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Transkript Statistik Video 76: Erwartungswert

Hallo, schön, dass ihr heute wieder alle zuguckt. Wir sind heute bei unserem neuen Video zum Erwartungswert. Der Erwartungswert ist eine sehr wichtige Funktion über Zufallsvariablen, das heißt in den folgenden 3 Videos solltet ihr sehr genau aufpassen. Im ersten Video gucken wir uns erst mal die theoretischen Grundlagen des Erwartungswertes an, im zweiten Video machen wir dann eine Übung dazu, und im dritten Video gucken wir uns noch einmal allgemeine Rechenregeln des Erwartungswertes an, also ein bisschen mehr Hintergrund. Was genau ist der Erwartungswert? Naja, der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist so ähnlich wie das arithmetische Mittel in der Empirie. Wir stellen uns einfach vor, wir haben einen dreiseitigen Würfel W3 und haben damit fünfmal geworfen und haben also diese Zahlen erwürfelt: 3, 2, 2,1, und 3. Wenn wir jetzt daraus das arithmetische Mittel x^- berechnen wollen, wissen wir ja, dass wir 1/n rechnen müssen 0215 die Summe aller Würfelwürfe, also (1/5)×(3+2+2+1+3) oder aber, wenn wir das Ganze nicht mit 1/n rechnen, sondern einzeln, wird jedes Wurfergebnis gewichtet mit der relativen Häufigkeit, können wir auch schreiben 3×(2/5) + 2×(2/5)+1×(1/5), also jedes Wurfergebnis gewichtet mit der relativen Häufigkeit, die es aufgetreten ist. Und wir haben ja vor ein paar Videos über das Gesetz der großen Zahlen geredet. Dieses Gesetz besagte, wenn wir uns noch einmal zurückerinnern, dass, wenn wir ein Zufallsexperiment sehr oft durchführen, sich die relative Häufigkeit immer mehr der Wahrscheinlichkeit annähert. Gut. Wir haben hier einen perfekten dreiseitigen Würfel, das heißt, wir wissen, das jede der 3 Seiten die Wahrscheinlichkeit von 1/3 hat zu fallen. Das heißt, wir können jetzt hier unsere relativen Häufigkeiten einfach durch die Wahrscheinlichkeit ersetzen. Das heißt, wir haben 3×(1/3)+2×(1/3)+1×(1/3). Und genau das ist der Erwartungswert. Der Erwartungswert einer Zufallsvariable wird hier geschrieben E(X). X ist unsere Zufallsvariable, die Augenzahl, die wir würfeln = bei einer diskreten Zufallsvariable der mögliche Ausgang oder das Ergebnis × seiner Wahrscheinlichkeit, also 3×(1/3)+2×(1/3)+1×(1/3). Das heißt, als Ergebnis bekommen wir hier 2. Das heißt, wenn wir mit unserem Würfel würfeln, erwarten wir nicht unbedingt, dass wir die 2 würfeln, das sagt der Erwartungswert nicht aus, sondern wir erwarten, dass wir im Schnitt die Augenzahl 2 würfeln. Das ist vielleicht von der Unterscheidung etwas schwer zu verstehen, aber wenn man das Ganze mal im längeren Lauf betrachtet, ist es logisch. Also wenn wir 1000× mit dem dreiseitigen Würfel würfeln, dann erwarten wir nicht, 1000× die 2 zu würfeln, nur weil der Erwartungswert 2 ist, sondern wir erwarten, nach 1000 Würfen eine Augenzahl zu haben, die nahe bei 2000 liegt, weil wir im Schnitt bei jedem Würfel eine Augenzahl von 2 erwarten. Das heißt, nach 1000 Würfen erwarten wir eine Augensumme von irgendwo nahe 2000. Ja. Das ist das theoretische Konstrukt des Erwartungswertes, und jetzt gucken wir uns einfach mal die Definition an. Okay, die Definition des Erwartungswertes. Über die Definition bei einer diskreten Zufallsvariable haben wir ja gerade schon gesprochen. Das ist im Prinzip nichts anderes als die Summe über alle Realisationsmöglichkeiten multipliziert mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit, oder anders ausgedrückt ∑(i=1, k), k ist die Anzahl der Realisationsmöglichkeiten unserer diskreten Zufallsvariable von xi, also unserer Realisationsmöglichkeit, × der Wahrscheinlichkeit, dass sich unsere Zufallsvariable X zu xi realisiert. So weit, wo gut. Hatten wir ja auch gerade schon berechnet. Sieht hier natürlich komplizierter aus, als es dann tatsächlich anwendbar ist. Das Gleiche gilt auch für die stetige Zufallsvariable. Das sieht komplizierter aus, als es ist. Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable E(x) ist das ∫(-∞, +∞), also über den gesamten Raum von x ×f(x)dx. Was bedeutet das jetzt? Naja, es ist das Integral von x, also unserer Zufallsvariable x × die Dichtefunktion unserer Zufallsvariable f(x) und darüber integrieren wir. Gut. Einige von euch werden jetzt denken: "Oh Gott, ein Integral, was mach ich damit?", aber wir gucken uns jetzt einfach mal ein kleines Beispiel an, dann sollte das alles klar werden und, wie gesagt, auch das sieht schwerer aus, als es eigentlich ist. Okay, gucken wir uns also ein kleines Beispiel für den Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable an. Wir haben die Dichtefunktion gegeben. Die sagt, dass wir eine Funktion von 2x haben für den Bereich zwischen 0 und 1, und sonst haben wir einfach 0. Das heißt, wenn wir uns das mal angucken, dann sieht das Ganze irgendwie so aus, und hier läuft es in 0 weiter, und hier läuft es auch in 0 weiter. Das hier wäre 0, hier wäre 1, und