Textversion des Videos

Transkript Statistik Video 84 - stetige mehrdimensionale Zufallsvariablen

Hallo, schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute, nachdem wir uns mit den diskreten mehrdimensionalen Zufallsvariablen beschäftigt haben, bei den stetigen mehrdimensionalen Zufallsvariablen angelangt. Was brauchen wir, um eine stetige mehrdimensionale Zufallsvariable überhaupt definieren zu können? Wir brauchen erst einmal 2 stetige Zufallsvariablen, in unserem Fall X und Y. Und man sagt, sie sind gemeinsam stetig erteilt, wenn eine nicht negative Funktion f(x,y) existiert, die für jeden reellen Wert die Gleichung P(X<a; Y<b)=F(x,y) erfüllt. Was bedeutet das? Naja, im Prinzip bedeutet es nur, dass wir eine Dichtefunktion haben, f(x,y), die nicht negativ ist, die halt immer an einem speziellen Punkt eine Dichte angibt, und wenn wir diese Dichtefunktion integrieren von -∞ bis zu einem bestimmten Punkt a und b, dann haben wir unsere Verteilungsfunktion. Und diese Verteilungsfunktion muss für jeden reellen Wert einen Wert <1, ≥0 wiedergeben. Also wir haben 2 Zufallsvariablen x und y, die sind gemeinsam stetig verteilt, wenn wir eine nicht negative Dichtefunktion haben und sich daraus durch Integration eine Verteilungsfunktion herleiten lässt. Wir sehen also, wir haben eine Dichtefunktion und wir haben eine Verteilungsfunktion. Gucken wir uns das Ganze doch noch mal im Detail an.   Wir haben unsere Dichtefunktion f(x,y). Die gibt nicht die Wahrscheinlichkeit an, sondern im Prinzip nur die Höhe unseres Graphen. Wenn wir dann darüber integrieren, also quasi einen Flächeninhalt bilden beziehungsweise mehrdimensional einen Rauminhalt, dann kommen wir auf die Wahrscheinlichkeit. Auf die Wahrscheinlichkeit kommen wir mit der Verteilungsfunktion. Zunächst aber noch einmal zurück zur Dichtefunktion. Die Dichtefunktion ist ≥0 und ≤ ja. Das ist jetzt die entscheidende Preisfrage. Ist die Dichtefunktion nach oben hin durch die 1 beschränkt, also kann die Dichtefunktion größer werden als 1 oder nicht? Ja, im Prinzip kann die Dichtefunktion so groß werden, wie sie will. Solange das gegeben ist, haben wir eine ordentliche Dichtefunktion, die nicht nach oben hin durch 1 beschränkt ist, auch nicht durch 10, auch nicht durch 100, sondern im Prinzip unendlich hohe Werte annehmen kann. Also im Prinzip wie unsere kumulierte Wahrscheinlichkeit. Solange das gegeben ist, haben wir eine ordentliche Dichtefunktion, die nicht nach oben hin durch 1 beschränkt ist, auch nicht durch 10, auch nicht durch 100, sondern im Prinzip unendlich hohe Werte annehmen kann. Dann natürlich, da das hier am Ende immer noch 1 sein muss, wird sie diesen hohen Wert nur auf einem sehr sehr kleinen Intervall annehmen, aber es ist möglich.   Unser F(X,Y) ist unsere Verteilungsfunktion. Die kennen wir auch schon von eindimensionalen Zufallsvariablen, und wir haben hier die schöne Bedingung, dass die Wahrscheinlichkeit, dass unser X zwischen a und b liegt, also <b, aber >a, und die gleichzeitige Wahrscheinlichkeit, dass unser Yc, können wir einfach ausdrücken durch die jeweiligen Verteilungsfunktionen, also die Verteilungsfunktion (b,d), diese Schreibweise impliziert schon, das ist die Kurzschreibweise, die impliziert X≤b, Y≤d, also die beiden oberen Grenzen, - wieder die Kurzschreibweise, die impliziert X≥a, Y≥c, also die unteren Grenzen. So bekommen wir also hier tatsächlich eine Wahrscheinlichkeit über die Verteilungsfunktion und das ist nicht wie im eindimensionalen Fall der Flächeninhalt, der umspannt wird. Jetzt wäre es der Rauminhalt, weil wir eine Dimension dazuaddiert haben, haben wir jetzt den Rauminhalt, der die Wahrscheinlichkeit angibt.   Gucken wir uns doch noch mal ein paar Eigenschaften der Verteilungsfunktion im Detail an. Also die Verteilungsfunktion ist nach unten hin durch 0 begrenzt, das ist ganz klar und nach oben hin, ja, große Preisfrage, durch 1. Das ergibt sich auch schon daraus, dass die Verteilungsfunktion das Doppelintegral der Dichtefunktion ist und wir gerade gesehen haben, dass die Dichtefunktion über all ihre Dimensionen integriert immer 1 sein muss, also ist auch hier die obere Grenze 1. Unser Limes von unserer Verteilungsfunktion, wenn x und y gleichzeitig nach ∞ laufen (hier ist es wirklich nötig, dass beide gleichzeitig gegen ∞ laufen), ist logischerweise demnach auch 1, also unsere obere Grenze. Der Limes unserer Verteilungsfunktion, wenn x gegen -∞ läuft, ist der Gleiche wie der Limes unserer Verteilungsfunktion, wenn y gegen -∞ läuft. Also hier reicht es, wenn eine der beiden Komponenten unserer mehrdimensionalen Zufallsvariablen gegen -∞ läuft. Schon dann bekommen wir unsere untere Grenze 0, dann wird die also angenommen. Wir merken uns also bei der Verteilungsfunktion: Die Verteilungsfunktion ist auch mehrdimensional genau so wie eindimensional das Integral der Dichtefunktion, liegt zwischen 0 und 1, also zwischen 0 % Wahrscheinlichkeit und 100 % Wahrscheinlichkeit und nimmt diese Grenzen halt auch an, wenn x und y gegen +∞ laufen, 1, wenn x oder y gegen -∞ laufen, 0. Gut.   Das war die Theorie zu der stetigen mehrdimensionalen Zufallsvariablen, wie gewohnt machen wir natürlich im nächsten Video eine Übung dazu. Ich bedanke mich fürs Zuschauen, hoffe, ihr guckt euch auch das nächste Video, die Übung an, sage tschüss und bis zum nächsten Mal.

Informationen zum Video