Textversion des Videos

Transkript Statistik Video 65: Unabhängigkeit von Ereignissen

Guten Tag, schön dass ihr alle wieder zuguckt! Wir sind heute bei unserem Video zur Unabhängigkeit von Ereignissen. Warum ist das wichtig? Unabhängigkeit ist ein ganz zentraler Faktor in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Alle wollen immer, dass Ereignisse voneinander unabhängig sind, das macht es einfach sehr bequem damit zu rechnen. Wenn die Ereignisse voneinander abhängen ist das nicht so schön, dann muss man immer die Wirkung von einem Ereignis auf das andere mit in Betracht ziehen, aber wenn sie voneinander unabhängig sind, kann man damit supereinfach rechnen. Deshalb wollen alle immer, dass Ereignisse unabhängig voneinander sind. Gucken wir uns doch einfach mal an, wann das so ist. Also wir haben ja meistens gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit von A ungleich der bedingten Wahrscheinlichkeit von A unter B ist. Also wir haben unsere Wahrscheinlichkeit A, sagen wir mal die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet und die ist ungleich der Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet. Gegeben Ereignis B tritt ein, wir haben eine negative Wettervorhersage. Also wir würden sagen diese bedingte Wahrscheinlichkeit gegeben wir haben eine schlechte Wettervorhersage, die Wettervorhersage sagt, dass es morgen regnet und jetzt wollen wir die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet wissen, ist anders, als eine beliebige Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet. Also die Zusatzinformation verändert unsere Wahrscheinlichkeit. Das muss aber nicht immer der Fall sein. Es gibt natürlich auch Fälle, wo die Wahrscheinlichkeit von A ist gleich der Wahrscheinlichkeit von A/B ist. Das heißt, eine Zusatzinformation liefert im Prinzip keine Zusatzinformation und verändert die Wahrscheinlichkeit nicht. Also z.B. sagen wir A sei die Wahrscheinlichkeit einer zufällig ausgewählte Person ist größer als 1,70 m und B ist die Person trägt eine Brille. Gegeben die Person trägt eine Brille, dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Person über 1,70 m ist, da sieht man schon, dass eine Zusatzinformation nicht unbedingt die Wahrscheinlichkeit verändern muss. Wir haben also die Möglichkeit, dass die Wahrscheinlichkeit von A gleich unserer bedingten Wahrscheinlichkeit von A/B ist und wenn das eintritt, redet man davon, dass die Ereignisse voneinander unabhängig sind. Wenn wir diese Richtung haben, also die Wahrscheinlichkeit von A ist gleich der bedingten Wahrscheinlichkeit von A/B, dann haben wir auch immer die Gegenrichtung, also die Wahrscheinlichkeit von B ist gleich der bedingten Wahrscheinlichkeit von B/A. Wenn wir das gegeben haben, dann sprechen wir von Unabhängigkeit von den Ereignissen A und B. Haben wir Unabhängigkeit gegeben, können wir unseren Multiplikationssatz, der lautet P(A/B)×P(B) können wir vereinfachen, weil wir haben ja gesagt die Wahrscheinlichkeit A/B ist die Wahrscheinlichkeit von A, also haben wir hier P(A)×P(B). Das heißt, die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintritts der beiden Ereignisse A und B ist nichts anderes, als das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. Und genau dieser spezielle Multiplikationssatz ist so beliebt, deshalb wollen immer alle, dass die Ereignisse unabhängig voneinander sind und oft wird auch einfach gesagt, wir setzen voraus Ereignis A und Ereignis B sind unabhängig voneinander und gegeben das fangen wir jetzt mal an zu rechnen. Ob die dann wirklich unabhängig voneinander sind, wird oft gar nicht mehr überprüft, sondern es wird einfach damit gerechnet und am Ende präsentiert man dann ein Ergebnis, sagt die Wahrscheinlichkeit ist 15%, und ob die tatsächlich unabhängig sind, ob man diesen Rechenweg überhaupt einschlagen durfte, wird oft gar nicht mehr überprüft. Also haben wir Unabhängigkeit, das heißt, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich seiner bedingten Wahrscheinlichkeit, dann können wir den allgemeinen Multiplikationssatz vereinfachen zu diesem speziellen Multiplikationssatz. Gucken wir uns doch einfach mal die formale Definition der Unabhängigkeit an. Also die formale Definition: Die zufälligen Ereignisse A und B, oder auch A, B und C, sind voneinander unabhängig, wenn gilt: P(A/B)=P(A) bzw. auch P(B)=P(B/A) und natürlich auch jeweils mit den Gegenwahrscheinlichkeiten bzw. die Wahrscheinlichkeit von A und B, also dass A und B gleichzeitig eintreten, ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeit von A und der Wahrscheinlichkeit von B. Dann gelten diese beiden Ereignisse als voneinander unabhängig. Wie gesagt eine Eigenschaft, die man in der Statistik sehr gerne hat. Ein kurzes Beispiel dazu. Ok, als Beispiel: Wir haben 2 Würfel und würfeln mit denen jeweils ein mal, es sind beides 6-seitige Würfel und unser Ereignis A ist unser Würfel 1 zeigt die Augenzahl 5, also wir würfeln mit Würfel 1 eine 5 und unser Ereignis B: Würfel 2 zeigt die Augenzahl 6, also wir würfeln eine 