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Transkript Statistik Video 77: Erwartungswert Übung

Hallo, schön dass ihr alle wieder zuguckt! Wir sind heute bei unserem 2. Video zum Erwartungswert, bei der Übung.So, zuerst ein mal wollen wir den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable ausrechnen. Wir haben hier als kleines Spiel: Wir werfen mit 2 6-seitigen Würfeln und unsere Zufallsvariable x ist die Auszahlung in Euro. Die Zufallsvariable x hat 5 verschiedene Realisationsmöglichkeiten: +5, +3, +2, -2 und -1. Das heißt, entweder zahle ich 2Euro, oder ich zahle 1Euro oder ich bekomme 2, 3 oder 5Euro. Wir wollen den Erwartungswert berechnen. Was brauchen wir für den Erwartungswert? Wir haben erst einmal alle xi, also alle Realisationsmöglichkeiten. Wir brauchen aber auch noch die Wahrscheinlichkeiten, dass diese eintreten. Da wir hier mit idealen Würfeln würfeln, davon gehen wir einfach mal aus, können wir einfach sagen, okay, die Eintrittswahrscheinlichkeit für jede Realisationsmöglichkeit, für jedes xi, ist also die Anzahl der dafür vorgesehenen Fälle geteilt durch alle möglichen Fälle. Gucken wir uns das also mal an: Wenn die Augensumme 2 oder 12 fällt, bekommen wir 5Euro ausbezahlt. Wann passiert das? Naja das passiert, wenn wir entweder (1,1) werfen oder wenn wir (6,6) werfen. Also genau in 2 Fällen, schreiben wir hier also ein mal eine 2 hin. Wir haben 2 günstige Fälle, bei denen wir dann 5Euro ausbezahlt bekommen. Beim nächsten Beispiel: Wenn wir die Augensumme 3 oder 11 haben, dann bekommen wir 3Euro ausbezahlt. Wann passiert das? Naja bei der 3, wenn wir entweder die Kombination (1,2) haben, oder die Kombination (2,1) oder die Kombination, jetzt für die 11, (5,6) oder die Kombination (6,5). Also haben wir hier 4 günstige Fälle, können hier also erst ein mal eine 4 hinschreiben. So geht das jetzt weiter, bei der Augensumme 4 und 10 haben wir insgesamt 6 günstige Fälle, genau so wie bei der 7, bei der wir aber 2Euro verlieren, und bei der 5, 6, 8 oder 9, also bei allen anderen, haben wir dann 18 Fälle, also 18 mögliche Ausgänge, um zu einem dieser Ergebnisse zu kommen. Gut, nachdem wir das jetzt also so weit geklärt haben können wir im Prinzip die Wahrscheinlichkeitsverteilung für unsere Zufallsvariable x aufstellen. Machen wir das doch einfach mal. Ok, wir haben jetzt also die Wahrscheinlichkeitsverteilung unserer Zufallsvariablen x, also für x=-2 haben wir die Wahrscheinlichkeit 6/36, also bei 6 von 36 Fällen bekommen wir die Auszahlung -2, müssen also 2Euro zahlen. Bei 18 von 36 Fällen haben wir die Auszahlung -1, verlieren also 1Euro. In 6 von 36 Fällen gewinnen wir 2Euro, in 4 von 36 Fällen gewinnen wir 3Euro und in 2 von 36 Fällen gewinnen wir sogar 5Euro. Wir wollen jetzt also den Erwartungswert berechnen. Der Erwartungswert bedeutet ja, mit wie viel Gewinn oder auch Verlust ich durchschnittlich pro Spiel rechnen kann. Ist der Erwartungswert 0, dann ist das Spiel fair. Keine Seite hat irgendeinen Vorteil. Ist der Erwartungswert für mich positiv bedeutet das, ich gewinne im Durchschnitt pro Spiel, das ich spiele. Ist er negativ bedeutet das, ich verliere im Durchschnitt pro Spiel, das ich spiele. Beim Roulette z.B. ist er negativ, daher auch der Satz "Die Bank gewinnt immer.", weil die Bank einfach einen, wenn auch sehr kleinen, Vorteil dem gegenüber Spieler hat. Das heißt, es kann sein, dass einzelne Spieler durchaus mit Gewinnen aus dem Kasino rausgehen, aber im Schnitt gewinnt die Bank. Soll uns aber jetzt alles nicht interessieren, wir wollen jetzt hier den Erwartungswert ausrechnen. Und wir erinnern uns: Die Formel für den Erwartungswert von x war die Summe von i gleich 1+k, also über alle verschiedenen möglichen Ausprägungen von xi×Pi, also Ausprägung mal Eintrittswahrscheinlichkeit. Hier haben wir die Pi, hier haben wir die xi, wir haben also alles was wir brauchen und müssen es nur noch addieren. Also x1×P1, x1 ist in diesem Fall -2, unsere erste Realisationsmöglichkeit, die erste mögliche Ausprägung. Also -2×Eintrittswahrscheinlichkeit×6/36+-1×Eintrittswahrscheinlichkeit×18/36 und so weiter: -2×6/36+(-1)×18/36+2×6/36+3×4/36+5×2/36 - sieht an sich ganz einfach aus, ist es auch. Wir müssen jetzt nur noch unsere Multiplikation auflösen und dann das Ganze addieren. Also: -2×6/36 sind offensichtlich -12/36. So, -1×18/36 macht -18/36 + 2×6/36. 