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Transkript Statistik Video 71: Wahrscheinlichkeitsfunktion Übung

Hallo, schön, dass Ihr alle wieder dabei seid. Wir sind heute bei der Übung zur Wahrscheinlichkeitsfunktion. Und wir werden hier ein schönes Beispiel durchrechnen. Also, wir haben hier ein Glücksspiel. So, wir sagen mal, das hier sind so, ja ein Miniroulette und es gibt eine dieser möglichen 5 Auszahlungen. Und, wenn ich mitspiele, dann wird also die Kugel, von mir aus, ich werfe eine Kugel und treffe also eins dieser 5 Felder. Wir sagen mal, das Ganze ist ein Laplace-Experiment. Das heißt, jedes hiervon hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, getroffen zu werden. Ist es aber ein zweistufiges Zufallsexperiment, das heißt, eventuell spiele ich weiter. Wenn ich mit meiner Kugel eins der positiven Felder treffe, dann ist das Spiel vorbei und kriege den Betrag ausgezahlt. Also 1 Euro, zwei Euro, 4 Euro. Schreiben wir mal drunter: Spiel vorbei. Wenn ich aber mit meiner Kugel eines der negativen Felder treffe, dann gibt es eine zweite Runde. So ich werfe, also ich nehme meine Kugel zurück, werfe noch mal, wieder auf das gleiche Feld, treffe wieder eins der 5 Felder, und kriege dann die Summe ausbezahlt. Gucken wir uns das einfach Mal in einem Baumdiagramm an. Sagen wir mal, das hier ist -5 und das ist -2. Das sind die, die uns vor allem interessieren, weil, wenn wir da treffen, geht es in die nächste Runde. So, und hier ist dann +1, +2, und +4. Von hier aus geht es nicht weiter. Denn, wenn ich ein positives Feld treffe, ist das Spiel sofort beendet. Bin ich aber hier, dann geht es weiter. Was für mögliche Auszahlungen gibt es jetzt. Naja, fangen wir mal an, bei den Positiven. Es gibt auf jeden Fall schon mal die möglichen Auszahlungen 1, 2, und 4. Denn, wenn ich ein positives Feld treffe, dann ist das Spiel beendet und alles ist gut. Schreiben wir uns einfach mal die möglichen Auszahlungen auf. Also, hier oben notieren wir hier alle möglichen Realisierungen xi und schreiben schon mal  1, 2 und 4 auf. Das sind Realisierungen, die auf jeden Fall schon mal möglich sind. So, jetzt habe ich die -5 getroffen und ich spiel weiter, es gibt eine nächste Runde. So, und ich treffe wieder die -5. Nach der zweiten Runde ist das Spiel auf jeden Fall beendet und ich bekomme die Summe als Auszahlung. Also, -10. -10 ist also auch eine mögliche Auszahlung. So, ich kann auch die -2 treffen, bekomme dann die Summe ausgezahlt, also -7. Auch eine mögliche Auszahlung. Ich kann auch die +1 treffen. Bekomme dann also -4. -4 schreiben wir auf, zu den möglichen Auszahlungen dazu. So, diese 6 möglichen Auszahlungen haben wir also schon. Ich kann auch die +2 treffen oder die +4. Es würde also Auszahlungen von -3 oder -1 bringen. So, wir haben also bisher 7 mögliche Auszahlungen identifiziert. Wenn ich jetzt die -2 getroffen haben, spiele ich ja auch eine 2. Runde und wieder mit den 5 Möglichkeiten. So, bei -5 lande ich bei -7. Okay, haben wir schon als mögliche Auszahlungen. Bei -2 lande ich bei -4. Haben wir auch schon in unserer Liste stehen. Bei +1 lande ich bei -1, haben wir auch schon in unserer Liste stehen. Bei +2 lande ich bei 0. Aha, 0 also eine weitere Auszahlung, die wir haben. Und bei +4 lande ich bei +2. Steht auch schon in unserer Liste. Okay, wir haben also insgesamt die möglichen Auszahlungen, 1, 2, 3, 4, -10, -7, -4, -3, -1 und die 0. Also, insgesamt 9 unterschiedliche mögliche Auszahlungen. Jetzt wollen wir dafür mal die Wahrscheinlichkeitsfunktion aufstellen. Uns interessiert also auch tatsächlich die Wahrscheinlichkeit dafür. Gut, nichts leichter als das, oder? Okay, welche Wahrscheinlichkeiten haben jetzt also die verschiedenen Realisierungen. Ich habe hier alle möglichen Realisierungen, alle xi's , noch mal sortiert aufgeschrieben, von -10 bis +4. Uns interessiert jetzt die Wahrscheinlichkeit, das ist unsere Variable x zu unserem xi realisiert. Die Variable x habe ich auch noch mal definiert, die Auszahlung in Euro. Gucken wir uns erst einmal noch das Baumdiagramm an, was für Wahrscheinlichkeiten wir denn haben. Also, wenn wir uns das angucken. Wir haben hier die 3 positiven Auszahlungen. Also, +4, +2, und +1. Diese haben die Wahrscheinlichkeit getroffen zu werden von 1/5. 1/5 können wir hier also schon mal ein 1/5 hinschreiben. Die Wahrscheinlichkeiten haben sie auf jeden Fall. Alle anderen Wahrscheinlichkeiten sind ja Kombinationen, Kombinationen aus 2 Ergebnissen. Wir haben beim 1. Mal, die -5 oder die -2 getroffen und dann, was wir beim 2. Mal getroffen haben. Also -2 und -5 haben natürlich zu dem ersten Versuch auch wieder die Wahrscheinlichkeit jeweils 1/5. Und, wenn sie getroffen werden, die -2 oder die -5, wird ja noch mal geworfen. Wieder mit 5 möglichen Ausgängen, die wieder jeweils die Wahrscheinlichkeit 1/5 haben. Das heißt, hier unten bei jeder Kombination haben wir eine Wahrscheinlichkeit von 1/25, weil man, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu bekommen, am Pfad entlang multipliziert. Man würde also sagen, okay, dieser Pfad hat die Wahrscheinlichkeit 1/5, getroffen zu werden, und von hier hat dieser Pfad wieder die Wahrscheinlichkeit 1/5 getroffen zu werden. 