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Transkript Statistik Video 78: Erwartungswert Rechenregeln

Hallo! Schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute bei unserem dritten Video zum Erwartungswert. Wir wollen uns in diesem Video noch einmal weitere Rechenregeln mit dem Erwartungswert angucken. Zuerst gucken wir uns mal die Lineartransformation an. Was bedeutet Lineartransformation? Das bedeutet eigentlich nicht mehr, als dass zu unserer Zufallsvariablen entweder eine Konstante a addiert wird oder unsere Zufallsvariable mit einer Konstanten a multipliziert wird. Und dann gucken wir uns mal an, welche Auswirkungen das auf den Erwartungswert hat. Wenn wir also alle Werte unserer Zufallsvariablen X mit einer Konstanten a addieren, bedeutet das für den Erwartungswert, dass auch er im Prinzip um diese Konstante a verschoben wird. Gucken wir uns das mal kurz in einem kleinen Beispiel an. Wir hatten vorher die Realisationsmöglichkeiten von -2, 0 und +2, alle mit einer Eintrittswahrscheinlichkeit von 1/3 und damit einen Erwartungswert E(x)=0. So, jetzt addieren wir auf jede Realisationsmöglichkeit einen Wert von, sagen wir, 100. Wir haben also jetzt 98, 100 und 102, auch jeweils mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten 1/3, daran hat sich ja nichts geändert, und haben jetzt also einen Erwartungswert von, logischerweise, 100. Das heißt, wenn wir eine Konstante zu all unseren Realisationsmöglichkeiten oder zu unserer Zufallsvariablen aufaddieren, dann bedeutet das für den Erwartungswert, dass einfach auch da die Konstante aufaddiert wird. Man nimmt also seine ganze Wahrscheinlichkeitsfunktion und verschiebt sie in die ein oder andere Richtung. Logischerweise wird dann auch der Schwerpunkt, was ja der Erwartungswert ist, einfach nur in diese Richtung verschoben. Wie ist das denn, wenn man eine Konstante multipliziert? Naja, die Formel sagt: Multipliziere ich eine Konstante a, dann hat das folgende Auswirkungen auf den Erwartungswert, nämlich die, dass die Konstante a auch einfach beim Erwartungswert aufmultipliziert werden kann. Okay? Gucken wir uns das also mal in einem weiteren Beispiel an. Wir haben die Realisationsmöglichkeiten 1, 4 und 7, auch wieder alle mit der gleichen Eintrittswahrscheinlichkeit von 1/3, haben als den Erwartungswert von 4. Nun multiplizieren wir alle unsere Realisationsmöglichkeiten mit dem Faktor 5, haben also jetzt die Realisationsmöglichkeiten 5, 20 und 35 mit der gleichen Eintrittswahrscheinlichkeit und unser Erwartungswert liegt hier bei 20, wurde also um den Faktor 5 multipliziert. Also, wenn wir quasi unsere Wahrscheinlichkeitsfunktion strecken oder stauchen, machen wir das Ganze auch mit dem Schwerpunkt, mit dem Erwartungswert. Okay. So weit, so klar. Allgemein wird das oft so aufgeschrieben, also, um beide Teile quasi in eine Formel zu fassen. Man definiert eine Zufallsvariable y, und die ist a+b×x. Das heißt, unsere Zufallsvariable y ist unsere Zufallsvariable x × Konstante b + Konstante a. Und dann sagt man, okay, dann ist der Erwartungswert von y, der ist dann also a+b × der Erwartungswert von x [E(y)=a+b×E(x)]. Das ist im Prinzip nichts anderes, nur dass beide Formeln hier zusammen in eine Formel gepackt werden, und das nennt man dann Lineartransformation. Und so werdet ihr es vielleicht in euern Lehrbüchern sehen. Okay, so viel zur Lineartransformation, kommen wir also jetzt zum Erwartungswert von Summen von Zufallsvariablen. Ich habe hier jetzt erst mal zwei Formeln aufgeschrieben. Eine Formel bezeichnet den Erwartungswert von Summen von Zufallsvariablen, die andere bezeichnet den Erwartungswert von Produkten von Zufallsvariablen. Der Erwartungswert einer Summe von Zufallsvariablen = die Summe der Erwartungswerte [?E(xi)]. Okay? So weit, so gut. Das heißt im Prinzip nichts anderes als E(x+y) - zwei Zufallsvariablen - =E(x)+E(y). Das ist eine sehr schöne Formel, mit der man sehr viel leichter rechnen kann, sehr vieles vereinfachen kann. Die Frage ist, welche Voraussetzungen brauchen wir dafür, um so rechnen zu können? Die Antwort ist so simpel wie genial: keine Voraussetzungen! Es geht immer. Es geht mit stetigen Zufallsvariablen, mit diskreten Zufallsvariablen und es ist völlig egal, ob die stochastisch unabhängig oder abhängig sind. Das geht immer. Gucken wir uns das Zweite an. Der Erwartungswert eines Produkts von n verschiedenen Zufallsvariablen = das Produkt der Erwartungswerte der verschiedenen Zufallsvariablen [E(?xi)=?E(xi)]. Also im Prinzip: E(x×y)=E(x)×E(y). Auch das ist eine sehr schöne Formel, und wenn wir sie einsetzen dürfen, die Betonung liegt hier auf dürfen, dann kann man damit vieles vereinfachen. Die Frage ist, welche Voraussetzungen brauchen wir dafür? Hier ist es natürlich jetzt anders, hier brauchen wir einige Voraussetzungen. Also, unsere verschiedenen xi, also x1 bis xn, müssen stochastisch unabhängig sein. Das ist ganz wichtig. Sie dürfen nicht voneinander abhängig sein, sondern sie müssen stochastisch unabhängig sein. Das ist hier schon mal Voraussetzung 1 und Voraussetzung 2 ist, sie müssen integrierbar sein. Das sind die zwei Voraussetzungen unter denen das hier funktioniert. Dann, wenn ihr wisst oder gegeben habt, okay, unsere 2 Zufallsvariablen sind stochastisch unabhängig und integrierbar, könnt ihr sagen, super, ich rechne das Produkt des Erwartungswertes so nicht aus, sondern ich multipliziere einfach beide Erwartungswerte miteinander. Das geht oft viel schneller und ist viel einfacher. Ja, das war's auch schon mit dem dritten Video zum Erwartungswert, mit den erweiterten Rechenregeln. Ich hoffe, so weit ist alles klar. Im nächsten Video beschäftigen wir uns dann mit der Varianz von Zufallsvariablen. Varianz, auch ein Wort, was wir schon aus der Empirie kennen, und im Prinzip macht es hier auch nichts anderes. Es sollte also eigentlich relativ leicht sein, weil im Prinzip auch nur schon bekannter Stoff wiederholt wird. Gut, ich bedanke mich fürs Zuschauen, freue mich, wenn ihr auch die nächsten Videos wieder anguckt, und sage: Tschüss!

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    Das Video 77 ist leider noch nicht online. Da hatten wir einige Probleme. Die sind aber behoben, es sollte also bald online sein.

    Von Statistik Jona, vor etwa 5 Jahren
  2. Default

    Wo kann man denn Video 77 finden?

    Von Mek, vor etwa 5 Jahren