Textversion des Videos

Transkript Statistik Video 74: Verteilungsfunktion Übung

Guten Tag, schön, dass ihr alle wieder dabei seid. Wir sind heute bei der Übung für Verteilungsfunktionen. Wir machen zwei Beispiele, einmal im diskreten und einmal im stetigen Fall. Wir fangen mal mit dem diskreten Fall an. Wir gucken uns ein Glückspiel an, und zwar ein Miniroulette. Das Miniroulette hat nur 6 Felder, 1-6. Wir gehen jetzt mal davon aus, dass es ein Laplacespiel ist, das heißt, jedes Feld hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel da hineinfällt, also 1/6. Wir spielen mit 2 Euro Einsatz und es gibt folgende Auszahlungen. Bei den ungeraden Zahlen 1,3 und 5 haben wir verloren, haben also einen Verlust von 2 Euro. Bei einer 6 bekommen wir 4 Euro, haben also einen reinen Gewinn von 2 Euro, bei einer 4 bekommen wir 3 Euro ausbezahlt und bei einer 2 dürfen wir noch mal spielen, haben also ein Freispiel, maximal allerdings 1. So gucken wir uns doch mal den Ereignisbaum an, mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Also, wenn wir 1, 3 und 5 machen, werfen, rollen, oder was auch immer, wenn 1, 3 oder 5 eintritt, haben wir einen Verlust von 2 Euro. Jedes davon tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 ein, zusammen also 3/6. Also haben wir hier eine Wahrscheinlichkeit von 1/2. Wenn wir eine 6 werfen, oder wenn die Kugel in die 6 fällt, haben wir einen Reingewinn von +2 Euro. Die 6 fällt jedes 6. Mal, hat also eine Eintrittswahrscheinlichkeit von 1/6. Wenn eine 4 eintritt, haben wir einen Reingewinn von +1 Euro. Auch die tritt jedes 6. Mal ein, also 1/6 Eintrittswahrscheinlichkeit. So, wenn wir jetzt eine 2 bekommen, die auch eine Eintrittswahrscheinlichkeit von 1/6 hat, denn ihr wisst ja, auf jeder Ebene muss es sich zu 1 addieren, dann dürfen wir noch mal spielen. Okay, da haben wir also wieder die gleichen Möglichkeiten. Wir haben die Möglichkeit, dass wir verlieren. Also 1, 3 und 5. So und jetzt kommt aber noch eine weitere Zahl hinzu, denn bei der 2 im zweiten Spiel, verlieren wir auch. Das heißt, wir verlieren im Prinzip nicht, aber wir bekommen auch nichts dafür, also wir haben auch kein Freispiel mehr, da wir ja maximal ein Freispiel bekommen können. So, wir haben also wieder die Auszahlung -2 mit der Wahrscheinlichkeit 4/6, weil wir ja 4 von 6 Ereignissen haben, wo das eintritt. So, wenn wir beim 2. Mal eine 6 erhalten, haben wir die Auszahlung +2 und wenn wir eine 4 bekommen haben wir die Auszahlung +1. jeweils auch hier mit der Eintrittswahrscheinlichkeit 1/6. So ist also das Spiel aufgebaut. Erste Aufgabe wäre es jetzt in einer Klausur klassischerweise den Ereignisbaum aufzustellen, kostet aber meistens relativ viel Zeit. Meistens bekommt man so eine Aufgabe und dann wird gesagt: Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion auf und zeichnen sie diese oder stellen sie sie grafisch dar. Gut, die Wahrscheinlichkeitsfunktion also hier mit den möglichen Realisationsmöglichkeiten, mit den möglichen Wahrscheinlichkeiten oder den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten, das sparen wir uns jetzt mal, ich mache das jetzt einfach, ihr könnt das ja auch zu Hause mal für euch machen. Unser Merkmal unsere Variable x ist also der ausbezahlte Gewinn, beziehungsweise der Verlust. Sehen wir gleich, es gibt 3 Realisationsmöglichkeiten -2, +2 und -1. Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten, gut, mach ich jetzt mal schnell, könnt ihr zu Hause auch ausrechnen. Ich hab jetzt mal die Wahrscheinlichkeitsfunktion aufgeschrieben, also die Eintrittswahrscheinlichkeit für die Realisierung -2 liegt bei 22/36 also ungefähr 60%. Für +1 bei 7/36, also etwas weniger als 20% und für +2 auch 7/36 also auch etwas weniger als 20%. Das heißt in etwa 60% der Fälle verlieren wir 2 Euro in ungefähr 20% der Fälle gewinnen wir einen und in 20% der Fälle gewinnen wir 2 Euro. Die nächste Aufgabe wäre es jetzt also, wenn man das aufgestellt hat, die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsfunktion grafisch darzustellen. Wir erinnern uns, die Wahrscheinlichkeitsfunktion bildet direkt die Wahrscheinlichkeiten ab. Wir haben hier unsere 3 Realisationsmöglichkeiten -2, 1 und 2 und die Wahrscheinlichkeitsfunktionen sind immer Stabdiagramme. Bei -2 Euro haben wir also ein Stabdiagramm von der Höhe 22/36. bei 1 ein Stabdiagramm von der Höhe 7/36, genauso wie bei der 2. In unserem Fall wäre das schon die komplette grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Also hier einfach 3 Stabdiagramme. Nun die nächste Aufgabe ist es, die Verteilungsfunktion aufzustellen. Wir wissen die Verteilungsfunktionen sind die kumulierten Wahrscheinlichkeiten. Das heißt, überall links von -2 sind wir bei 0. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir mehr als 2 Euro verlieren in diesem Fall ist 0. Bei -2 springen wir dann hier hin, hier sind wir bei 22/36, springen also auf diesen Punkt und laufen hier weiter und zwar, bis wir den Punkt 1 erreichen. Bis wir also wieder eine Wahrscheinlichkeit haben, die wir dazu addieren können. So, dann springen wir also zu diesem Punkt, der dann also 22/36 +7/36 wäre, also 29/36 so und auf dem gehen wir lang, bis wir hier zur Stelle 2 kommen, zu einer weiteren Wahrscheinlichkeit, die wir hier dazu addieren können. Hier und da sind wir bei 1, da haben wir alle Wahrscheinlichkeiten aufaddiert, es geht also weiter bis ins Unendliche. So, jetzt könnte sich noch jemand, meistens der Prof., der die Klausur stellt, einen Jux daraus machen und so Sachen abfragen wie der Wert der Verteilungsfunktion von F(2,7), also in Worten ausgedrückt, die Wahrscheinlichkeit, dass unser Gewinn in Euro kleiner ist als 2,7. Na ja, das Maximale, das wir gewinnen können ist 2, das ist also 1. Sehen wir auch hier, alles Rechts von 2 hat die Wahrscheinlichkeit 1. Oder ein Zwischenwert der Wert der Verteilungsfunktion von 0,75, gucken wir nach und liegen wir ungefähr hier. Also die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen Betrag gewinnen, der kleiner ist als 75 Cent. So das Einzige was da möglich ist, ist, dass wir -2 Euro gewinnen, also 2 Euro verlieren. Und das sehen wir auch wenn wir uns die Verteilungsfunktion an der Stelle angucken, sind wir bei einer Wahrscheinlichkeit von 22/36. Ja, das ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion im diskreten Fall, und wie man damit rechnet, dass ist wirklich keine Hexerei, eigentlich ganz simple, solltet ihr drauf haben. Gucken wir uns das mal im stetigen Fall an. Wir sagen jetzt, unsere Zufallsvariable X sei die Zeit, bis ein Auto, das wir gekauft haben einen Motorschaden hat. Also das würde üblicherweise der Hersteller feststellen, der sagt: "Okay, unsere Autos laufen im Durchschnitt 10000 Stunden und dann bekommen sie einen Motorschaden". Also es sei irgendwie eine reihe, die schlecht produziert war oder so und wir wollen jetzt die Wahrscheinlichkeit wissen, dass wir, sagen wir mal, in diesem Intervall landen. Sagen wir hier wären 8500 Stunden und hier wären 12000 Stunden. Also, die Wahrscheinlichkeit, dass unser Auto zwischen mindestens 8500 Stunden hält, oder der Motor mindestens 8500 hält, aber nach maximal 12000 Stunden einen Motorschaden aufweißt. Dann könnten wir hier das Integral berechnen. Also die Wahrscheinlichkeit, dass unser X sich zu einem Wert realisiert zwischen 8500 und 12000, also das unser Motor irgendwann zwischen 8500 und 12000 Stunden kaputt geht, ist wie wir wissen das Integral zwischen 8500 und 12000 unserer Dichtefunktion. Die Dichtefunktion, die wir natürlich hier aufgetragen haben. Um das Integral zu berechnen, müssen wir natürlich die Dichtefunktion gegeben haben. Die Dichtefunktion haben wir in diesem Fall nicht gegeben, können wir also so nicht rechnen. Was wissen wir denn noch? Wir wissen, die