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Transkript Statistik Video 68: Zufallsvariable

Guten Tag. Schön, dass ihr alle wieder zuschaut. Wir sind heute bei unserem neuen Video zu der Zufallsvariablen. Erst einmal: Was ist eine Zufallsvariable? Wenn wir zufällige Ereignisse oder Erscheinungen untersuchen, dann treten auch zufällige Ergebnisse ein. Wenn wir z. B. einen Würfel würfeln, dann gehen wir davon aus, dass das Ergebnis zufällig sein wird. Also, dass man unterschiedliche Ergebnisse hat, die sogenannte Realisierung. Wir haben dann also die Realisierung der vorher definierten Zufallsvariable. Eine Zufallsvariable muss immer definiert sein. Unser Beispiel mit dem Würfelwurf: Wir würfeln einen sechseitigen Würfel und unsere Zufallsvariable x wäre dann z. B. die Augenzahl. Die Zufallsvariable x könnte auch die Augenzahl zum Quadrat sein. Das müssen wir vorher definieren und dann haben wir die Ergebnisse als Realisierung der Zufallsvariablen oder auch Zufallsgröße genannt. Wie wir das gerade schon gesehen haben: Entweder bekommen wir das direkt als Messergebnis, also wenn unsere Zufallsvariable x die Augenzahl ist, die wir würfeln, bekommen wir das direkte Ergebnis oder wir bekommen das per Vorschrift, also wenn wir sagen, dass unser Zufallsvariable x die Augenzahl zum Quadrat, dann wäre unser x 36, wenn wir eine 6 würfeln. Also haben wir dann im Prinzip eine Funktionsvorschrift. Wie schreiben wir das auf. Wir haben unsere Zufallsvariable, die wird mit einem Großbuchstaben definiert. Also X, Y oder X. Ich kann das Ganze natürlich auch mit Indizes machen. Man kann auch sagen, wir nehmen X1, X2, X3. Das ist auf jeden Fall ein Großbuchstabe, unsere Zufallsvariable. Die Realisierung unserer Zufallsvariablen ist dann allerdings ein Kleinbuchstabe, also x, y und z. Das müsst ihr euch immer merken. Bei den Großbuchstaben sind wir noch, bevor wir das Ergebnis überhaupt haben, also wir sind quasi noch in der Planung unseres Experiments und die Kleinbuchstaben, das sind dann unsere tatsächlich Realisierten, das, was bei unserem Experiment tatsächlich herausgekommen ist. Gut, schauen wir uns einfach ein paar Beispiele dazu an: Schauen wir uns also mal ein paar Beispiele für Zufallsexperimente und die Zufallsvariablen an. Zum 1. Beispiel: Wir werfen mit einem vierseitigen Würfel. Unser X1 sei jetzt hier die Augenzahl des Würfels. Also im Prinzip nehmen wir das Zwischenergebnis und schreiben das in unsere Zufallsvariable rein. Was sind jetzt die möglichen Realisierungen davon? Unser x1: Wir haben ja unsere kleinen x, also unsere möglichen Realisierungen von 1 bis 4. Das sind die möglichen Realisierungen, die unsere Zufallsvariable annehmen kann. Die Wahrscheinlichkeit würden wir jetzt so definieren, wir würden sagen: Uns interessiert die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Zufallsvariable X1 den Wert von einer dieser möglichen Realisierungen annimmt. Also sagen wir: Die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Zufallsvariable den Wert von x3 annimmt, also in diesem Fall 3. So würde man die Wahrscheinlichkeitsvorschrift aufschreiben. In unserem zweiten Beispiel haben wir eine Glühlampe und uns interessiert jetzt bei x, wie lange diese Glühlampe brennt, bevor sie durchbrennt. Also sagen wir die Brenndauer in Stunden. Hier sehen wir eindeutig, dass wir nicht vorher wissen, welche Realisierungen es gibt. Also wir wissen es schon, alle Realisierungen >0. Aber es gibt eben keine Zwischenschritte, die wir ganz klar hier aufschreiben