hier wäre dann logischerweise 2, da wir ja die Funktion 2x haben. Also so eine Dichtefunktion haben wir gegeben, und daraus wollen wir jetzt den Erwartungswert berechnen. Wie gesagt, das ∫(-∞, +∞), also von hier bis hier, von x×f(x), also unserer Dichtefunktion. Logischerweise müssen wir jetzt unser Integral in 3 Bereiche einteilen, wo wir klare Grenzen haben. Und zwar haben wir einmal ein ∫(-∞, o), das ist ja für alles, was kleiner ist als 0 haben wir eine andere Dichtefunktion, für alles zwischen 0 und 1 und für alles, was größer ist als 1. Also im Breich (-∞,0)x×f(x) - f(x), unsere Dichtefunktion,  ist in diesem Bereich links von 0 =0. Also können wir hier für f(s) 0 eintragen für den ersten Bereich. Dann für den zweiten Bereich zwischen 0 und 1, unser ∫ zwischen 0 und 1, haben wir wieder x× unsere Dichtefunktion in diesem Bereich. Die Dichtefunktion in dem Bereich zwischen 0 und 1 ist 2x, also haben wir hier x×2x und der dritte Bereich von 1 bis +∞ haben wir wieder x×0, weil rechts von 1, also hier, sind wir wieder bei 0. Ein ∫ über 0 ist auch 0, können wir also rausfallen lassen, können also uns auf das beschränken. Wir haben also das ∫(0; 1) von (2x)2. Ja, und das ist ein Integral, da lernen wir schon in der Schule, wie wir das ausrechnen müssen. Wir integrieren es einfach, haben also (2/3)x3 in den Grenzen 0 bis 1. Also, wie gesagt, Integralrechnung. Obere Grenze einsetzen minus untere Grenze einsetzen, und wenn wir 0 einsetzen, kommt 0 raus, können wir also weglassen. Wir haben also einen Erwartungswert von 2/3. Ja, das war es auch schon, das ist der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable, so rechnet man das aus. Sind jetzt relativ viele Schritte, aber wie ihr seht: Die Hälfte davon könnte man sowieso auch weglassen. Es ist also wirklich nicht so schwer, wie es aussieht. Es gibt noch eine weitere Möglichkeit, sich den Erwartungswert klar zu machen, sodass man ihn sich vielleicht besser vorstellen kann. Man sagt: Der Erwartungswert ist der Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Genau so, wie das arithmetische Mittel der Schwerpunkt der Häufigkeitsverteilung ist, ist also der Erwartungswert der Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Gucken wir uns das einmal an diesem kleinen Beispiel an. Wir haben unsere Zufallsvariable x - die Anzahl der Köpfe, die ich werfe, wenn ich 2× werfe, eine Münze natürlich - wir haben hier unsere Realisationsmöglichkeiten - ich werfe keinen Kopf, ich werfe einen Kopf, ich werfe 2 Köpfe - und die Wahrscheinlichkeit von 1/4, 1/2 und 1/4. So. Das hier ist also jetzt unsere Wahrscheinlichkeitsfunktion und die gucken wir uns jetzt einmal an. Stellen wir uns mal vor, das hier wäre ein Holzbrett oder so, was frei in der Luft hängen würde. Wo müsste ich jetzt einen Keil daruntersetzen, damit das im Gleichgewicht bleibt? Genau da, wo auch mein Erwartungswert ist, und zwar hier. Wenn ich hier meinen Keil druntersetze, dann wäre das Ganze ausbalanciert und würde nicht zu einer Seite kippen. Würde ich meinen Keil hier druntersetzen, würde es nach rechts kippen, hier würde es nach links kippen. Das heißt da, wo der Schwerpunkt ist, da liegt unser Erwartungswert. Wichtig ist hierbei noch zu erwähnen, dass der Erwartungswert nicht immer eine Realisationsmöglichkeit sein muss. Das hatten wir zwar in unserem Beispiel mit dem dreiseitigen Würfel oder auch hier mit der Anzahl Köpfe, aber wenn ihr einmal den Erwartungswert bei einem Wurf mit einem sechsseitigen Würfel ausrechnet, werdet ihr auf 3,5 kommen und das ist keine Augenzahl, die ihr mit einem sechsseitigen Würfel erreichen könnt. Was heißt das jetzt? Das heißt, ihr erwartet im Schnitt mit jedem Würfelwurf mit einem sechsseitigen Würfel eine Augenzahl von 3,5 zu erzielen, was natürlich bei einem Wurf unmöglich ist. Würfelt ihr aber 10×, erwartet ihr, irgendwo in die Nähe von 35 zu kommen, also Augensumme, weil ihr ja erwartet bei jedem einzelnen Wurf im Schnitt ungefähr 3,5 zu erreichen. So muss man sich also den Erwartungswert vorstellen. Der Erwartungswert sagt nicht über jeden einzelnen Wurf aus, sondern eher, was man im Schnitt erwartet, und wenn man dann über längere Zeit ein Zufallsexperiment laufen lässt, dann hat der Erwartungswert auch eine größere Aussagekraft, die auch näher mit den tatsächlichen Ergebnissen verbunden ist. Ja, das war auch schon das erste Video zum Erwartungswert. Ich hoffe, ihr habt so weit die grundlegenden Prinzipien verstanden. Der Erwartungswert ist grade in der Vorstellungskraft bei vielen noch eine Hürde, aber im nächsten Video machen wir dazu eine Übung, wie man einen Erwartungswert ausrechnet bei einer diskreten Zufallsvariable und bei einer stetigen Zufallsvariable. Und wenn wir das gemacht haben, gucken wir uns noch einmal weiterführende Rechenregeln mit dem Erwartungswert an. Ja, das war es für heute, ich bedanke mich fürs Zuschauen, sage bis zum nächsten Mal und tschüss.

