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Transkript Statistik Video 60: Bedingte Wahrscheinlichkeiten Übung 2

Guten Tag, schön, dass ihr alle wieder reinschaut. Wir sind heute bei der 2. Übung zu der bedingten Wahrscheinlichkeit. Nachdem wir uns ja in der letzten Übung vor allem die Laplace-Experimente angeguckt haben, wollen wir uns heute einmal bedingte Wahrscheinlichkeiten angucken, bei Experimenten, die keine Laplace-Experimente sind. Wir haben hier ein ganz klassisches Beispiel. Wir haben 2 Merkmale, wir haben einmal die Aussage, ob eine Person geimpft ist und einmal die Aussage, ob eine Person danach krank geworden ist. Also quasi eine medizinische Untersuchung. Und jetzt wollen wir wissen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit z. B. eine geimpfte Person zu finden, wenn wir zufällig aus diesen 1000 Personen, die wir haben, eine auswählen? So, zeichnen wir uns dazu doch erst einmal das Baumdiagramm hierfür, für diesen Fall auf. Also, wir fangen mal hier an. So. Und die erste Sache, die zeitliche Abfolge war ja wahrscheinlich, dass erst einmal geimpft wurde, im Nachhinein wurde geguckt, ist die Person krank geworden oder ist diese Person nicht krank geworden? Also gehen wir mal hier rum und sagen, hier sind alle, die geimpft wurden und hier sind alle, die nicht geimpft wurden. So, von diesem Baumdiagramm gehen dann natürlich von jedem Zweig noch einmal 2 Zweige ab. Und zwar jeweils die, die krank geworden sind und die, die nicht krank geworden sind. Ich mache das einheitlich, oben stehen die, die krank geworden sind.  Jetzt interessieren uns natürlich die Wahrscheinlichkeiten. Was sind das denn für Wahrscheinlichkeiten, die hier am Ende stehen. Also z. B., wenn wir diesem Pfad folgen, geimpft und krank, ist das halt die gemeinsame Wahrscheinlichkeit. Also die Wahrscheinlichkeit geimpft und krank. So, wie groß ist jetzt diese Wahrscheinlichkeit? Gucken wir uns das einmal an, in unserer Vierfelder-Tafel. Wir haben insgesamt 70 Leute, die geimpft sind und trotzdem krank geworden sind. 70 von 1000 macht also 0,07. Als Wahrscheinlichkeit könnt ihr das so auffassen. Wenn ich diese 1000 Leute habe, und ich wähle zufällig 1 Person davon aus, dann habe ich eine 7%ige Wahrscheinlichkeit, jemanden zu finden, der sowohl geimpft ist und krank geworden ist. Also hier, Wahrscheinlichkeit geimpft und krank, 0,07. Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand geimpft wurde und nicht krank geworden ist, müssen wir natürlich auch gucken, wir sind immer noch in dieser Zeile, geimpft, und gucken: Nicht krank geworden sind 630 Leute, die geimpft wurden. 630 von 1000 macht also eine relative Häufigkeit von 0,63, also haben wir eine 63%ige Wahrscheinlichkeit, wenn wir zufällig aus diesen 1000 Leuten einen aussuchen, jemanden zu treffen, der geimpft wurde und nicht krank geworden ist. Das Gleiche auch hier unten. Also nicht geimpft und dann krank geworden, nicht geimpft und krank geworden, sind wir also in diesem Feld. Haben also 150 von 1000 Leuten, macht also eine Wahrscheinlichkeit von 0,15. Und bei nicht geimpft und nicht krank haben wir auch eine Wahrscheinlichkeit von 0,15. So, das sind ja jetzt erst mal schon grundlegende Wahrscheinlichkeiten, die wir auch brauchen, um nachher die bedingten Wahrscheinlichkeiten auszurechnen. Aber das sind ja noch nicht alle. Wir brauchen ja auch noch die Einzelwahrscheinlichkeiten für wie wahrscheinlich ist es, dass jemand geimpft ist? Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand nicht geimpft ist? Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand krank geworden ist und wie wahrscheinlich ist es, dass jemand nicht krank geworden ist? Das brauchen wir auch noch, schreiben wir die doch noch schnell auf. Also, die Wahrscheinlichkeit, dass jemand geimpft wurde, wir gucken uns also diese Zeile an. Insgesamt geimpft wurden 700 Leute. 700 von 1000 macht also 70 %. Also, die Wahrscheinlichkeit, wenn ich aus 1000 Leuten einen zufällig auswähle, jemanden zu treffen, der vorher geimpft wurde, liegt bei 70 %.  So und dann machen wir noch die Wahrscheinlichkeit, dass jemand krank geworden ist. Also krank geworden sind insgesamt 220 Leute. 