stetige Verteilungsfunktion hat die Supereigenschaft, dass wir das hier auch anders schreiben können. Wir können nämlich einfach sagen, das ist das Gleiche wie der Wert der Verteilungsfunktion der oberen Grenze, in diesem Fall 12000 - dem Wert der Verteilungsfunktion der unteren Grenze. Also 8500. Hier haben wir die Verteilungsfunktion aufgezeichnet. Wir können also einfach hier bei 8500 runtergehen und uns den Wert holen, bei 12000 runter gehen uns den Wert holen und die beiden voneinander abziehen. Weil dieser Wert ist ja nichts anderes als der Flächeninhalt unter der Dichtefunktion von - unendlich bis 12000 und dieser Wert ist nicht anderes als der Flächeninhalt unter der Dichtefunktion von -unendlich bis 8500. Das heißt wir nehmen also alles was Links von 12000 liegt - alles was Links von 8500 liegt und bekommen genau das, was dazwischen liegt. So, jetzt wissen wir, hier oben ist 1, das heißt, wir sagen jetzt okay, das nähert sich 1 an F(12000) sei jetzt ungefähr sagen wir 0,95 und wenn wir sagen okay, hier liegt unser Wert von F(8500), das sind jetzt ungefähr 1/4, dann können wir also sagen, die Wahrscheinlichkeit zwischen 8500 und 12000 zu fallen, wenn unsere Zufallsvariable so verteilt ist, liegt bei ungefähr 70%. Wie gesagt, wenn man die Dichtefunktion hat kann man das natürlich auch über das Integral rechnen, was aber meistens nicht nötig ist, da so etwas in Tabellen vorliegt. Das hier ist übrigens die Normalverteilung, die Gauß'sche Glockenkurve, werdet ihr noch sehr viel häufiger sehen, vor allem wenn wir uns dann mit Verteilungen beschäftigen. Wir werden uns erst mit diskreten Verteilungen beschäftigen und dann später mit stetigen Verteilungen. Hier kann man im Prinzip jedes beliebige Intervall angeben. Denkt nur immer daran, dass der Wert der Verteilungsfunktion von sagen wir 10000 bedeutet, das ist die Wahrscheinlichkeit, dass unser X kleiner als 10000 ist. Also nicht die Wahrscheinlichkeit, dass unser x=10000 ist, sondern die Wahrscheinlichkeit, dass unser x kleiner als 10000 ist. Also der Flächeninhalt unter der Dichtefunktion für alles was kleiner als x ist, also von 10000 nach links. Also im Prinzip alles von hier hinten bis nach 10000 wäre genau das, was dieser Ausdruck sagt. Ja, das war die Übung zur Verteilungsfunktion. Ich hoffe ihr habt das so weit verstanden, wisst jetzt, wie man die Verteilungsfunktion aufstellt im diskreten Fall und im stetigen Fall die Funktion wird wahrscheinlich nicht von euch verlangt werden, dass zu zeichnen, aber wenn ihr so etwas gegeben habt, müsst ihr damit rechnen können, das heißt die Werte da raus ziehen können. Wie gesagt, kann man einfach ablesen, ist jetzt nicht so schwierig. Ja, im nächsten Video beschäftigen wir uns weiter mit den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung um dann langsam aber sicher zu den ersten speziellen Verteilungen zu kommen. Ich bedanke mich fürs Zuschauen, hoffe ich guckt euch auch die nächsten Videos wieder an und sage bis zum nächsten Mal und Tschüss

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    Man muss entlang des Fadens schon multiplizieren, da hast du Recht. d.h. Im Falle von -2 1/6 * 4/6 = 4/36. Das ist die Wahrscheinlichkeit zuerst eine 2 und danach eine 1,2,3,5 zu werfen. Es gibt aber einen anderen Endknoten, dessen Ergebnis auch -2 ist, nämlich 1,3,5 im ersten Wurf. Dieser Endknoten hat die Wahrscheinlichkeit 1/2 oder auch 18/36. Diese Endknoten werden nun aber addiert (!) (die Ergebnisse verschiedener Fäden mit demselben Endergebnis werden addiert, entlang eines Fadens wird multipliziert).

    Mit 4/36 + 18/36 kommt man auf 22/36 bei -2. Die anderen berechnen sich genau gleich.

    Von Statistik Jona, vor fast 3 Jahren
  2. Default

    Wie kommst du auf 22/36 bei -2 und 7/36 bei +2. Man muss doch multiplizieren entlang des Fadens? 3/6 * 4/6 sind 12/36.

    Von Kim Morgaine, vor fast 3 Jahren