Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Statistik Video 67: Gesetz der großen Zahlen

Guten Tag, schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute bei unserem Video vom schwachen Gesetz der großen Zahlen. Was sagt das Gesetz der großen Zahlen aus? Na ja, die Grundidee, die dahintersteht, die sagt einfach aus, dass, wenn wir ein Zufallsereignis A haben und das Experiment, aus dem wir dieses Ereignis ziehen, sehr oft wiederholen, dann wird sich die relative Häufigkeit des Eintrittes von unserem Ereignis A der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses annähern. Das heißt, wenn wir zum Beispiel eine Münze werfen und unser Ereignis A ist jetzt unser Ergebnis Kopf. Wenn wir die Münze sehr, sehr, sehr oft werfen, wird sich die relative Häufigkeit für unser Ereignis A immer weiter der Wahrscheinlichkeit für den Eintritt, als halb annähern. So, das bedeutet es im Prinzip. Warum nicht immer weiter? Das ist eine Falle, in die ich gerade beinahe auch getappt wäre. Nun ja, es kann sein, dass man dann zwischendurch mal, sagen wir mal, fünfmal hintereinander Zahl wirft und sich dann die relative Häufigkeit wieder weiter von der Wahrscheinlichkeit entfernt. Also es ist nicht so, dass es jetzt sich mit jedem Wurf immer mehr an die tatsächliche Wahrscheinlichkeit annähert, aber über die Masse der Experimente hinweg, über sehr, sehr, sehr viele Versuche, wird es sich der Wahrscheinlichkeit annähern. Was es auch nicht bedeutet ist, dass, wenn jetzt unser Ereignis A, sagen wir, wir nehmen unseren Münzwurf, unser Ereignis A ist, wir machen Kopf. Und wir werfen die ersten zehnmal und haben die ersten zehnmal immer nur Zahl, also haben dann 10:0 Zahl gegen Kopf, dann bedeutet das schwache Gesetz der großen Zahlen nicht, nicht dass Kopf im Laufe der weiteren Versuche irgendwann seine 10 Rückstand aufholen wird. Das ist ein Irrglaube, den man sehr oft findet, wo bei Lotteriespielern oder Roulettespielern - bei Roulettespielern hört man sehr oft "Ach, es war jetzt zehnmal hintereinander Schwarz, jetzt muss doch Rot kommen". Nein, wir haben ja gelernt, die Ereignisse sind unabhängig voneinander. Was in der Vergangenheit war, beeinflusst unseren nächsten Eintritt nicht. Also, das schwache Gesetz der großen Zahlen sagt nicht, dass ein Ereignis, was längere Zeit nicht eingetreten ist, über sehr viele Versuche seinen Rückstand auf jeden Fall wieder aufholen wird, sondern einfach, dass der Rückstand verhältnismäßig zur Anzahl der Versuche immer kleiner wird, sodass sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit sehr gut annähert. Gucken wir uns dazu einfach mal ein kurzes Beispiel an, und dann machen wir noch die formale Definition. So, wir nehmen das Beispiel von gerade, wir werfen eine Münze, mehrere Male natürlich und wir schreiben die Ergebnisse in diese Tabelle. Also wir gucken erst einmal, wie oft haben wir Zahl geworfen, das ist jetzt unser Ereignis, das uns interessiert. Wie oft haben wir es tatsächlich geworfen in unseren Versuchen? Wie oft hätten wir es theoretisch nach der Wahrscheinlichkeit werfen müssen? Also, wir gehen einfach mal von einer nicht gezinkten Laplace-Münze aus, beide Seiten haben 50 % Wahrscheinlichkeit, realisiert zu werden. Dann haben wir hier die relative Häufigkeit, also wie hoch sie tatsächlich ist unsere Häufigkeit, wie hoch sie theoretisch sein müsste. Und wir haben hier die Differenz, absolut und relativ. Okay, fangen wir erst mal mit dem Einfachsten an: Die