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Transkript Statistik Video 55 - Begriff der Wahrscheinlichkeit

Guten Tag, schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Nachdem wir in den letzten Videos Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung behandelt haben, gucken wir uns jetzt den Begriff der Wahrscheinlichkeit etwas genauer an. Ich habe ja schon im letzten Video am Ende erwähnt, dass es keine klare Definition für Wahrscheinlichkeit gibt. Das ist sogar ein Forschungsfeld. Also, wenn jemand von euch zufällig eine treffsichere Definition für Wahrscheinlichkeit hat, kann er damit eine Menge Geld verdienen. Gucken wir uns erst einmal die Auffassung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes an. Da gibt es für die Statistiker 2 grundlegende Richtungen, die interessant sind. Die objektivistische Sichtweise der Wahrscheinlichkeit und die subjektivistische Sichtweise der Wahrscheinlichkeit. Gucken wir uns erst einmal an, wie die verschiedenen Sichtweisen denn den Wahrscheinlichkeitsbegriff interpretieren. Aus objektivistischer Sicht ist die Wahrscheinlichkeit eine objektive Größe, die fast so etwas hat wie eine physikalische Größe und sie ist unabhängig vom Betrachter. Also, als Beispiel wäre mal genannt, ich würfel mit einem perfekten Würfel, einem 6-seitigen, dann hat jede Seite die Chance realisiert zu werden von 1/6. Das steht fest, das ist wie eine physikalische Größe. Das ist faktisch definiert. Die Subjektivisten sagen jetzt allerdings, Nein, die Wahrscheinlichkeit kommt aus mir, aus meinem Erfahrungsschatz und liegt auch in mir. Also, wenn ich unglaubliches Würfelglück habe und immer nur Sechsen würfel, sage ich aus meinem Erfahrungsschatz persönlich heraus, dass bei mir die 6 eine größere Wahrscheinlichkeit hat, gewürfelt zu werden, als die anderen Zahlen. Also, das ist eine sehr, aus der Erfahrung geholte Sicht der Wahrscheinlichkeit. Gucken wir uns doch noch mal Beispiele dazu an. Typische Beispiele wären jetzt für die objektivistische Sichtweise der Dinge, die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet. Da haben wir sehr viele Einflussfaktoren, die wir auch alle mit berücksichtigen können, oder fast alle. Und dann können wir eine Wahrscheinlichkeit berechnen. Was man auch oft im Wetterbericht hört, die Regenwahrscheinlichkeit beträgt heute 80 Prozent. Oder die Wahrscheinlichkeit, dass ein BWL-Student die Statistik I Klausur besteht. Da habe ich unter Umständen sehr viele Daten, die ich zurate ziehen kann, und kann daraus dann eine Wahrscheinlichkeit bestimmen. Die subjektivistische Sichtweise der Dinge ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass ich die Statistik Klausur bestehe. Ich habe keine Daten, weil ich die Statistik Klausur vorher noch nicht geschrieben habe. Aber ich weiß z. B., wie gut ich in Statistik bin, wie gut ich vorbereitet bin, um wie viel Uhr die Klausur ist und wie fit ich dann bin. All so was kann ich mit aus meiner Erfahrung schöpfen, oder mit einberechnen und dann für mich persönlich, eine