6. Beide Ereignisse sind voneinander unabhängig, wenn man sich das mal logisch überlegt. Dem Würfel 2 ist es ja völlig egal, was ich mit Würfel 1 würfel, er hat immer noch die gleiche Wahrscheinlichkeit. Wir gehen natürlich davon aus, dass beide Würfel perfekte Würfel sind, also jede Augenzahl die gleiche Wahrscheinlichkeit von 1/6 hat. Ok, wenn wir mit 2 Würfeln würfeln, haben wir ja insgesamt 36 verschiedene Möglichkeiten. Uns interessiert jetzt also die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A und Ereignis B gleichzeitig eintreten. Von unseren 36 möglichen Kombinationen, die wir ja beim Würfeln mit 2 Würfeln haben, interessiert uns genau eine. Nämlich dass Würfel 1 eine 5 zeigt und Würfel 2 eine 6, also eine von 36 Kombinationen interessiert uns. Also haben wir als Wahrscheinlichkeit, dass das eintritt 1/36. So weit, so logisch. Jetzt gucken wir uns doch mal die Einzelwahrscheinlichkeiten an: Die Wahrscheinlichkeit von A ist ja, genau so wie die Wahrscheinlichkeit von B, nämlich bei einem perfekten 6-seitigen Würfel, hat jede Augenzahl die Wahrscheinlichkeit 1/6. Also ich habe bei Würfel 1 die Wahrscheinlichkeit 1/6 eine 5 zu würfeln und bei Würfel 2 die Wahrscheinlichkeit 1/6 eine 6 zu würfeln. Laut unserer Definition der Unabhängigkeit muss jetzt also die Wahrscheinlichkeit A und B gleich der Wahrscheinlichkeit A×B sein. Also überprüfen wir das mal, wir haben hier 1/36 und das soll gleich P(A)×P(B) sein, also 1/6×1/6 und wir sehen, wir haben hier 1/36, wir haben hier 1/6×1/6, also auch 1/36 - stimmt also. Da können wir also einen Haken dranmachen. Wir können also diesen speziellen Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit anwenden. Wie gesagt ihr müsst euch vorher immer sehr genau überlegen, ob die Ereignisse tatsächlich unabhängig voneinander sind. In der Klausur ist es oft so, dass es dann im Klausurtext mit dransteht, also die Ereignisse A und B seien voneinander als unabhängig zu betrachten. Wenn es nicht dransteht wäre ich vorsichtig. Ok, so viel zu dem Beispiel. Gucken wir uns doch noch mal an, was vollständig unabhängig und paarweise unabhängig bedeutet. Logischerweise dann bei mehr als 2 Ereignissen. Ok, gucken wir uns doch jetzt noch mal die Unabhängigkeit bei mehr als 2 Ereignissen an. Also ich habe jetzt einfach mal 3 Ereignisse A, B und C, die sind beliebig definiert und beziehen sich natürlich auf das gleiche Zufallsexperiment. Dann haben wir eine Unabhängigkeit zwischen A und B, das heißt, der Multiplikationssatz gilt. Also die Wahrscheinlichkeit von A und B = P(A)×P(B), das hatten wir ja schon. Zwischen A und C gilt offensichtlich auch eine Unabhängigkeit, denn die Wahrscheinlichkeit von A und C = P(A)×P(C) und bei B und C das Gleiche, also die Wahrscheinlichkeit, dass B und C gleichzeitig auftreten = P(B)×P(C). Das heißt, wir haben in allen möglichen Kombinationen eine Unabhängigkeit. Man spricht jetzt auch davon, dass sie paarweise voneinander unabhängig sind. Wir hatten das ja schon mal mit disjunkten Mengen, also da wurde ja auch gesagt sie sind paarweise disjunkt. Gucken wir uns jetzt mal hier die andere Seite der Tafel an, da haben wir im Prinzip so etwas wie das vollständige disjunkt. Wir haben die Wahrscheinlichkeit von A, B und C, also die Wahrscheinlichkeit, dass A und B und C gleichzeitig auftreten gleich P(A)×P(B)×P(C). Das nennt man sie sind gemeinsam unabhängig. So, jetzt ist die Frage, kann man aus dem einen das andere ableiten? Kann man also wie beim disjunkten von paarweise auf gemeinsam schließen oder vielleicht von gemeinsam auf paarweise? Wir erinnern uns im disjunkten Fall konnte man von paarweise auf vollständig schließen, was ja im Prinzip so etwas ist wie gemeinsam nur etwas stärker. Das kann man hier nicht. Diese Richtung gilt schon mal nicht. Man kann von paarweise unabhängig nicht auf gemeinsam unabhängig oder vollständig unabhängig schließen. Die Frage ist kann man von gemeinsam unabhängig auf paarweise unabhängig schließen? Ihr merkt schon ich jongliere hier so ein bisschen mit gemeinsam und vollständig, denn von gemeinsam kann man auch noch nicht auf paarweise unabhängig schließen, das kann man erst, wenn sie vollständig voneinander unabhängig sind. Um aus gemeinsam unabhängig vollständig zu machen, muss im Prinzip noch etwas gegeben sein, nämlich dass jede mögliche Kombination von Ereignissen, die hier gemeinsam unabhängig sind. Das heißt, gemeinsam unabhängig und paarweise unabhängig zusammen würde bedeuten sie wären vollständig unabhängig. Aus vollständiger Unabhängigkeit kann man dann natürlich darauf schließen, dass sie paarweise unabhängig sind, weil das ja da drin steckt. Aber nur aus diesem Multiplikationssatz kann man nicht auf diese 3 Multiplikationssätze schließen und aus diesen Dreien kann man auch nicht hier drauf schließen. Das war auch schon das Video zur Unabhängigkeit von Ereignissen. Ich bedanke mich wie immer fürs Zuschauen und hoffe ihr guckt auch beim nächsten Video wieder rein und sage bis zum nächsten Video und tschüss!

Informationen zum Video