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Transkript Statistik Video 83 - Diskrete mehrdimensionale Zufallsvariablen Übung

Hallo, schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute bei der Übung zu den diskreten mehrdimensionalen Zufallsvariablen. Ich habe mir einmal ein Beispiel überlegt, und zwar werfen wir mit 2 sechsseitigen Würfeln gleichzeitig. Wir gehen davon aus, beide Würfel sind perfekt, also jede Seite hat die Wahrscheinlichkeit 1/6, realisiert zu werden. Und natürlich gehen wir davon aus, dass die Würfel stochastisch unabhängig sind - davon sollte man immer ausgehen. Wir haben jetzt also im Prinzip 4 Zufallsvariablen definiert. Wir haben unsere xi, also x1 oder x2, die Augenzahl des ersten oder des zweiten Würfels, wir haben als y definiert, die maximale Augenzahl, die wir erreicht haben - das heißt, wenn wir eine 1 und eine 6 gewürfelt haben, ist y=6, und wir haben als x definiert, x12, also die quadrierte Augenzahl des ersten Würfels. Jetzt gucken wir uns erst einmal an, was für Realisationsmöglichkeiten wir haben - also hier habe ich schon einmal 12 von 36 aufgeschrieben - und zu welcher mehrdimensionalen Zufallsvariable (x, y) sich das Ganze dann realisiert. Also wir haben eine Bildungsvorschrift für unser x und für unser y. Die Bildungsvorschrift für unser x lautet: x=x12. Die Bildungsvorschrift für unser y steht jetzt nicht explizit da, lautet aber: das Maximum aus x1 und x2. Dann können wir jetzt auch gucken, wozu unsere Realisierung hier bei unserer mehrdimensionalen Zufallsvariable führt. Wenn wir 2 Einsen würfeln, ist unser x, was ja x12 ist, 1 und unser y, das Maximum unserer beiden Würfelergebnisse, ist auch 1. Also haben wir eine Realisierung unserer mehrdimensionalen Zufallsvariable: (1, 1). Wenn wir jetzt 1 und 2 würfeln, ist unser x weiterhin 1. Unser y ändert sich aber auf 2. Ihr seht schon: Solange unser x1 bei 1 bleibt, bleibt anscheinend auch unser x bei 1. Da 12 immer 1 ist und da hier, so wie ich das aufgeschrieben habe, x2 immer größer wird, wandert quasi unser y auch mit. Das heißt, wir haben hier unsere 6 verschiedenen Realisierungen unserer mehrdimensionalen Zufallsvariable, die in diesem speziellen Fall noch genau so sind, wie die tatsächlichen Augenzahlen. Wir haben also schon einmal 6 Realisierungen unserer mehrdimensionalen Zufallsvariable. Gucken wir uns das gleich noch einmal hier an. Wenn also x1 eine 2 würfelt und x2 die Zahlen von 1 bis 6, dann führt unsere erste Realisation von x1 und x2 zu der Realisation unserer Zufallsvariablen von 4 und 2. 4 ist hier x12, 22=4. Und die 2 steht für die maximale Augenzahl, die dieses Mal x1 ist und nicht x2. Genauso führt unser (2, 2) zu der gleichen Realisierung unserer Zufallsvariablen (x, y). Da 22 immer noch 4 ist und die maximale Augenzahl, die erreicht wurde, immer noch 2 ist. Erst hier ändert es sich wieder. Hier haben wir die Realisierung (4, 3), hier die Realisierung (4, 4), hier die Realisierung (4, 5) und hier schließlich die Realisierung (4, 6). So viel erst einmal quasi zum Einstieg, wir machen jetzt natürlich noch die nächsten Fälle durch. Also x1: 3, 4, 5 und 6 mit jeweils entsprechenden x2. Keine Angst, es wird weniger. Ihr habt ja hier schon gesehen, dass sich 2 Realisierungen von x1 und x2 zu einer Realisierung von (x, y) zusammenfassen lassen. Das wird jetzt natürlich immer so weiter gehen. Je größer x1 