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Transkript Statistik Video 63: Satz von Bayes (Bayestheorem)

Guten Tag! Schön, dass ihr alle wieder da seid! Wir beschäftigen uns heute in unserem Video mit dem Satz von Bayes. Bayes, Thomas Bayes, war ein englischer Mathematiker, der einiges in der Wahrscheinlichkeitsrechnung bewegt hat, halt mit diesem Satz von Bayes, auch Bayestheorem genannt. Was ist unser Problem? Unser Problem ist, wir suchen die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter A. Wir haben aber nur die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B. Wir wollen jetzt also irgendwie aus dieser bedingten Wahrscheinlichkeit diese berechnen. Wie kann das funktionieren? Naja, das ist nicht so schwierig, man muss nur mal darauf kommen und genau darauf ist halt der Herr Thomas Bayes gekommen. Also, gucken wir uns das mal an. Die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter A ist ja formal erst mal definiert, als die Wahrscheinlichkeit von B geschnitten A durch die Wahrscheinlichkeit von A. Gut, so weit, so gut. Das Ganze kann man jetzt ein bisschen umschreiben. Wir sagen jetzt einfach mal, das ist die Wahrscheinlichkeit von B geschnitten A / die Wahrscheinlichkeit von B × die Wahrscheinlichkeit von B und das Ganze durch die Wahrscheinlichkeit von A. Wir erweitern also quasi den Zähler um 1, also gar nicht, schreiben das aber so dahin. Okay, ist noch nicht sonderlich besser geworden. Wenn wir uns das jetzt aber mal angucken. Wir haben hier die Wahrscheinlichkeit B und A durch die Wahrscheinlichkeit von B. Wenn wir das jetzt mal in der Klammer umtauschen, wird es vielleicht klarer. Da haben wir dann nämlich die Wahrscheinlichkeit von A und B. So, und wenn wir uns das jetzt angucken und uns erinnern, aha, das hier ist doch irgendwie die Wahrscheinlichkeit von A unter B, die bedingte Wahrscheinlichkeit. Genau das hier ist die formale Formel. Okay, können wir also jetzt weitergehen und sagen, die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter A ist also, nach unseren Umstellungen, die wir hier gemacht haben, die auch mathematisch alle korrekt sind, die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B × die Wahrscheinlichkeit von B / die Wahrscheinlichkeit von A. Ja, wir haben also hier die bedingte Wahrscheinlichkeit, die wir haben wollen, diese bedingte Wahrscheinlichkeit haben wir schon gegeben und hier die 2 Einzelwahrscheinlichkeiten. Das ist das Bayestheorem, was es aussagt. Man berechnet also aus einer bedingten Wahrscheinlichkeit die andere. Also immer, wenn wir eine Wahrscheinlichkeit haben, aber quasi nach dem anderen bedingen würden gerne, dann können wir mit dem Bayestheorem arbeiten. Das klingt jetzt vielleicht alles noch mal ein bisschen theoretisch, deshalb gucken wir uns ein kleines Beispiel an. Okay, in diesem kleinen Beispiel haben wir also 2 Urnen, Urne A und Urne B, und da sind Kugeln drin. In Urne A eine rote und 2 schwarze und in Urne B 2 rote und 2 schwarze. Wir haben die Wahrscheinlichkeit, die verschiedenen Urnen zu wählen, =½. Das heißt, mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ziehe ich entweder aus Urne A oder aus Urne B. Das soll zufällig bei ½ liegen, also es ist völlig egal, aus welcher Urne ich ziehe, beide haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. Dann haben wir die bedingten Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, das nennen wir jetzt unser Ereignis R, R steht für "wir ziehen eine rote Kugel", gegeben, wir ziehen aus Urne A. Also wenn wir wissen, wir ziehen aus Urne A, die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu erwischen, ist offensichtlich 1/3. Es gibt 3 Kugeln, eine davon ist rot, 1/3. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, gegeben, wir sind in Urne B: Wir haben 4 Kugeln, 2 davon sind rot, also ½. 2 von 4 oder auch ½. Gut, das haben wir also schon mal. Uns interessiert jetzt noch die Wahrscheinlichkeit, überhaupt eine rote Kugel zu ziehen, die haben wir ja noch nicht. Wie bekommen wir die? Erinnern wir uns an die letzten 2 Videos, die das Thema totale Wahrscheinlichkeit hatten, genau damit bekommen wir jetzt unsere Wahrscheinlichkeit von R. Also, wir haben hier - wir erinnern uns an die totale Wahrscheinlichkeit, ich schreibe es noch mal hier oben hin, sagen wir mal, wir nehmen D, also D unter A×P(A)+D unter B×P(B) usw., also im Prinzip die bedingten Wahrscheinlichkeiten × die Wahrscheinlichkeiten der bedingenden Ereignisse. Also, die Wahrscheinlichkeit R unter A × die Wahrscheinlichkeit von A + die Wahrscheinlichkeit R unter B × die Wahrscheinlichkeit von B. So, das sind alle Wahrscheinlichkeiten, die wir haben, diesmal nur 2, entweder wir ziehen aus Urne A oder wir ziehen aus Urne B. Wir haben hier also R unter A, 1/3, ×P(A), ×½, +R unter B, ½, ×P(B), auch ½, also: (1/6)+¼=5/12, also hier unsere Wahrscheinlichkeit, unsere totale Wahrscheinlichkeit von R, die wir ja hier, bei dieser bedingten Wahrscheinlichkeit auch brauchen. Nach dem Satz von Bayes, den wir gerade hergeleitet haben, ist jetzt also die totale Wahrscheinlichkeit von A unter R, die uns interessiert, diese bedingte Wahrscheinlichkeit A unter R, also die Wahrscheinlichkeit, dass wir aus Urne A gezogen haben, gegeben, wir haben eine rote Kugel in der Hand. Das interessiert uns. Und nach dem Satz von Bayes können wir das jetzt also aus der entgegengesetzten bedingten Wahrscheinlichkeit berechnen, also aus der Wahrscheinlichkeit, wir ziehen eine rote Kugel, gegeben, wir ziehen aus Urne A. So, das ist jetzt also, nach dem Satz von Bayes, nämlich genau diese entgegengesetzte bedingte Wahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit R unter A × die Wahrscheinlichkeit von A / die Wahrscheinlichkeit von R. So, das ist das Bayestheorem, der Satz von Bayes. Ja, und wir haben ja hier vorher schon alles berechnet, was wir brauchen. Also die bedingte Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit, wir ziehen eine rote Kugel, gegeben, wir ziehen aus Urne A, ist 1/3, × die Wahrscheinlichkeit, wir ziehen überhaupt aus Urne A, ist ½, / die Gesamtwahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, /(5/12). Wenn man das jetzt ausrechnet, kommt man auf 2/5 oder 0,4. Das ist also die Wahrscheinlichkeit, dass wir aus Urne A gezogen haben, gegeben, wir haben eine rote Kugel, ist 0,4, über den Satz von Bayes berechnet. Ja, das hier war jetzt erst mal nur ein ganz kleines, simples Beispiel dafür. Es gibt natürlich auch noch komplexere Beispiele und die gucken wir uns im nächsten Video in der Übung an. Der Satz von Bayes oder das Bayestheorem, vielleicht werdet ihr es auch unter diesem Namen kennen, ist sehr wichtig in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, da man nämlich oft bestimmte bedingte Wahrscheinlichkeiten hat, aber einen eigentlich die anderen bedingten Wahrscheinlichkeiten interessieren würden. Und wenn man das hier im Kopf hat, diese Formel, wie man denn von einer bedingten Wahrscheinlichkeit auf die entgegengesetzte bedingte Wahrscheinlichkeit kommt, dann kann man in der Wahrscheinlichkeitsrechnung schon sehr viel machen. Ja, das war's auch schon wieder für dieses Video. Das war das Video zum Satz von Bayes, also zum Bayestheorem. Im nächsten Video gibt es dazu noch eine Übung. Ich bedanke mich wie immer fürs Zuschauen, freue mich, dass ihr reingeguckt habt, und hoffe, ihr macht auch beim nächsten Video einfach weiter. Ich bedanke mich fürs Zuschauen und sage tschüss!  

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