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Transkript Statistik Video 69: Zufallsvariable Übung

Guten Tag! Schön, dass ihr alle wieder da seid. Wir sind heute bei der Übung zur Zufallsvariablen. Nachdem wir im letztem Video uns angeguckt haben, was ist eine Zufallsvariable, was für Unterschiede gibt es? Diskret oder stetig? Wie werden sie aus den Ergebnissen eines Zufallsexperiments generiert? Entweder direkt aus den Messergebnissen oder indirekt über eine Funktionsvorschrift. Wollen wir uns heute noch mal ein bisschen genauer mit den Zufallsvariablen beschäftigen. Gucken wir uns doch erst mal ein paar Zufallsvariablen an, ein paar mögliche Zufallsvariablen und ordnen sie ein. Nehmen wir zum Beispiel die Körpergröße. Die Körpergröße, ist das erst einmal eine diskrete oder ist das eine stetige Zufallsvariable? Nun ja, das wäre eine stetige Zufallsvariable, weil wir die Größe im Prinzip beliebig genau messen können. Also, wenn unsere Messinstrumente gut genug sind, können wir beliebig kleine Zwischenschritte bei der Körpergröße nehmen. Man kann sich das so erklären, wenn man zwei Menschen hat, sind die nie exakt gleich groß, sondern es wird immer minimale Unterschiede geben, deshalb ist die Körpergröße ein stetiges Merkmal. Jetzt die Frage, kann man die, wird die Körpergröße direkt aus dem Experiment als Messergebnis gewonnen oder indirekt? Nun ja, das hängt natürlich immer ein bisschen damit zusammen, wie das Zufallsexperiment aufgebaut ist. Aber wir sagen jetzt einfach mal, wir messen direkt die Körpergröße, haben also als Messergebnisse die Körpergröße gewonnen, können also unsere Körpergröße direkt als Messergebnis in unsere Realisierung übernehmen. So, machen wir doch mal zum Beispiel die Augenzahl beim Würfelwurf. Eine diskrete oder eine stetige Zufallsvariable? Naja, weil wenn wir einen Würfel würfeln, egal ob es ein sechsseitiger oder ein vierseitiger oder ein zwanzigseitiger Würfel ist, wissen wir immer, was für mögliche Realisierungen es gibt. Also sind wir schon mal im diskreten Bereich. So, sehen wir jetzt die Augenzahl direkt aus unserem Würfelergebnis raus oder machen wir noch, brauchen wir noch eine Funktionsvorschrift, um unsere Zufallsvariable zu bekommen oder bzw. vielmehr die Realisierung unserer Zufallsvariable? Nein, wir würfeln, meinetwegen mit einem sechsseitigem Würfel, würfeln eine 5, das ist unsere Augenzahl. Also ist unsere Realisierung direkt unser Messergebnis. So, die Anzahl der Köpfe, wenn wir sagen wir mal, 10 mal Münzen werfen, eine diskrete oder eine stetige Zufallsvariable? Naja auch hier, wenn wir 10 mal mit einer Münze werfen, wissen wir, dass wir 0 bis 10 mal Kopf haben werden. Also auf jeden Fall schon mal eine diskrete Zufallsvariable. Die Frage jetzt:  Direkt oder indirekt? Naja, hier ist es so, wenn wir 10 mal eine Münze werfen, dann bekommen wir so ein Ergebnis wie Zahl, Kopf, Kopf, Zahl, Zahl, Zahl, Zahl. Also, die Ergebnisse der einzelnen Münzwürfe, war es Zahl oder Kopf und aus denen müssen wir ja dann noch mit einer Funktionsvorschrift unsere Anzahl, die wir auf den Kopf geworfen haben, herausfinden. Also müssen quasi noch zählen, wie oft denn tatsächlich ein Kopf aufgetaucht ist. Also über eine Funktionsvorschrift, also indirekt. Die Verbesserung bei meiner Zeit im 100-Meter-Lauf, diskret oder stetig? Wir reden hier von der Zeit. Die Zeit, könnt ihr Euch mal merken, die Zeit ist immer ein stetiges Merkmal. So, messen wir das jetzt direkt, wenn wir eine 100 Meter Zeit mit der Stoppuhr stoppen, bekommen wir dann die Verbesserung im Vergleich, sagen wir zum letztem 100 Meter Lauf