wird, umso weniger tatsächlich neue Realisierungen von (x, y) wird es geben. Gucken wir uns das Ganze doch einfach noch einmal an. Ihr seht, ich habe das jetzt einfach noch einmal für die anderen 24 Fälle gemacht. Wenn x1=3, haben wir genau 4 unterschiedliche Realisationsmöglichkeiten für (x, y). Nämlich: (9, 3) bei unseren Realisierungen für x1 und x2: (3, 1), (3, 2) und (3, 3). Die 9 ändert sich natürlich wiederum nicht, das ist ja immer x12 und y, als maximale Augenzahl, ist halt hier dreimal 3 und dann 4, 5 und 6. Und jedes Mal, wenn x1 um 1 größer wird, sinkt die Anzahl der Realisationsmöglichkeiten unserer mehrdimensionalen Zufallsvariable. Wir sehen also, bei x1=4 haben wir noch 3 unterschiedliche Realisationsmöglichkeiten: (16, 4), (16, 5) und (16, 6). Bei x1=5 nur noch 2: (25, 5) und (25, 6). Und bei x1=6 haben wir nur noch eine Realisationsmöglichkeit für (x, y). Nämlich: (36, 6), da, wenn x1=6, die maximale Augenzahl immer 6 ist. Wir haben jetzt also die verschiedenen Realisationsmöglichkeiten. Wir haben 36 unterschiedliche Fälle. Wir wissen, jeder dieser Fälle hat die gleiche Wahrscheinlichkeit realisiert zu werden: 1/36. Da wir davon ausgehen, dass beide Würfel perfekt und stochastisch unabhängig sind. Jetzt müssen wir im Prinzip nur noch zählen, wie viele der 36 Fälle zu unserer Realisationsmöglichkeit führen und dann haben wir schon unsere gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion, die ich jetzt einfach einmal anschreibe. Ihr könnt euch ja noch einmal die letzten Minuten angucken und versuchen, sie selber auch aufzuschreiben. Alles, was ihr wirklich tun müsst, ist, jede Realisationsmöglichkeit aufschreiben und die Anzahl von Pfeilen zählen, die dahin führen. Am Besten das Ganze natürlich in so einer Kreuztabelle - vielleicht die Realisationsmöglichkeiten für x in die Spalten, die Realisationsmöglichkeiten für y in die Zeilen. So, ich habe dann schon einmal die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung aufgeschrieben. Wir haben also hier in den Spalten die Realisationsmöglichkeiten für x, in den Zeilen die Realisationsmöglichkeiten für y und hier in der Mitte natürlich die gemeinsame Wahrscheinlichkeit. Wir sehen zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass x sich zu 36 realisiert und y sich zu 6 realisiert, ist 1/6. Oder wir sehen die Wahrscheinlichkeit, dass y sich zu 3 realisiert und x sich zu 4 realisiert, ist 1/36. Das ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion. Wenn man das jetzt so sagen will: Die Wahrscheinlichkeit, dass groß X sich zu xi realisiert und groß Y sich zu yj realisiert. Ihr seht, die Ränder sind noch leer. Rechnen wir also einfach einmal gemeinsam die Randverteilung aus. Wir haben ja gesagt, die Randverteilung für die Zeilen ist die Summe über alle Spalten für die jeweilige Zeile. Das heißt, ich gehe hier durch alle Spalten durch, addiere das auf und das ist dann meine Randverteilung für diese Zeile. Bei der Zeile 1 noch nicht so richtig schwer, da haben wir nur einen Eintrag - also 1/36. Das ist jetzt also P.1, also die Randverteilung über alle Spalten für die erste Zeile. Hier, in der zweiten Zeile, wäre es 1/36+2/36, also: 3/36. Dann 1/36+1/36+3/36=5/36. Dann 7/36. 9/36. Und 11/36. Jetzt kann man überprüfen, ob man vielleicht einen Fehler gemacht hat. Wenn man alles zusammenzählt, müsste 1 herauskommen. 