220 von 1000 macht eine Wahrscheinlichkeit von 22 %. Warum reicht uns das jetzt? Warum müssen wir nicht noch die Wahrscheinlichkeit für nicht geimpft und nicht krank auswählen? Naja, wenn wir uns auch mal die Zahlen angucken, dann sind ja immer die Gegenwahrscheinlichkeiten zu 1. Also hier in den absoluten Zahlen addieren sie sich auch zusammen zu 1000 auf. Und in der Wahrscheinlichkeit addieren sie sich zu 1 auf. Das heißt, wir können uns angucken, die Wahrscheinlichkeit, dass jemand geimpft ist, liegt bei 70 %. Also ist die Gegenwahrscheinlichkeit 30 %, dass jemand nicht geimpft ist.  Gut, jetzt haben wir eigentlich alle Voraussetzungen erfüllt, um auch die bedingten Wahrscheinlichkeiten ausrechnen zu können. Tun wir das doch mal. Gut, ich habe also jetzt mal die Wahrscheinlichkeiten, die wir schon haben, hier einmal zusammengefasst. Also die Wahrscheinlichkeit, dass jemand geimpft wurde, jemand krank war und alle kombinierten Wahrscheinlichkeiten. Und jetzt wollen wir mal ein paar bedingte Wahrscheinlichkeiten ausrechnen. Wir können ja insgesamt 8 bedingte Wahrscheinlichkeiten ausrechnen. Fangen wir erst mal mit diesen 4 an.  Wir wollen jetzt also die Wahrscheinlichkeit wissen, dass jemand geimpft war, wenn wir schon wissen, dass er krank geworden ist. Dann wollen wir die Wahrscheinlichkeit wissen, dass jemand geimpft war, wenn wir wissen, dass er nicht krank geworden ist. Und dann halt das Gleiche auch noch mal, die Wahrscheinlichkeit, dass jemand nicht geimpft war, wenn wir wissen, dass er krank geworden ist und die Wahrscheinlichkeit, dass jemand nicht geimpft war, wenn wir wissen, dass jemand nicht krank war.  So, wie rechnen wir das aus? Wir erinnern uns: Die bedingte Wahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit von A unter B war ja die Wahrscheinlichkeit von A und B geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von B. Das ist die allgemeine Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit. Genauso berechnen wir das hier auch. Wir haben also die Wahrscheinlichkeit von, dass jemand geimpft war und krank geworden ist, also die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, die steht hier. Also haben wir 0,07, und das Ganze geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, dass jemand krank war. Also hier 0,22. So, und das macht als Wahrscheinlichkeit 0,32. Das heißt, wir haben eine 32%ige Wahrscheinlichkeit, dass jemand geimpft war, wenn wir vorher wissen, aha, er ist krank. Das heißt unter allen Kranken, die wir haben, unter allen  von 220 kranken Leuten, suchen wir uns einen zufällig aus mit einer Wahrscheinlichkeit von 32 % finden wir jemanden, der geimpft wurde vorher und trotzdem krank geworden ist. So, dann die nächste Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand geimpft war, wenn wir wissen, dass er nicht krank geworden ist. Jetzt könnte man ja vermuten, dass das die Gegenwahrscheinlichkeit zu dieser Wahrscheinlichkeit ist. Also die Wahrscheinlichkeit, dass jemand geimpft war, wenn wir wissen, dass er nicht krank geworden ist. Das ist aber nicht die Gegenwahrscheinlichkeit, die Gegenwahrscheinlichkeit wäre diese Wahrscheinlichkeit. Man muss also immer hier quasi auf die Basis, auf die Zusatzinformation achten, und wenn die gleich ist, dann haben wir Gegenwahrscheinlichkeiten, wenn die nicht gleich ist, haben wir keine Gegenwahrscheinlichkeiten.  Also hier gucken wir jetzt mal, auch hier haben wir die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, dass jemand geimpft wurde und nicht krank geworden ist, die hier steht. Also 0,63. So und das teilen wir durch die Wahrscheinlichkeit, dass jemand nicht krank geworden ist. Wir haben ja hier die Wahrscheinlichkeit, dass jemand krank geworden ist von 22 %. Dass jemand nicht krank geworden ist, ist die Gegenwahrscheinlichkeit dazu. Also teilen wir durch 1-0,22. Das ist die Gegenwahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit, dass jemand nicht krank war, also 0,78 und das macht 0,81. Also 81%ige Wahrscheinlichkeit haben wir, wenn wir unter allen, die nicht krank geworden sind, jemanden zufällig auswählen, jemanden zu finden, der geimpft wurde. Machen wir also hiermit weiter, wir haben ja schon gesagt, das müsste die Gegenwahrscheinlichkeit zu unserer 1. bedingten Wahrscheinlichkeit sein. Gucken wir uns das mal an, die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, dass jemand nicht geimpft wurde und krank war. Also hier 15 %. 