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Transkript Statistik Video 58: bedingte Wahrscheinlichkeiten

Hallo, schön, dass ihr alle wieder zuschaut. Wir sind heute bei unserem neuen Video zu den bedingten Wahrscheinlichkeiten. Das ist ein sehr wichtiges Thema, passt also gut auf. Was sind bedingte Wahrscheinlichkeiten? Naja, bedingte Wahrscheinlichkeiten, das müsst ihr euch so vorstellen, als würden wir Wahrscheinlichkeiten berechnen und hätte dabei aber schon Zusatzinformationen. Wir wollen zum Beispiel wissen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unser Ereignis A eintritt? Und wir wissen, unser Ereignis B tritt auf jeden Fall ein. Das nennt man bedingte Wahrscheinlichkeit. Also die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, unter der Voraussetzung, dass B auf jeden Fall eintritt oder schon eingetreten ist. Muss man sich ein bisschen überlegen, ein klassisches Beispiel, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es regnet? A ist gegeben, die Erde ist nass. Scheint sich von der Wahrscheinlichkeit zu unterscheiden, dass es regnet. Das es regnet, sagen wir mal, sei 30%. Jetzt wissen wir aber, die Erde ist nass. Das können verschiedene Gründe sein, entweder es regnet oder jemand hat einen Rasensprenger angemacht oder so. Auf jeden Fall würden wir davon ausgehen, dass wen die Erde nass ist, es in mehr als 30% auch regnet. Oder geregnet hat. Oder andersrum, die Wahrscheinlichkeit, dass die Erde nass ist, gegeben der Voraussetzung, das es regnet. Das scheint dann eine sehr große Wahrscheinlichkeit zu sein.  Denn wenn es regnet, wird die Erde üblicherweise auch nass. So, das Ganze wird so geschrieben: Die Wahrscheinlichkeit A, gegeben B und unter der Voraussetzung, dass B eintritt. Seltener wird es auch so geschrieben: Die Wahrscheinlichkeit von A, gegeben B. Und diese Wahrscheinlichkeit A, gegeben B, kann sich von der Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, unterscheiden. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Wir haben eine Urne und da sind 100 Kugeln drin. Es gibt 2 verschiedene Arten von Kugeln. Es gibt 20g Kugeln und es gibt 100g Kugeln. Und jeweils in 3 Farben, weiß, rot und blau. Das heißt, es gibt 15 Kugeln, die 20g wiegen und 5 weiße Kugeln, die 100g wiegen usw. Wir definieren jetzt unser Ereignis A, die Kugel ist weiß. Und unser Ereignis B, weil wir bei bedingten Wahrscheinlichkeiten logischerweise immer mindestens 2 Ereignisse brauchen, die Kugel wiegt 100g. Das interessiert uns jetzt mal. Schauen wir uns doch einmal die Wahrscheinlichkeiten an. Wir haben insgesamt 100 Kugeln und die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, nach Laplace, jede Kugel hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden, haben wir also 20 weiße Kugeln geteilt durch 100 Gesamtkugeln, also die Wahrscheinlichkeit liegt bei 0,2. Wie groß ist denn jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel weiß ist, wenn wir schon wissen, dass unsere Kugel 100g wiegt? Nehmen wir einfach mal an, ich ziehe und ich kann das fühlen. Ich weiß also beim Ziehen schon, ob die Kugel 100g wiegt oder 20g. Und ich ziehe eine 100g Kugel. Das habe ich mir vorher schon vorgenommen., ich möchte eine 100g Kugel ziehen. Wie groß ist jetzt also die Wahrscheinlichkeit, dass diese 100g Kugel weiß ist? Schauen wir uns das an. Wir haben von den 100g Kugeln insgesamt 55. Davon sind 5 weiß. Also ist unsere Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, die Kugel ist weiß, gegeben B. Unter der Voraussetzung, dass ich weiß, dass die Kugel die ich ziehen werde 100g wiegt, ist also 5÷55. Oder auch 0,09. Das heißt, durch diese Zusatzinformation, die Kugel ist auf jeden Fall 100g schwer, ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, von 20% auf ungefähr 9% gesunken. Das sind bedingte Wahrscheinlichkeiten. Das jetzt mal als ersten Einstieg in das Thema. Schauen wir uns doch das Ganze mal als Definition an. Unsere bedingte Wahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt ist gegeben, B tritt ein, ist die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge A und B geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von B. Unter der Voraussetzung, dass die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, größer 0 ist. Warum größer 0? Das Ganze darf nicht 0 werden, sonst ist dieser Bruch nicht definiert, das wäre schlecht. Per Definition kann eine Wahrscheinlichkeit nicht kleiner als 0 werden. Insofern muss die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt größer sein. Wie kommt man jetzt auf diese Formel? Also Schnittmenge von A und B geteilt durch Wahrscheinlichkeit von B? Schauen wir uns das ganze mal veranschaulicht in einem Fendiagramm an. Wir haben hier unsere Ereignisse A und B. Das hier ist unser Wahrscheinlichkeitsraum und wir gehen jetzt einfach mal davon aus, das hier wäre eine Wand. Und diese Wand beschießen wir mit einer Maschine, die Dartpfeile wirft. Und diese Maschine wirft die Dartpfeile irgendwo hin auf diese Fläche, und zwar unter der Voraussetzung einer Gleichverteilung. Gleichverteilung bedeutet, jeder Punkt hiervon auf dieser Wand wird im Mittel, im Longrun, gleich oft getroffen. Dann können wir also davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, in unserem Fall, ist so groß, wie der Anteil der Fläche von A an der Gesamtfläche. Also sagen wir mal hier F(A)/F(G). Das F steht jetzt für die Fläche. Die Fläche von A geteilt durch die Gesammtfläche ist die Wahrscheinlichkeit, dass es getroffen wird. Wenn A 1/3 der Gesamtfläche ausmacht, ist die Wahrscheinlichkeit, dass unser Dartpfeil auch A trifft, 1/3. Das sollte so weit logisch sein. Das Gleiche gilt natürlich auch bei B. Nun haben wir eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Das heißt, wir wissen B wird eintreten. Wir wissen, der nächste Dartpfeil, der geschossen wird, wird irgendwo in B landen. Jetzt wollen wir also die Wahrscheinlichkeit herausfinden, dass dieser Dartpfeil, der in B landet, gleichzeitig auch in A landen wird. Also suchen wir die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B. Was wir jetzt also wollen, wir schauen uns noch mal die Flächenverhältnisse an. Und wir sagen, uns interessiert der Anteil dieser Schnittmenge von A und B, an der Gesamtgröße von B. Das heißt, die Fläche von A∩B geteilt durch die Fläche von B. Das interessiert uns. Da wir hier die Zusammenhänge zwischen Wahrscheinlichkeit und Fläche aufgestellt haben, und sich die Gesamtfläche nachher rauskürzt, bzw. auch irrelevant ist, weil wir schon wissen, dass B getroffen wird, können wir das umschreiben zu Wahrscheinlichkeit A∩B/ Wahrscheinlichkeit B. Und genau das ist die Formel, die wir auch hier haben. Also so kommt man auf die bedingte Wahrscheinlichkeit. So haben wir das jetzt gezeigt. Typische Aussagen für bedingte Wahrscheinlichkeit ist zum Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Patient in einem Krankenhaus Krebs hat, gegeben er ist Raucher. Die scheint sich offensichtlich von der Wahrscheinlichkeit zu unterscheiden, eines beliebigen Patienten Krebs zu haben, weil wir ja wissen, Rauchen erhöht das Krebsrisiko. Also sollten Patienten, die Raucher sind, zu einer höheren Wahrscheinlichkeit Krebs haben, als solche, die Nichtraucher sind oder bei denen wir es nicht wissen. Oder auch solche, die Nichtraucher sind, also wenn wir fragen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie Krebs haben, gegeben sie sind Nichtraucher. Sollte dies geringer sein, als die Wahrscheinlichkeit, dass sie Krebs haben, gegeben sie sind Raucher. Das waren die bedingten Wahrscheinlichkeiten. es wird jetzt dazu 2 Übungsvideos geben. Im 1. Übungsvideo beschäftigen wir uns mit bedingten Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Versuchen. Im 2. Video machen wir es etwas komplizierter und gehen von den Laplace-Versuchen weg, wo ja jedes Ereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat und suchen uns heterogene Ereignisse. Das wars für heute, das war die Theorie zu der bedingten Wahrscheinlichkeit. Ich hoffe, ihr habt so weit alles verstanden und schaut auch beim nächsten Mal wieder rein. Ich bedanke mich fürs Zuschauen und sage tschüss.

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