1/36+3/36=4/36. +5/36=9/36. +7/36=16/36. +9/36=25/36. +11/36=36/36. Also soweit stimmt das schon einmal, hier muss immer die 1 herauskommen. Das Gleiche machen wir jetzt natürlich auch mit den Spalten, da die Randverteilung. Also hier zum Beispiel die Randverteilung P1., das heißt die Randwahrscheinlichkeit für die erste Spalte über alle Zeilen. Auch da addieren wir alles auf, wir haben hier 6×1/36, also 6/36. Hier haben wir auch 6/36 und hier auch und hier und wir sehen, wir haben in allen Spalten 6/36. Das Ganze sechsmal sind also 36/36. Wir haben jetzt also die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung, wir haben die Randverteilung. Gucken wir uns doch noch einmal kurz die bedingte Wahrscheinlichkeit an. Die bedingte Wahrscheinlichkeit - also die Wahrscheinlichkeit, dass sich groß X zu xi realisiert, unter der Bedingung groß Y=yj - wird so wie der Empirie berechnet. Also die Wahrscheinlichkeit X realisiert sich zu xi, Y realisiert sich zu yj, also die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, dass Y sich zu yj realisiert - also im Prinzip die Randwahrscheinlichkeit. Gut, gucken wir doch einmal: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich Y zu 4 realisiert - unter der Bedingung, dass X=16. Also die Wahrscheinlichkeit, dass X=16, also die Augenzahl des ersten Würfels quadriert ist 16, das heißt, der erste Würfel zeigt 4. Und jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass bei beiden Würfeln die höchste Augenzahl, die erreicht ist, auch 4 ist. Die Wahrscheinlichkeit Y realisiert sich zu 4 - unter der Bedingung X realisiert sich zu 16. Das ist also die gemeinsame Wahrscheinlichkeit geteilt durch die Randwahrscheinlichkeit. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit: X realisiert sich zu 16, y realisiert sich zu 4 ist 4/36. Und das teilen wir durch die Randwahrscheinlichkeit von X. Also man nimmt hier immer den Part, der hinten steht, durch dessen Wahrscheinlichkeit wird noch einmal geteilt, also durch 6/36. Das Ganze ist dann 4/6 oder 2/3. Also die Wahrscheinlichkeit Y realisiert sich zu 4 - unter der Bedingung X realisiert sich zu 16 - ist 4/6 oder 2/3. Machen wir noch eine weitere: Die Wahrscheinlichkeit X realisiert sich zu 25 - unter der Bedingung Y realisiert sich zu 4. Gucken wir uns erst einmal das an. Fangen wir einmal an mit der Randwahrscheinlichkeit: Y realisiert sich zu 4 - müssen wir in diese Zeile gucken und da haben wir die Randwahrscheinlichkeit 7/36, durch die teilen wir jetzt. Jetzt die gemeinsame Wahrscheinlichkeit: X realisiert sich zu 25, Y realisiert sich zu 4: haben wir nicht, haben wir keine Wahrscheinlichkeit für. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit ist 0. Überall, wo hier ein Strich ist, ist die Wahrscheinlichkeit 0. Das heißt, wir teilen 0 durch irgendeine Zahl und herauskommt logischerweise 0. Das heißt, wenn Y sich zu 4 realisiert, kann X sich nicht gleichzeitig zu 25 realisieren. Das geht nicht, das heißt, diese bedingte Wahrscheinlichkeit ist 0. Das war es auch schon wieder für dieses Video. Im nächsten Video gucken wir uns dann die stetigen mehrdimensionalen Zufallsvariablen an - erst in der Theorie und dann natürlich auch noch einmal in einem Übungsvideo. Ich bedanke mich fürs Zuschauen, hoffe ihr habt viel verstanden und guckt auch beim nächsten Mal wieder rein. Vielen Dank und tschüss.

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