2×6 sind 12, also +12/36. +3×4/36 sind 12/36 + 5×2/36 macht also 10/36 .So und jetzt müssen wir das ganze nur noch aufaddieren. Wir sehen hier haben wir -12/36, hier haben wir +12/36, die addieren sich also schon mal zu 0 auf, können wir also quasi gegeneinander wegstreichen. Dann haben wir hier -18/36+12/36+10/36 macht22/36 also -18/36+22/36 macht 4/36 oder auch 1/9. 1/9 ist jetzt also unser Erwartungswert. Das bedeutet, mit jedem Mal, dass ich dieses Spiel spiele, verdiene ich im Schnitt 1/9Euro, also ungefähr 11 Cent im Schnitt. Ihr seht, bei einem einzelnen Spiel kann ich überhaupt nicht 11 Cent gewinnen. Ich kann 2Euro verlieren, 1Euro verlieren, 2Euro gewinnen, 3Euro gewinnen oder 5Euro gewinnen. Trotzdem gewinne ich im Schnitt 11 Cent. Das bedeutet, dass ich erwarte, wenn ich das Ganze 100 mal spiele, erwarte ich, dass ich ungefähr 11Euro gewonnen habe - 11 Cent × 100. Gut, machen wir doch einfach weiter mit einem weiteren Beispiel. Wir haben jetzt also eine stetige Zufallsvariable, wieder x und das ist dieses mal Wartezeit in Minuten, von mir aus warten auf eine U-Bahn, die alle 10 Minuten kommt und wir gehen an den Bahnsteig und wissen aber nicht wann ist die letzte U-Bahn gefahren und wann fährt die nächste U-Bahn. Das heißt, wir gehen irgendwie zufällig an den Bahnsteig, wissen aber, die U-Bahn fährt alle 10 Minuten. So,unsere Zufallsvariable hat jetzt folgende Dichtefunktion 1/10 für das Intervall zwischen 0 und 10 und überall sonst 0. Wir erinnern uns an das letzte Video: Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable ist das Integral von -∞ bis ∞ von x mal f(x)dx. Wir teilen unser Integral also wieder in 3 Teile auf. In alles links zwischen den definierten Bereich, wo es nicht 0 ist; das rechts von dem definierten Bereich, wo es nicht 0 ist; und eben für unseren Bereich wo es nicht 0 ist. Also wir haben erst das Integral von -∞ bis 0, also wenn wir von links kommen, x × unsere Dichtefunktion in genau diesem Bereich ist 0. So,das Ganze plus unser Integral von 0 bis 10 von x×die Dichtefunktion für diesen Bereich 1/10 plus das Integral von 10 bis ∞ von x × die Dichtefunktion in diesem Bereich das ist wieder 0, weil überall wo unser x nicht zwischen 0 und 10 liegt haben wir einen Dichtefunktionswert von 0. Das ist 0, das ist 0, wir können also mit dem hier weiter rechnen. Wir können also sagen unser Integral von 0 bis 10 von x/10 dx. So, das integrieren wir jetzt, wir bilden quasi die Stammfunktion und haben also 1/20×x² in dem Bereich von 0 bis 10. Wenn wir jetzt also für x 0 einsetzen, kommt hier 0 raus, den 2. Term können wir also weglassen. Wenn wir 10 einsetzen haben wir hier 100, das Ganze mal 1/20, also 5. Der Erwartungswert von unserem x ist also 5. Das heißt, wenn wir an einen Bahnsteig gehen zu einer zufälligen Uhrzeit und nur wissen, die U-Bahn fährt alle 10 Minuten, dann erwarten wir, dass wir 5 Minuten warten. Nicht in jedem speziellen Fall, aber doch langfristig gesehen. Ja,ist jetzt auch nicht weiter verwunderlich, wenn man sich das mal genau überlegt. Gut, das war auch schon die Übung zum Erwartungswert. Wir machen noch ein weiteres Video zum Erwartungswert, wo wir uns noch mal ein paar weiterführende Rechenregeln, so wie die Lineartransformation oder der Erwartungswert von Summen von Zufallsvariablen genauer angucken. Ich bedanke mich fürs Zuschauen, freue mich, wenn ihr auch beim nächsten Mal wieder zuguckt und sage tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    Einfach genial Deine Videos! Immer einfach und verständlich erklärt. Viele Dank für Deine Mühe!

    Von Tysson, vor mehr als 3 Jahren