relative Häufigkeit in der Theorie müsste immer bei 50 % liegen. Also, ich mache das hier mal mit 3 beziehungsweise mit 4 Nachkommastellen, weil wir das gleich bei der tatsächlichen relativen Häufigkeit auch haben werden. So, wir gehen jetzt einfach mal davon aus, wir haben 100-mal geworfen. So, theoretisch müssten wir 50-mal Zahl werfen. Eine Realisierungswahrscheinlichkeit von 50 % - theoretisch müssten wir 50-mal Zahl werfen. So, tatsächlich haben wir aber nur 47-mal Zahl geworfen, macht also eine theoretische relative Häufigkeit von 50 % und eine tatsächliche von 0,47. So, wir haben also 47-mal Zahl geworfen, 53-mal Kopf, haben also einen Rückstand von quasi 6. So, gucken wir uns die Differenzen an: Absolut haben wir eine Differenz von 3 zwischen dem, was wir theoretisch hätten erreichen müssen und dem, was wir tatsächlich als Realisierung sehen. Relativ haben wir eine Differenz von 0,03, also 3 Prozentpunkte liegen wir jetzt mit unseren Ergebnissen noch hinter unserer Wahrscheinlichkeit. Okay, gehen wir mal auf 1000 weiter und sagen, wir haben 487-mal Zahl geworfen bei 1000 Versuchen. Theoretisch wären wir davon ausgegangen, 500-mal Zahl zu werfen. Okay, wir haben also eine relative Häufigkeit von 487/1000 - 0,487. So, gucken wir uns also die Differenzen an. Unsere Differenz ist deutlich größer geworden. Hatten wir vorher noch eine Differenz von 3 zu unserem eigentlich erwarteten Eintritt, haben wir jetzt schon 13. Wir hängen also quasi schon 26 hinterher, weil wir haben ja 487-mal Zahl geworfen, ergo die anderen 513-mal haben wir Kopf geworfen. Trotzdem hat sich aber unsere relative Häufigkeit, unsere Eintrittswahrscheinlichkeit angenähert. Wir haben jetzt nur noch eine Differenz von 0,013, also von 1,3 %. Das heißt, obwohl unsere tatsächliche Differenz größer geworden ist, ist unsere relative Differenz deutlich kleiner geworden. Gucken wir uns das mal bei 10000 an. Wir sagen jetzt, wir haben bei 10000 Versuchen 4950-mal Zahl geworfen. Erwartet hätten wir natürlich 5000-mal, also genau jedes 2. Mal. So, wir haben jetzt eine relative Häufigkeit von 0,495. So, erwartet hätten wir natürlich 50 %. Unsere absolute Differenz ist wieder deutlich größer geworden. Wir sind jetzt bei einer absoluten Differenz von 50, also haben 100 Würfe öfter Kopf geworfen als Zahl, nämlich insgesamt 5050-mal Kopf und 4950-mal Zahl. Trotzdem ist unsere relative Differenz auf einen halben Prozentpunkt geschrumpft. Das heißt, wir haben, obwohl sich die absolute Differenz immer vergrößert hat, eine sehr gute Annäherung schon an unsere tatsächliche Wahrscheinlichkeit bekommen. Und das sagt das Gesetz der großen Zahlen aus, dass bei immer mehr Versuchen sich die relative Häufigkeit der Eintrittswahrscheinlichkeit annähern wird. Es sagt nicht aus, dass ein Ereignis, was bisher zu selten eingetreten ist, quasi den Rückstand wieder aufholt. Das haben wir hier ja gesehen. Der Rückstand ist quasi immer größer geworden, das Gesetz der großen Zahlen gilt aber trotzdem, es nähert sich weiter an. Gut, ihr seht hier, ich habe hier oben drübergeschrieben "Schwaches Gesetz der großen Zahlen". Es gibt natürlich auch noch ein starkes Gesetz der großen Zahlen, was etwas mehr Bedingung erfordert, dafür etwas allumfassender ist. Für uns soll das schwache Gesetz der großen Zahlen einfach mal genügen und wir gucken uns jetzt einfach mal eine formale Definition davon an. Okay, schauen wir uns also mal die formale Definition des schwachen Gesetzes der