Informationen zum Video
7 Kommentare
  1. Default

    Hat sich erledigt, sorry- sind ja nur 3 Seiten...:) Ist also alles richtig.

    Von Ni Na, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Liegt hier bei dem Erwartungswert nicht ein Fehler vor? Müsste es nicht heißen 3*2/3+2*2/3+1*1/3?

    Von Ni Na, vor fast 4 Jahren
  3. Default

    Die von mir gedrehten Videos sind der Kurs Statistik I. Dieser umfasst etwa 120 Videos. Darauf aufbauend existiert noch der Statistik II Kurs, diese Videos hat aber ein anderer Tutor gedreht.

    Von mir selber gibt es bis auf diesen Kurs keine Videos.

    Von Statistik Jona, vor etwa 4 Jahren
  4. Default

    Hallo, deine Videos sind echt super. Geht das Projekt noch weiter?

    Von Loki, vor etwa 4 Jahren
  5. Default

    Also wenn du die Stelle um 2:30 meinst, dann ist die gezeigte Lösung richtig.

    Xquer=3* (2/5) + 2* (2/5) + 1* (1/5)

    Das kommt daher, dass das arithmetische Mittel mit Ausprägung*relative Häufigkeit gerechnet wird. Bei 5 Würfen, haben wir 2mal eine 2 bekommen (also relative Häufigkeit 2/5)

    Ausprägung * relative Häufigkeit als 2 * (2/5)

    Von Statistik Jona, vor mehr als 4 Jahren
  1. Default

    Welche Stelle meinst du genau?

    Von Statistik Jona, vor mehr als 4 Jahren
  2. Default

    ...müssten es, bei den mit den Wahrscheinlichkeiten gewichteten Werten, nicht 2x3/5 sein?

    Von Ylma, vor mehr als 4 Jahren
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