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Transkript Statistik Video 70: Wahrscheinlichkeitsfunktion

Hallo, schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute bei unserem neuen Video zur Wahrscheinlichkeitsfunktion. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, wie der Name schon sagt, eine Funktion, die jeder Realisierung, jeder möglichen Realisierung, die wir in unserem Zufallsexperiment haben, eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Also einen Wert zwischen 0 und 1. Wir wissen, eine Wahrscheinlichkeit kann nie negativ sein und eine Wahrscheinlichkeit kann nie größer sein als 1. Also wird jeder möglichen Realisierung ein Wert zwischen 0 und 1 zugeordnet. Jeder möglichen Realisierung. Dieser Satz sollte Euch schon sagen, dass wir uns im diskreten Fall befinden, da wir anscheinend schon vorher wissen, was für mögliche Realisierungen wir haben werden. Das Ganze sieht dann so aus, wir haben hier unsere Wahrscheinlichkeitsfunktion, die also aussagt, die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Zufallsvariable groß X zu klein x realisiert. Das ist unsere Wahrscheinlichkeit, die zugeordnet wird. Also zum Beispiel Würfe mit einem 6-seitigen Würfel, klein x ist in diesem Fall zum Beispiel 2. Uns interessiert also, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich unser groß X, unser Würfelergebnis zu einer 2 realisiert. Das würde daraus kommen, natürlich 1/6. Eine weitere Eigenschaft ist natürlich, dass alle zugeordneten Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben müssen. Ist ja auch klar, also wenn wir uns das bei einem Würfel angucken, jedes Würfelergebnis 1-6 hat die Wahrscheinlichkeit 1/6, muss zusammen 1 ergeben. Das hatten wir auch schon bei der Definition von einem Ergebnisraum. Die Wahrscheinlichkeit für den kompletten Ergebnisraum 1 sein muss. Das Ganze, ein Pendant zur Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt es natürlich auch im stetigen Fall, da nennt man das Ganze Dichtefunktion, weil nicht so einfach mit der Wahrscheinlichkeit gerechnet werden kann, sondern das muss mit einer Dichte gerechnet werden. Gucken wir uns doch einfach mal ein Beispiel an, damit die Wahrscheinlichkeitsfunktion auch ein bisschen klarer wird, denn eigentlich ist sie sehr simpel und sehr leicht zu verstehen. Aber hier ist es noch etwas theoretisch. Gucken wir uns also ein Beispiel an. Wir haben ein Zufallsexperiment, und zwar werfen wir eine ideale Münze, 2 Mal hintereinander und die Zufallsvariable x ist die Anzahl der Köpfe, die wir dabei erreichen. Wir werfen also 2 Mal mit einer idealen Münze, das ist wichtig, denn dann wird daraus ein Laplace-Versuch. Was für Möglichkeiten haben wir jetzt? Also entweder wir haben im 1. Wurf Kopf geworfen und werfen auch im 2. Wurf Kopf, also haben 2 Mal Kopf, oder wir haben Kopf und Zahl, oder wir haben zuerst die Zahl und dann den Kopf, oder wir haben 2 Mal Zahl geworfen. Das sind also die 4 Möglichkeiten, wie unser Zufallsexperiment ausgehen kann. Kopf, Kopf / Kopf, Zahl / Zahl, Kopf oder Zahl, Zahl. Und das führt zu folgenden Realisationsmöglichkeiten für unser x: also entweder wir haben gar keinen Kopf, also wenn wir 2 Mal Zahl werfen, dann haben wir unser x = 0. Oder 1 Mal oder 2 Mal. So schreibt man also hier die Wahrscheinlichkeitsfunktion auf. Man schreibt oben die Realisationsmöglichkeiten auf und unten die Eintrittswahrscheinlichkeit. So wir haben jetzt gesagt, das ist ein Laplace-Versuch. Das heißt jeder der Eintritte hier, der Realisationsmöglichkeiten und der Ergebnisse unseres Zufallsexperiments hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. Gucken wir uns also an, wie viele Fälle es für jede Realisationsmöglichkeit von x gibt. Damit x sich zu 2 realisiert, also Anzahl Kopf 2, bei 2 Würfen, muss ja im 1. Wurf Kopf geworfen werden und