können von x1 bis xn, sondern wir müssen sagen, dass es im Prinzip jeden beliebigen Wert und jeden beliebigen Zwischenschritt treffen zwischen 0 und im Prinzip unendlich. Also sagen wir unsere mögliche Realisierung x?0. Hier sieht man auch ganz schön den Unterschied zwischen einer diskreten und einer stetigen Zufallsvariable. Dazu kommen wir aber gleich noch. Schauen wir uns erst mal die formale Definition einer Zufallsvariable an. Die Definition einer Zufallsvariable: Eine Zufallsvariable ist eine auf ? definierte Funktion, deren Funktionswerte reelle Zahlen sind. Wir kennen ja schon ?. ? ist hier der Ereignisraum. Also im Prinzip alle möglichen Ergebnisse, die wir haben. Und unsere Zufallsvariable bildet also nach einer bestimmen Vorschrift aus unserem Ereignisraum ?, hier über x, unser Zufallsvariable, auf die reellen Zahlen ab. Ist also wirklich wie eine Funktion zu behandeln. Das kling jetzt erst mal alles relativ theoretisch, ist aber eigentlich ganz logisch, wenn wir uns das nächste Beispiel noch einmal kurz anschauen. Also in diesem Beispiel werfen wir zwei vierseitige Würfel gleichzeitig und uns interessiert die Augensumme. Das heißt: Unsere Funktionsvorschrift von x ist im Prinzip, dass wir das Ergebnis, die Augenzahl, von Würfel 1 nehmen und addieren die Augenzahl von Würfel 2. Aus unserem Elementarereignissen hier haben wir also eine Vorschrift, die ist in x definiert. Die bildet dieses Ergebnis, das aus unserem ?, unserem Ereignisraum stammt, auf die reellen Zahlen ab. Also aus 1,1 würde nach der Bildungsvorschrift hier eine 2 stehen, das ist ja die Augensumme. Bei 1 und 2 haben wir natürlich die gleiche Funktionsvorschrift, wir addieren die beiden Zahlen und bilden damit das Elementarereignis auf die reellen Zahlen ab. So müsst ihr euch das vorstellen mit unseren Funktionsvorschriften. Der Vorteil dadurch, dass wir das gerade so formell definiert haben, ist, dass wir dann mit Zufallsvariablen wie mit Funktionen rechnen können. Also wir können sie addieren, multiplizieren, machen, was immer wir wollen. Und ihr seht, das ist auch eigentlich gar nicht so schwer. Die Funktionsvorschrift klingt erst einmal so fürchterlich formal, aber wenn man sich klar macht, das ist so etwas wie die Augensumme - also erste Zahl plus zweite Zahl -, dann ist das eigentlich alles kein Problem. Gut, das war jetzt erst mal die Zufallsvariable. Eine Zufallsvariable wird aber noch aufgeteilt in diskrete und stetige Zufallsvariablen. Was da der Unterschied ist, das kommt jetzt: Also eine Zufallsvariable kann entweder diskret oder stetig sein. Was bedeutet das? Schauen wir uns erst einmal den diskreten Fall an: Die Menge der möglichen Realisierung ist endlich oder abzählbar unendlich. Was genau heißt das? Wir hatten ja gerade z. B. den Wurf mit einem Würfel. Da war die Menge der Realisierung endlich. Wir konnten vorher jede mögliche Realisierung benennen. 1, 2, 3 und 4, beim vierseitigen Würfel. Das würde bedeuten, die Menge ist endlich. Was bedeutet jetzt abzählbar unendlich? Abzählbar unendlich bedeutet, die Menge ist theoretisch unendlich, aber ohne beliebig kleine Zwischenschritte. Klassisches Beispiel, das wir nachher auch noch bei den Verteilungen sehen werden: Wenn wir einen Schlüsselbund haben und wir versuchen damit eine Tür aufzuschließen und wir haben von mir aus 50 Schlüssel und testen bei jedem Versuch beliebig einen Schlüssel. Wir merken uns auch nicht, welche wir schon getestet haben. Sondern wir nehmen den Schlüsselbund, nehmen einen Schlüssel