eigene Wahrscheinlichkeit bestimmen. Oder so was wie die Wahrscheinlichkeit, einen Autounfall zu überleben, für mich. Ich sage ok, ich fahre immer sehr langsam, also kann der Autounfall nicht so schlimm werden und ich habe einen guten Airbag und all so was. Also, wenn die Wahrscheinlichkeit, die Subjektivisten sagen die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis für mich eintritt, ist für mich interessant. Was sind denn nun die Schwächen der verschiedenen Betrachtungsweisen? Bei der objektivistischen Betrachtungsweise haben wir die Schwäche, dass die Erfahrung unnütz ist. Wenn ich jetzt die Wahrscheinlichkeit bestimmen möchte, oder wenn es um die Wahrscheinlichkeit geht, dass ich mit einem 6-seitigen Würfel eine 6 würfel und ich habe schon 10-mal gewürfelt und es ist jedes Mal eine 6 herausgekommen, hilft mir das in der objektivistischen Sichtweise kein Stück. Weil es ja unabhängig vom Betrachter ist, weil es ja auch nicht von den vorherigen Ergebnissen beeinflusst ist. Ein weiteres Problem ist, dass die Aussagen nur über Massenerscheinungen gemacht werden können. Ich kann jetzt nicht sagen, die Wahrscheinlichkeit, dass der Vulkan ausbricht, ist so und so, weil die objektivistische Sichtweise davon ausgeht, dass man ein Experiment sehr, sehr, sehr oft wiederholen kann. Ein Vulkanausbruch passiert einmal in hundert Jahren, da kann ich keine Wahrscheinlichkeit mit der objektivistischen Sichtweise für bestimmen. Die subjektivistische Sichtweise hat auch Schwächen. Und zwar dadurch, dass alles auf mich bezogen ist und die Wahrscheinlichkeit im Prinzip auch von mir ausgehend ist, ist das eigentlich auch nur aussagekräftig, wenn ich auch über ein gewisses Vorwissen verfüge. Wenn ich jetzt mal von der Frage ausgehe, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich die Statistik I Klausur bestehe und ich habe kein Vorwissen. Also, ich weiß nicht, wie schwer die Klausur wird, ich weiß nicht, wie gut ich in Statistik bin und all so was. Dann habe ich halt 2 mögliche Ausgänge, entweder ich bestehe sie oder ich bestehe sie nicht. Und wenn ich kein Vorwissen habe, dann kann ich sagen ok, ich gehe einfach mal davon aus, dass beides gleich wahrscheinlich ist. Also fifty fifty. Ist jetzt fragwürdig, ob sich das der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit gut annähert. Oder ein extremeres Beispiel. Ich stehe oben auf dem Fernsehturm und springe runter. Und ich möchte wissen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich das überlebe. Wenn ich kein Vorwissen habe, dann gehe ich einfach mal davon aus, überleben oder nicht überleben, 2 Ereignisse haben beide die gleiche Wahrscheinlichkeit, fifty fifty. Das das bei einem Sprung vom Fernsehturm nicht unbedingt fifty fifty ist, sollte jedem klar sein. Gut, das waren die Schwächen, jetzt kommen die Stärken. Die Stärken stehen natürlich im Gegensatz zu den Schwächen. Bei der objektivistischen Sichtweise haben wir also, wir brauchen kein Vorwissen, Vorwissen nützt uns nichts, aber wir brauchen es auch nicht.