großen Zahlen an. Also wir haben erst mal unsere verschiedenen Versuche, x1 bis xn, das sind die Wiederholungen unseres Experiments. Die seien unabhängig voneinander. Okay, ist klar, wenn ich zum Beispiel zweimal hintereinander eine Münze werfe, gehe ich davon, dass die Versuche unabhängig sind. Und sie sind identisch verteilt. Mit dem Erwartungswert µ und der Varianz σ². Okay, das wird euch später noch beschäftigen, da kommt das µ und das σ² noch mal sehr viel genauer. Also das µ ist im Prinzip der unbekannte Mittelwert, der tatsächlich existiert, also hier steckt also das drin, was wir suchen - bei unserem Fall jetzt die Eintrittswahrscheinlichkeit, die uns tatsächlich interessiert. Also hier würde dieses ½, an das wir uns annähern wollen, drinnen stehen. So, dann gilt mit &epsilon">;>0, also ε ist quasi eine Grenze, ein Abstand, den ich mir vorher beliebig setze, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mein arithmetisches Mittel über alle Versuche minus meinem Mittelwert größer ist als ε. Die soll gleich 0 sein, wenn wir unser n gegen unendlich laufen lassen. Also bei unendlich vielen Versuchen soll quasi in unserem Fall, so wie wir das als Beispiel gerechnet haben, die relative Häufigkeit minus die Wahrscheinlichkeit, dass es tatsächlich eintritt. Diese Differenz soll die Wahrscheinlichkeit 0 haben, dass sie größer ist als unser ε, als unsere selbst gewählte Schranke. Also wir sagen zum Beispiel vorher, ε=0,00005 %. Und wir sagen jetzt, n läuft gegen unendlich. Und es gilt also, dass die relative Häufigkeit minus die tatsächliche Eintrittswahrscheinlichkeit auf jeden Fall, dass dieser Abstand größer ist als ε, was wir vorher beliebig klein gewählt haben, dafür soll die Wahrscheinlichkeit 0 gelten. Oder entgegengesetzt, die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Abstand kleiner ist als ε, also quasi minimal klein - ε ist oft eine beliebig klein gewählte Grenze - soll die Wahrscheinlichkeit 1 haben, wenn wir n gegen unendlich laufen lassen. Es bedeutet also im Prinzip nichts anderes, als, wenn wir n gegen unendlich laufen lassen, soll sich unsere relative Häufigkeit der tatsächlichen Eintrittswahrscheinlichkeit annähern. Oder hier, unser arithmetisches Mittel soll sich dem tatsächlichen Mittelwert annähern. Also das ist hier noch etwas umfassender. Es bezieht sich nicht nur auf Eintrittswahrscheinlichkeiten, sondern auch auf das arithmetische Mittel. Ja, zum Beispiel, wenn wir den Wurf eines Würfels betrachten, eines sechsseitigen Würfels, dann hat jeder Wurf den Erwartungswert 3,5. Das bedeutet, wenn ich 10-mal mit dem Würfel geworfen habe, erwarte ich, dass ich eine Augensumme von 35 habe. So, das wird nicht jedes Mal eintreffen, aber bei unendlich vielen Würfen wird mein arithmetisches Mittel, also werde in Mitte, 3,5/Wurf erreicht haben, was auch meinem µ entspricht. So, das war das schwache Gesetz der großen Zahlen, das auch ein sehr wichtiges Gesetz in der Stochastik ist. Ich hoffe, ihr habt das so weit verstanden. Das ist etwas komplizierter. Ich hoffe, ich konnte euch da beim Verständnis etwas helfen. Ja, ich freue mich schon aufs nächste Video, hoffe, dass ihr auch da wieder zuguckt und sage, vielen Dank fürs Zuschauen und bis zum nächsten Mal - tschüss!

Informationen zum Video
1 Kommentar
  1. Default

    Was ist der grundlegende Unterschied zwischen dem starken Gesetz der großen Zahlen und dem schwachen Gesetz der großen Zahlen?

    Von Denizli Nesli, vor etwa 2 Jahren