direkt oder indirekt heraus? Naja, da wir ja die Zeit messen, die ich für 100 Meter brauche und das ja mit etwas vergleichen wollen, haben wir offensichtlich noch eine Funktionsvorschrift, um so zur Realisierung zu kommen. Sagen wir, ich laufe 100 Meter in 12,5 Sekunden, dann interessiert mich diese 12,5 aber gar nicht als Realisierung. Sondern mich interessiert, dass ich vielleicht beim letzten mal 12,4 Sekunden gebraucht habe, ich also eine Verschlechterung von 0,1 Sekunden habe. Das würde mich jetzt als Realisierung interessieren. Also hier indirekt, noch über eine Funktionsvorschrift. Und zu guter Letzt die Fahrtdauer. Naja, anscheinend auch wieder eine Zeitangabe, also auf jeden Fall schon mal stetig. Und wenn ich sage, ich fahre von Berlin, sagen wir nach Dortmund und messe, wie lange ich brauche, dann ist das, was ich rausbekomme direkt die Realisierung bei einer zufallsvariablen Fahrtdauer. Also auch wieder direkt gemessen. Gut, ihr habt jetzt also ein paar Beispiele gesehen, wie man die Zufallsvariablen kategorisieren kann. Okay, machen wir doch mal mit einem etwas komplexerem Beispiel mit einer Funktionsvorschrift weiter. Gut, schauen wir uns also mal ein etwas größeres Beispiel an. Wir haben drei Zufallsvariablen. X ist die Körpergröße, Y ist das Körpergewicht und Z ist der BMI. Der BMI, der Body Maß Index. So, das reicht aber jetzt als Definition noch nicht. Was fehlt hier? Wir müssen natürlich  noch die Einheiten angeben. Körpergröße, ja in was? In Metern, in Millimetern, in Zentimetern, in Kilometern? Also müssen wir das noch angeben, sagen wir uns interessiert die Körpergröße in Metern. Und beim Körpergewicht natürlich das Gleiche. Körpergewicht, auch da müssen wir eine Einheit angeben und uns interessiert das Körpergewicht in Kilogramm. So, kleine Zwischenfrage: X, stetiges oder diskretes Merkmal? Naja, die Körpergröße, im Prinzip beliebig viele Zwischenschritte, hatten wir ja auch gerade als Beispiel, stetiges Merkmal. Körpergewicht, stetig oder diskret? Naja, hier steht zwar in Kilogramm, also im Prinzip könnte man sich denken, man nimmt nur ganze Kilos als Schritte, aber man kann ja auch mit Kommastellen arbeiten, also auch das Körpergewicht ein stetiges Merkmal. Nicht, also kaum, man wird kaum zwei Leute finden, die exakt gleich schwer sind. Also auch ein stetiges Merkmal. BMI, naja, BMI ist schon etwas kniffliger, aber da der BMI ein Merkmal ist, was aus zwei stetigen Merkmalen berechnet wird und dann auch mit, ja beliebig vielen, also auch unendlich vielen Kommastellen auskommen kann, auch in dem Sinne müsste man sagen, ein stetiges Merkmal. Was ist jetzt die Bildungsvorschrift für den BMI? Vielleicht habt ihr das schon mal in Biologie oder so berechnet. Also, der BMI ist das Körpergewicht geteilt durch die Größe in Metern zum Quadrat. Also, können wir sagen: Y÷X². So, das dürfen wir machen und jetzt gucken wir uns doch einfach mal ein Ergebnis an. Also wir sagen, wir messen bei den Leuten Körpergewicht und Körpergröße, haben also hier so Elementarergebnisse und sagen, okay wir haben hier 192 und 68 gemessen. Okay, also 192 cm, unsere Messung ist in Zentimetern und 68 kg. Gut, jetzt haben wir also unsere Funktionsvorschriften und wollen also jetzt über unsere Funktionsvorschriften das abbilden. Also, unsere Funktionsvorschrift x sagt, nehmen wir das Ergebnis was du hast, hier die Größe in cm, teilen durch 100, um Körpergröße in m zu bekommen. Also haben wir hier 1,92 als unsere Realisation klein x1. So, wenn wir jetzt die Funktionsvorschrift von Y nehmen, sagen wir, nehme das, was du hast und übernehme es ganz