Das heißt, wir können auch Aussagen treffen, ohne dass wir ein Vorwissen haben. Bei der subjektivistischen Sichtweise kann man halt dadurch, dass man auch Einzelfälle betrachten kann, Fragen über Einzelfälle beantworten. Also auch solche, die nicht beliebig oft wiederholbar sind, z. B. ein Vulkanausbruch, z. B. mein Ergebnis der Statistik I Klausur. Ich trete ja, wenn ich bestehe, nur einmal bei der Statistik I Klausur an und das Experiment ist auch nicht beliebig oft wiederholbar, weil sich auch die Klausur ändert. Also, damit können auch Fragen über Einzelfälle beantwortet werden. Gucken wir uns zu guter Letzt noch mal an, wo das den angewendet wird. Das Objektivistische wird üblicherweise überall da angewendet, wo man Experimente machen kann, die beliebig oft wiederholbar sind, also wenn wir Serienexperimente haben, z. B. in der Industrieproduktion oder bei Halbwertszeiten von Atomen. All da kann man sehr viele Experimente machen, sehr viele Serien durchlaufen lassen und dann auch gute Aussagen treffen. Das Subjektivistische kommt überall da zur Anwendung, wo es auf die persönliche Erfahrung ankommt. Wo man üblicherweise mit Experten redet, z. B. mit einem Vulkanologen. Der dann eine Aussage darüber trifft, wann der Vulkan das nächste Mal ausbrechen wird. Oder mit einem Wirtschaftsexperten, der sagt, wie wahrscheinlich es ist, das die Wirtschaft sich demnächst mal wieder erholt. Das war die Sichtweise des Begriffes der Wahrscheinlichkeit. Da wir keine richtige Definition der Wahrscheinlichkeit haben, gucken wir uns doch noch mal die 3 Axiome von Kolmogoroff an. Kolmogoroff war ein russischer Mathematiker, der es zwar nicht geschafft hat, die Wahrscheinlichkeit zu definieren, aber immerhin 3 Axiome aufgestellt hat, die gelten müssen. Gucken wir uns das erst einmal an. Das 1. Axiom: Die Wahrscheinlichkeit, dass unser Ereignis A eintritt, soll positiv sein oder =0, ≥0. Es soll keine negative Wahrscheinlichkeit geben. Eigentlich sinnvoll. Das soll gelten für alle Ereignisse A Element von A. A ist hier, das hatten wir noch nicht, das Ereignis Algebra auf Omega. Das ist im Prinzip ein definierter Raum, der so definiert ist, dass sichergestellt wird, dass alle möglichen Mengenoperationen zwischen den verschiedenen Mengen auch wieder Teil unseres Ereignisses Algebra sind. All das ist nur so eine Definitionssache. Das Wichtige hieran ist Axiom A, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, soll ≥0 sein. Es darf keine negativen Wahrscheinlichkeiten geben. Axiom 2: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, das gleich Ω ist, also wenn wir ein Ereignis definieren und in dieses Ereignis alle möglichen Ergebnisse unseres Versuches packen, dann soll dieses die Wahrscheinlichkeit 1 haben. Um das einmal bildhaft als Beispiel zu erläutern, wenn ich als Ereignis A definiere, ich möchte eine Zahl zwischen 1-6 würfeln und als Zufallsexperiment würfel ich mit einem 6-seitigen Würfel, dann soll die Wahrscheinlichkeit, dass mein Ereignis eintritt, 1 sein. So und das 3., die Additivität lautet: Die Wahrscheinlichkeit von A1 oder A2 oder A3 oder und so weiter, bis zum letzten Ereignis, soll die additive Wahrscheinlichkeit sein. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass ich in A1 oder in A2 lande, soll die Wahrscheinlichkeit, dass ich in A1 lande + die Wahrscheinlichkeit, dass ich in A2 lande, sein. Wenn gilt, dass alle meine Ereignisse paarweise disjunkt sind, also keine Schnittmenge haben. Die Schnittmenge von Ai und Aj soll die leere Menge sein, für alle i≠j. Das heißt, man muss sich das so vorstellen, wenn das hier wieder mein Ω ist und ich habe hier verschiedene Mengen drin liegen, sagen wir A1 bis A3, dann soll die Wahrscheinlichkeit von A1 oder A2 oder A3, also die Wahrscheinlichkeit in eine dieser 3 Mengen zu fallen, die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten sein. Für alle Mengen, die paarweise disjunkt sind. Das heißt, wir haben das hier paarweise disjunkt. Das heißt die Wahrscheinlichkeit in eine dieser 3 Mengen zu sein, soll die Summe aus den 3 Einzelwahrscheinlichkeiten sein. Das ist das 3. Axiom von Kolmogoroff. Diese Axiome wurden von ihm 1933 veröffentlicht. Ihr seht also, es ist anscheinend gar nicht so einfach, wenn man bei der Wahrscheinlichkeit forscht, nach einer Definition sucht, da wirklich standfeste Aussagen zu machen. Ok, das war jetzt auch schon das 1. Video zum Begriff der Wahrscheinlichkeit und im nächsten Video machen wir mit diesem Thema weiter und beschäftigen uns insbesondere noch mit Laplasversuchen. Ich hoffe ihr habt so weit alles verstanden, nehmt vieles mit in eure Statistikkurse. Ich bedanke mich für euer Zuschauen, sage bis zum nächsten Mal, tschüss.

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2 Kommentare
  1. Felix

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    Von Martin Buettner, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Was ist mit der Tonspur los ab etwa 7:35??? Endlich habe ich ein Video zu diesem Thema gefunden und nun verstehe ich es nicht, weil Bild und Ton nicht zusammenpassen...

    Von Malinalina, vor mehr als einem Jahr