1/5×1/5=1/25. Das heißt, jede Kombination von 2 Ergebnissen hat also die Einzelwahrscheinlichkeit 1/25. So, mit diesen Informationen können wir uns jetzt daran machen, diese Tabelle auszufüllen. Die -10 hat genau 1 Möglichkeit, realisiert zu werden. Sie treffen beim ersten Mal die -5, beim zweiten Mal wieder die -5. Jeweils die Wahrscheinlichkeit 1/5. Also die Wahrscheinlichkeit von 1/25. Die -7. Die -7 hat jetzt wiederum zwei Möglichkeiten, realisiert zu werden. Entweder wir treffen beim ersten Mal die -5, danach die -2. Oder wir treffen beim ersten Mal die -2 und beim zweiten Mal die -5. Also, 2×1/25. Da jede Kombination die Einzelwahrscheinlichkeit 1/25. Also 2/25. Die -4. Die -4 hat wieder zwei Möglichkeiten, realisiert zu werden. Sie treffen beim ersten Mal die -5, beim zweiten Mal die +1 oder wir treffen beim zweiten Mal die -2 und beim zweiten Mal wieder die -2. Also wieder zwei mögliche Kombinationen, 2/25. Die -3 hat wiederum nur eine Möglichkeit, realisiert zu werden. Wir treffen beim ersten Mal die -5, beim zweiten Mal die +2. Dann haben wir eine Auszahlung von -3. Also, Wahrscheinlichkeit 1/25, nur eine Kombination ist möglich. So, die -1. Wir könnten beim ersten Mal die -5 treffen und beim zweiten Mal die +4. Wären wir bei einer Auszahlung von -1. Wir könnten aber auch beim ersten Mal die -2 und beim zweiten Mal die +1. Wären wir auch bei einer Auszahlung von -1. Also, 2/25. Die 0. Die 0 können wir nur dann erreichen, wenn wir beim ersten Mal die -2 treffen und beim zweiten Mal die +2, also nur eine Kombination, 1/25. Gucken wir uns das Ganze mal an. Wir rechnen jetzt also alles zusammen, müsste ja 1 ergeben. 5/25, 10/25, 15/25, 16,18, 19, 21,23, 24. Irgendwo fehlt also noch was. Ja, gucken wir mal. Und wir sehen, es gibt noch eine Möglichkeit eine Auszahlung von 2 Euro zu erhalten. Wenn wir beim ersten Mal die -2 treffen und beim zweiten Mal die +4, haben wir auch eine Auszahlung von +2. Hier müssen wir also noch 1/25 drauf addieren. Die +2 hat also eine Wahrscheinlichkeit von 6/25,  realisiert zu werden. Gut, das sind also jetzt alle unsere Wahrscheinlichkeiten, also unsere Wahrscheinlichkeitsfunktion. Ja, was jetzt noch aussteht, ist natürlich das grafisch darzustellen. Sollte ja nicht so schwierig sein. Okay, das Ganze jetzt also grafisch darstellen. Naja, wir tragen hier unsere Realisationsmöglichkeiten auf, auf die x-Achse. -10 ,-7, -4, -3, -1, 0, +1, +2, und +4. Und die Wahrscheinlichkeiten auf die y-Achse. Wir hatten ja die Wahrscheinlichkeiten 1/25, 2/25, 5/25 und 6/25. Ja, und jede Realisationsmöglichkeit kriegt jetzt einen Wert. Also, ein Stabdiagramm zeichnen wir. -10, die -10 hatte eine Wahrscheinlichkeit von 1/25. Die -7 eine Wahrscheinlichkeit von 2/25. So, ihr müsst verzeihen, es ist alles aus der Hand gezeichnet. Ihr könnt das natürlich mit Lineal sehr viel schöner machen. Die -4 hatte auch eine Wahrscheinlichkeit von 2/25. So, die -3 wiederum nur eine Wahrscheinlichkeit von 1/25. -1 auch nur eine Wahrscheinlichkeit von 1/25. Genauso wie die Null. Nein, die -1 hatte natürlich 2/25. So, die +1. Die +1 habe ich als Auszahlung nur erreicht, wenn ich beim ersten Mal die 1 getroffen habe, also hier eine Wahrscheinlichkeit 5/25. Die +2 war ja die einzige Zahl, die eine Wahrscheinlichkeit von 6/25 hat, weil es eben die Kombination gab. Aha, ich treffe jetzt beim ersten Mal die 2 oder ich treffe beim ersten mal die -2 und dann die +4.  Und die 4 wiederum, oh die 2 ist noch ein bisschen tief, so. Und die 4 wiederum hatte die Wahrscheinlichkeit 5/25. So, auch hier muss ich noch mal ein bisschen nachkorrigieren. Ja, das ist jetzt also die grafische Darstellung meiner Wahrscheinlichkeitsfunktion wieder als Stabdiagramm. Bei allen anderen Werten habe ich natürlich die Wahrscheinlichkeit 0. Also die Wahrscheinlichkeit, also ich meine 'ne Variable x, Auszahlung in Euro, sagen wir zum Wert -8 realisiert ist 0. Es kann nicht sein, es gibt keine Kombination wo ich mit -8 Euro rausgehe. Wir sehen jetzt also, hier sehr viele negative Zahlen, die alle eine, nicht sehr große, Wahrscheinlichkeit haben, ein paar positive Zahlen, die eine größere Wahrscheinlichkeit haben. Die Frage ist jetzt also. Würde ich dieses Spiel spielen, nun dann müsste man den Erwartungswert berechnen. Der Erwartungswert ist so etwas wie, wie viel gewinne ich im Durchschnitt pro Spiel oder wie viel verliere ich im Durchschnitt pro Spiel. Das kommt aber erst später. Gut, das war die Übung zur Wahrscheinlichkeitsfunktion, wo wir hoffentlich gelernt haben, wie finde ich alle Realisationsmöglichkeiten heraus. Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeiten dieser und wie stelle ich das Ganze grafisch dar. Ich bedanke mich fürs Zuschauen, ich hoffe, Ihr guckt Euch auch das nächste Video an. Sage ich bis zum nächsten Mal. Und tschüss.

