert und das ist doch dann 0,1y (Grenzen 2,5, 0) 0,1*2,5 - 0,1 * 0 = 0,25 oder? oder ligt das daran dass x nur grenzen von 0 hat und damit im mhrdimensionalen kein volumen ergibt?

    Von Ulrikezoellinger, vor fast 3 Jahren
  3. Default

    Nein man kann die Integrationsreihenfolge nach dem Satz von Fubini beliebig vertauschen, kommt nicht nur zufällig das gleich Ergebnis raus ;-)

    Von Estner, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    Ich denke bei Minute 8:46 ist ein Fehler es muss von Innen nach außen integriert werden hier wird zuerst das äußere Integral aufgelöst was falsch ist. Es muss Integral(1,2)0,1y(2,4)dx sein was dann 0,2 ergibt und somit ist es dann weiter 0,2x(1,2) was dann 0,4-0,2 = 0,2 ergibt. Hier durch Zufall das gleiche Ergebnis..

    Von Wartenfa, vor fast 4 Jahren