einfach, weil das sind kg, wir wollten kg haben, also hier 68 klein y1. Und unsere Funktionsvorschrift von Z heißt, nehme das 2. was du hast, teile durch das, was du bei X rausbekommst zum Quadrat, also etwas komplizierter. Also im Prinzip haben wir dann 68÷1,92². Das ist unsere Funktionsvorschrift und so müssen wir das berechnen. Wenn wir das jetzt also mit dem Taschenrechner berechnen, haben wir einen Body Maß Index von ungefähr 18,45. So, das sind also jetzt die Realisierungen unserer 3 Zufallsvariablen. Man könnte das jetzt natürlich auch noch, man könnte auch noch andere Zufallsvariablen dazunehmen. Man könnte ja auch zum Beispiel die Körpergröße in Metern, so vorneweg schon mal quadrieren. Also sagen wir, wir hätten hier 4 X2 und definieren das so, dass es, X2 ist quasi unser X². Also wir nehmen die Körpergröße in Metern und quadrieren die schon mal direkt, um also hier dieses X² schon zu haben. Dann hätten wir also jetzt als quasi weiterführende Funktionsvorschrift für Z, könnten wir jetzt sagen, dass ist einfach Y÷X2. Weil ja X2 schon X² ist. Gucken wir uns noch mal ein anderes mögliches Ergebnis an. Sagen wir mal, wir haben jetzt eine Person getroffen, die 181 cm groß ist und sagen wir mal 99 kg wiegt. So und darauf wenden wir jetzt wieder unsere verschiedenen Funktionsvorschriften an, sagen also okay, X. X sagt ja, nimm das Ergebnis in cm und transformiere es in m, also teile es durch 100, also haben wir hier 1,81. So, das wäre jetzt unsere Realisation. Klein x2, das ist ja unser 2. Ergebnis, unser 2. Proband, wenn man so will, also unsere 2. Realisation für X. So, wenn wir das Ganze jetzt mit x2 machen, wissen wir ja, okay nehme das, was du bei X als Realisation hast und quadriere das. Also 1,81², also 3,28, ungefähr. Das wäre jetzt also unsere Realisation klein x2,2, also die 2. Realisation von unserem, von unserer Variablen X2. So, Y naja, Y ist einfach. Man nimmt hier die kg-Anzahl und übernimmt sie, also 99 und schließlich die Funktionsvorschrift von Z sagt ja, nehme Deinen Y-Wert 99, teile in diesem Fall durch deinen X2-Wert, also durch die Realisation deiner Variablen X2, in diesem Fall 3,28 und dein Ergebnis sei Z. Und hier halt die 2. Realisation von Z und wir bekommen einen Body Maß Index von ungefähr 30,22. So, ja das sind also quasi unsere Zufallsvariablen, die wir haben. Unsere Realisierung, die wir für verschiedene Ergebnisse hier bekommen mit den jeweiligen Funktionsvorschriften. Gut, ja soweit so gut. Das war auch schon die Übung zur Zufallsvariablen. Wir haben gesehen, wie ordnet man Zufallsvariablen ein, was für Grundgedanken muss man sich da machen, um da auch wirklich das Richtige zu treffen. Hier, wie sind die Funktionsvorschriften zu verstehen. Ihr seht, das ist alles wirklich nicht kompliziert. Also, man muss sich im Prinzip einmal überlegen, wie bekomme ich die Realisierung meiner Zufallsvariablen aus den Daten, die ich erhebe und dann ergibt ich eigentlich alles andere von selbst. Ich hoffe, ihr habt das jetzt soweit verstanden und sollte eigentlich kein großes Problem sein. Im nächsten Video beschäftigen wir uns dann mit der Verteilungsfunktion von eben solchen Zufallsvariablen, dass auch dann so langsam der Schritt, wo wir wirklich mal in die Wahrscheinlichkeitsrechnung dann auch einsteigen werden oder uns immer mehr darauf zubewegen, um dann auch irgendwann tatsächlich mal mit dem diskreten Verteilungen anzufangen. Ja, ich bedanke mich für das Zuschauen. Hoffe, ihr guckt auch das nächste Video wieder an und sage bis zum nächstem Mal, und tschüss.

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