0,15 geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, dass jemand krank war, von 0,22. Und das ist dann 0,68. Also tatsächlich die Gegenwahrscheinlichkeit zu unserer 1. Wahrscheinlichkeit. So, das hier ist jetzt also tatsächlich auch die Gegenwahrscheinlichkeit zu unserer 2. Wahrscheinlichkeit. Also die Wahrscheinlichkeit jemanden zu finden, der nicht geimpft wurde unter allen, die nicht krank geworden sind, liegt bei 19 %. Könnt ihr natürlich Zuhause auch noch mal ausrechnen, müsste aber 19 % rauskommen. So, dass sind diese Wahrscheinlichkeiten. Die sind oft medizinisch jetzt noch nicht so richtig interessant. Also ich möchte eigentlich nicht wissen, aha, ist der jetzt krank geworden und dann rausfinden, ob der geimpft war oder nicht. Sondern eigentlich ist es andersrum interessanter, ich möchte unter allen, die geimpft waren, wissen, wie wahrscheinlich es dann ist, krank geworden zu sein. Also quasi, wie effektiv war meine Impfung? Gucken wir uns deshalb doch auch noch mal diese bedingten Wahrscheinlichkeiten an. Jetzt also noch mal um das vollständig zu machen, die anderen bedingten Wahrscheinlichkeiten. Also die Wahrscheinlichkeit jemanden zu finden, von dem wir wissen, dass er geimpft wurde. Und jetzt ist also die Frage, war er krank oder nicht, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er krank war? Und da nehmen wir natürlich auch wieder diese Formel. Also die gemeinsame Wahrscheinlichkeit hier von geimpft und krank von 0,07. Und teilen also durch alle, die geimpft waren, also durch 0,7 und bekommen 0,1. Also eine 10%ige Wahrscheinlichkeit. Die Impfung scheint also ganz gut zu wirken. Weil, wenn jemand geimpft war, hat er nur noch eine 10%ige Wahrscheinlichkeit, dann auch krank zu werden. Jetzt gucken wir uns das an, die Wahrscheinlichkeit, dass jemand nicht krank geworden ist, der geimpft war, die Frage, ist das jetzt die Gegenwahrscheinlichkeit oder ist das nicht die Gegenwahrscheinlichkeit? In diesem Falle ist es die Gegenwahrscheinlichkeit, weil ja hier unsere Zusatzinformation "er war geimpft" ja die gleiche ist.  Also suchen wir quasi im gleichen Pool von Leuten unter allen, die geimpft waren. Und hier haben wir ja auch nur 2 Ausprägungen krank oder nicht krank. Also ist das die Gegenwahrscheinlichkeit, also ist das 1-0,1. Macht also 0,9. Dann hier die Wahrscheinlichkeit, unter allen nicht geimpften jemanden zu finden, der krank geworden ist. Also die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von nicht geimpft und krank, von 0,15, teilen wir durch alle, die nicht geimpft wurden. So, hier haben wir alle, die geimpft wurden, waren 70 %. Also hatten wir noch 30 %, die nicht geimpft wurden. Und das sind 0,5. Okay. Und hier haben wir wieder die Gegenwahrscheinlichkeit, also 1-0,5 also auch 0,5. Gut, damit haben wir jetzt auch alle bedingten Wahrscheinlichkeiten behandelt, ausgerechnet. Können uns diese noch mal quasi inhaltlich interpretieren: Also wenn man nicht geimpft wurde, hatte man eine Wahrscheinlichkeit von 50 % krank zu werden. Und wenn man geimpft wurde, ist diese schlagartig auf nur noch 10 % gesunken, also scheint die Impfung durchaus gewirkt zu haben. Ja, das war auch schon die 2. Übung zu den bedingten Wahrscheinlichkeiten. Wir führen dieses Thema jetzt noch ein bisschen fort, indem wir uns jetzt mit der totalen Wahrscheinlichkeit und dem Satz von Bayes beschäftigen. Da wird das ja auch noch mal eine große Rolle spielen. Ich bedanke mich wie immer für das Zuschauen, freue mich auf das nächste Mal und sage tschüss.

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4 Kommentare
  1. Default

    Danke habs endlich verstanden :)

    Von Brewka99, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    Perfekt erklärt! Danke :))

    Von Milch, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    sehr gut!

    Von Meyereri, vor fast 3 Jahren
  4. Default

    einfach klasse :)

    Von Val, vor mehr als 4 Jahren