im 2. Also es gibt genau 1 Möglichkeit, dass sich unser x zu 2 realisiert. Also eine Möglichkeit, in einem von vier Fällen haben wir also unser x = 2. Wir haben also die Eintrittswahrscheinlichkeit von x = 2  gleich 1/4. Das Gleiche bei 0, denn auch in einem von vier Fällen werfen wir, wenn wir 2 Mal mit einer Münze werfen überhaupt keinen Kopf. Nämlich genau dann, wenn wir 2 Mal Zahl werfen. Und in den beiden anderen Fällen, wenn wir Kopf und Zahl, oder Zahl und Kopf werfen, realisiert sich unser x zu 1. Also haben wir hier 2/4. Also in 2 von 4 Fällen haben wir ein x = 1. So und das ist auch schon unsere Wahrscheinlichkeitsfunktion. Hier die Realisationsmöglichkeiten und unten die Eintrittswahrscheinlichkeit. Die zugegeben, in diesem Beispiel sehr leicht zu berechnen war. Das Ganze kann man jetzt natürlich auch noch grafisch darstellen. Wir erinnern uns da auch an die Empirie, wo wir auch unserer relativen Häufigkeiten nun auch die absoluten Häufigkeiten in einem Stabdiagramm dargestellt haben. Und wir haben ja schon vor einiger Zeit bei dem Video zum Gesetz der großen Zahlen auch einen Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und der Wahrscheinlichkeit hergestellt. Und im Prinzip läuft es auch nach dem gleichen Schema ab. Gucken wir uns doch einfach mal die grafische Darstellung an. Also beim Beispiel von gerade, wie zeichne ich das jetzt ein? Ich habe hier die 3 möglichen Ausgänge, also die 3 xi. Das ist hier auch die Achsenbeschriftung, xi. Was kommt jetzt auf die y-Achse, was kann ich einzeichnen? Wir wissen ja noch, in der Empirie haben wir damals hier direkt die relativen Häufigkeiten eingezeichnet, also fj oder f von x. Klein f von x und hier können wir jetzt direkt die Wahrscheinlichkeiten einzeichnen. Also hier die Wahrscheinlichkeit, dass sich unsere Zufallsvariable groß X zu einem bestimmten xi realisiert. Und genauso wie in der relativen Häufigkeit machen wir das in einem Stabdiagramm. Wir hatten ja hier die Wahrscheinlichkeit 0 bei 1/4, genauso wie bei 2. Und bei 1 hatten wir die Wahrscheinlichkeit 1/2. Also ist hier die Wahrscheinlichkeit 1/2. Das ist die grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeit von dem, in diesem diskreten Fall. Wie gesagt im stetigen Fall macht man das etwas anders, da heißt das auch nicht mehr Wahrscheinlichkeitsfunktion, sondern Dichtefunktion. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist nicht zu verwechseln mit der Verteilungsfunktion. Die Verteilungsfunktion ist wie im empirischen Fall auch, quasi das kumulierte, das geht von 0 und immer höher, so treppenförmig und endet bei 1. Da werden wir uns natürlich im übernächsten Video, nachdem wir die Übung hier zur Wahrscheinlichkeitsfunktion gemacht haben, auch noch mit beschäftigen. Ja, die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist wie gesagt gar nicht viel hinter. Man überlegt sich, welche möglichen Ausgänge gibt es, was für Wahrscheinlichkeiten haben diese, und wie stelle ich sie dann grafisch dar. Also im Prinzip alles ganz einfach. Deshalb wollen wir das Video für heute auch relativ kurz halten. Das war es auch schon zur Wahrscheinlichkeitsfunktion. Im nächsten Video machen wir noch eine Übung dazu, vor allen Dingen zu dem Thema, was für eine Realisierung gibt es, was für Wahrscheinlichkeiten haben die dann, wie berechne ich die und wie stelle ich dann das Ganze grafisch dar. Wobei der Punkt ja nun wirklich relativ einfach ist. Ich bedanke mich für das Zuschauen, ich hoffe Ihr guckt Euch auch die Übung beim nächsten Mal an und sage bis zum nächsten Mal und tschüss.

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Linda

    Video kann nicht abgespielt werden

    Von Linda R., vor fast 3 Jahren
  2. Default

    ...habt ihr das gleiche Problem? Das Video stoppt ab 6:35...?!

    Von Christini M., vor etwa 3 Jahren