raus, versuchen, ob er passt. Wenn nicht, schauen wir uns wieder den Schlüsselbund an und wählen wieder einen zufällig aus. Kann auch wieder der gleiche sein. Das heißt: Wenn uns jetzt interessiert, wie viele Versuche wir brauchen, um diese Tür zu öffnen, kann es sein, dass wir theoretisch unendlich viele Versuche brauchen. Also nie diese Tür öffnen können. Aber das nennt man dann abzählbar unendlich, weil wir 1, 2, 3, 4, also ganzzahlige Schritte machen und nicht beliebig viele kleine Schritte machen. Also entweder wissen wir von vornherein, wie viele Realisierungen wir haben oder wir wissen, es können theoretisch unendlich werden, aber wir können sie noch abzählen. Wie gesagt, die Wahrscheinlichkeit interessiert uns dann. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Zufallsvariable zu einem beliebigen Wert realisiert? Was bedeutet jetzt stetig? Wir hatten für stetig gerade das Beispiel mit der Glühlampe. Also stetig: Die Menge der möglichen Realisierung ist überabzählbar unendlich. Das heißt wie gerade bei der Glühlampe: Wenn wir z. B. die Zeit haben und wir sagen uns interessiert, wann die Glühlampe durchbrennt, dann haben wir im Prinzip beliebig viele Zwischenschritte. Also wir können nicht vorher sagen, wie viele Realisierungen wir haben werden, weil die Zeit ein stetiges Merkmal ist. Das hatten wir auch vorher schon einmal in der deskriptiven Statistik, dass gesagt wurde: Es gibt diskrete und stetige Merkmale. Also wenn wir beliebig viele Zwischenschritte haben - wir gehen jetzt einfach mal davon aus, dass wir die Zeit sehr genau messen können, also beliebig genau -, dann nennen wir das stetig. Und für stetige Merkmale gilt: Wir können nicht die Wahrscheinlichkeit angeben, dass wir z. B. die Glühlampe nach 1000 Stunden durchbrennt. Dafür können wir keine Wahrscheinlichkeit angeben, sondern wir können das immer nur in Intervallen angeben. Also wir können angeben: Die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Glühlampe zwischen 999 und 1001 Stunden brennt. Dafür können wir eine Wahrscheinlichkeit angeben. Das ist dann das Integral über diese Funktion, die dazugehört. Das müsst ihr jetzt aber so noch nicht sofort verinnerlicht haben, das kommt alles noch in den späteren Videos, werden wir uns dann noch ausführlich mit beschäftigen. Das war jetzt auch erst mal das Video zur Zufallsvariablen. Wie gesagt: Die Unterscheidung in diskret und stetig ist relativ wichtig aber auch relativ einleuchtend. Wenn ich eine endliche Menge der Realisierung habe oder keine beliebig kleine Zwischenschritten mache kann, habe ich ein diskretes Merkmal. Kann ich beliebig kleine Zwischenschritte machen, habe ich ein stetiges Merkmal. Ich hoffe, ihr habt so weit alles verstanden und mitgenommen. Ich freue mich, wenn ihr auch das nächste Video wieder anschaut, in dem wir natürlich noch eine Übung zu den Zufallsvariablen machen. Vielen Dank fürs Zuschauen und bis zum nächsten Mal. Tschüss.

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    Also, die Urbild Eigenschaft ist mir für meinen Kurs etwas zu mathematisch gewesen. Mein Statistik Kurs geht ja eher Richtung Anwendung und beschäftigt sich weniger mit den dahinter liegenden mathematischen Grundlagen. Daher hab ich das auch nicht extra erwähnt.

    Von Statistik Jona, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Hey Jona, tolles Video zu den ZV. Ich habe jetzt öfters etwas zu der Urbildeigenschaft von ZV gelesen. Die kommt aber bei Dir nicht vor??Gruß

    Von Marcelloga, vor mehr als 3 Jahren