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7 Kommentare
  1. Default

    Hallo,

    Kann jemand mir helfen mit dem Beispiel

    Die Wahrscheinlichkeit eines Naturereignisses in New Mexico, USA, welches mechanischen Schaden vom Grad D2 (leichte Risse in tragenden Bauteilen) anrichtet sei 29 % pro Jahr. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis in 13 Jahren

    genau 3-mal Antwort
    höchstens 3-mal Antwort
    2 bis 3-mal

    Von Lunade74, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    komisch, ich komm grad auf 0 €

    Von Chappy72, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    Wen es interessiert, wenn ich mich nicht vertippt habe ist der Erwartungswert -1.12 €

    Von Cuibono, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    Danke für die schnelle Antwort.

    Von Nadine S., vor mehr als 3 Jahren
  5. Default

    Die Wahrscheinlichkeit ändert sich zwischen den Durchgängen nicht. Unabhängig vom Ergebnis in der ersten Runde hat in der zweiten Runde jedes mögliche Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit von 1/5.

    Die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal hintereinander die +2 fällt liegt bei 1/5 * 1/5 = 1/25. In jeder Runde ist die Wahrscheinlichkeit aber gleich.

    Von Statistik Jona, vor mehr als 3 Jahren
  1. Default

    Ah, dass Video bis zum Ende schauen, dann klärt sich die Frage von selbst. ;) Danke für die guten Videos und Erklärungen.

    Von Nadine S., vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Ich habe eine Frage, die "+2" ist ja nicht nur ein Ergebnis von der ersten Runde, sondern auch von der zweiten. Würde sich die hier berechnete Wahrscheinlichkeit von 1/5 dann nicht verändern?

    Von Nadine S., vor mehr als 3 Jahren
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